基本不等式【考纲要求】1.2a b+≤的证明过程，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2.2a b+≤解决最大（小）值问题. 3.会应用基本不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题 【知识网络】【考点梳理】考点一：重要不等式及几何意义 1．重要不等式：如果,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）.2．基本不等式：如果,a b是正数，那么2a b+≥（当且仅当a b =时取等号“=”）. 要点诠释：222a b ab +≥和2a b +≥ （1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数；（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”。

（3）222a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤，2a b ab +≥可以变形为：2()2a b ab +≤.3.如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =,BC b =，过点C 作DC AB ⊥交圆于点D ，连接AD 、BD .易证~Rt ACD Rt DCB ∆∆，那么2CD CA CB =⋅，即CD ab =.这个圆的半径为2b a +，它大于或等于CD ，即ab ba ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立.要点诠释：1.在数学中，我们称2ba +为,ab 的算术平均数，称ab 为,a b 的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2.如果把2ba +看作是正数,ab 的等差中项，ab 看作是正数,a b 的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.考点二：基本不等式2a bab +≤的证明 1. 几何面积法如图，在正方形ABCD 中有四个全等的直角三角形。

设直角三角形的两条直角边长为a 、b 22a b +4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形ABCD 的面积为22a b +。

由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：222a b ab +≥。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。

得到结论：如果+,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）特别的，如果0a >，0b >,分别代替a 、b ，可得：如果0a >，0b >,则a b +≥，（当且仅当a b =时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果0a >，0b >2a b+≤，（当且仅当a b =时取等号“=”） 2. 代数法∵2222()0a b ab a b +-=-≥，当a b ≠时，2()0a b ->；当a b =时，2()0a b -=.所以22()2a b ab +≥，（当且仅当a b =时取等号“=”）.特别的，如果0a >，0b >,分别代替a 、b ，可得：如果0a >，0b >,则a b +≥，（当且仅当a b =时取等号“=”）. 通常我们把上式写作：如果0a >，0b >2a b+≤，（当且仅当a b =时取等号“=”）.2a b+≤求最大（小）值在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。

① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。

要点四、几个常见的不等式 1）()R b a abb a ∈≥+,222，当且仅当a=b 时取“=”号。

2）()+∈≥+R b a ab ba ,2，当且仅当a=b 时取“=”号。

3）()02>⋅≥+b a ab b a ；特别地：()021>≥+a aa ；4）ba ab ab b a b a +≥≥+≥+22222 (),a b R +∈ 5）()()+∈≥⎪⎭⎫⎝⎛++R b a b a b a ,411； 【典型例题】2a b+≤的理解 例1. 0a >，0b >，给出下列推导，其中正确的有 （填序号）.（1）a b+ （2）11()()a b a b++的最小值为4； （3）14a a ++的最小值为2-. 【解析】（1）；（2）（1）∵0a >，0b >，∴a b++≥≥a b ==时取等号）.（2）∵0a >，0b >，∴11()()4a ba b ++≥=（当且仅当a b =时取等号）.（3）∵0a >，∴11444244a a a a +=++-≥=-++， （当且仅当144a a +=+即413a a +==-，时取等号） ∵0a >，与3a =-矛盾，∴上式不能取等号，即124a a +>-+【总结升华】在用基本不等式求函数的最值时，必须同时具备三个条件：一正二定三取等，缺一不可. 举一反三：【变式1】给出下面四个推导过程：① ∵,a b R +∈，∴2a b b a +≥=；② ∵,x y R +∈，∴lg lg x y +≥③ ∵a R ∈，0a ≠，∴44a a +≥=；④ ∵,x y R ∈，0xy <，∴[()()]2x y x y y x y x +=--+-≤-=-. 其中正确的推导为（ ）A.①②B.②③C.③④D.①④ 【解析】①∵,a b R +∈，∴,b aR a b+∈，符合基本不等式的条件，故①推导正确. ②虽然,x y R +∈，但当(0,1)x ∈或(0,1)y ∈时，lg ,lg x y 是负数，∴②的推导是错误的.③由,a R ∈不符合基本不等式的条件，∴44a a +≥=是错误的. ④由0,xy <得,y x x y 均为负数，但在推导过程中，将整体x y y x+提出负号后，()()x yy x -+-均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确.选D.【变式2】下列命题正确的是（ ）A.函数1y xx =+的最小值为2. B.函数2y =的最小值为2C.函数423(0)y x x x =-->最大值为2- D.函数 423(0)y x x x=-->的最小值为2 【答案】C【解析】A 选项中，∵0x ≠，∴当0,x >时由基本不等式12x x+≥； 当0x <时12x x+≤-.∴选项A 错误.B 选项中，∵22y === 21=时，成立）2，∴这是不可能的. ∴选项B 错误.C 选项中，∵0x >，∴44232(3)2y x x x x=--=-+≤-C 正确。

2a b+≤求最值例2．设0a b >>，则211()a ab a a b ++-的最小值是 A ．1 B ．2C ．3D ．4【解析】221111()()11()()()4a a ab ab ab a a b ab a a b a a b ab a a b ab++=-+++--=-+++-≥ 当且仅当1()()1a ab a a b ab ab ⎧-=⎪-⎪⎨⎪=⎪⎩即2a b ==时取等号.【答案】D 举一反三：【变式1】若0x <,求9()4f x x x=+的最大值. 【解析】因为0x <,所以0x ->, 由基本不等式得:99()(4)(4)()12f x x x x x -=-+=-+-≥==,（当且仅当94x x -=-即32x =-时, 取等号） 故当32x =-时,9()4f x x x=+取得最大值12-.【变式2】已知0x <，求16()204f x x x=++的最大值.【解析】∵0x <，∴0x ->，∴4()224x x -+≥=⨯=-（当且仅当4x x-=-，即2x =-时，等号成立） ∴4()204[()]20444f x x x =--+≤-⨯=-（当且仅当4x x-=-，即2x =-时，等号成立） 故当2x =-时，()f x 的最大值为4.例3.已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝14a b+的最小值是A ．72B ．4C ．92D ．5【解析】∵0a >,0b >，∴141141419()()(5)(52222b a a b a b a b a b +=++=++≥+= 答案选C 举一反三：【变式1】若0x >,0y >,且281x y+=,求xy 的最小值 . 【解析】∵0x >,0y >，∴281x y =+≥=（当且仅当2812x y ==即4x =，16y =时，等号成立） ∴64xy ≥（当且仅当4x =，16y =时，等号成立） 故当4x =，16y =时，xy 的最小值为64.【变式2】已知x ＞0，y ＞0，且191x y+=，求x+y 的最小值。

【解析】∵191x y +=，∴199()10y xx y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=++ ⎪⎝⎭∵x ＞0，y ＞0，∴96y x x y +≥= （当且仅当9y x x y=，即y=3x 时，取等号） 又191x y+=，∴x=4，y=12 ∴当x=4，y=12时，x+y 取最小值16。

类型三：基本不等式应用例4. 设,x y R +∈,1x y +=,求证：1125()()4x y x y ++≥ 【证明】11254x y x y ⎛⎫⎛⎫⇐++≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()222222222251042512104332041804124x y x y xy x y xy xy x y xy xy xy x y xy ⇐++-+≥⇐+--+≥⇐-+≥⎛⎫⇐--≥ ⎪⎝⎭+⎛⎫⇐≤=⎪⎝⎭Q ()1804xy xy ⎛⎫⇐∴--≥ ⎪⎝⎭成立 举一反三：【变式1】已知3a >，求证:473a a +≥-【解析】44(3)333733a a a a +=+-+≥==-- （当且仅当433a a =--即5a =,等号成立）. 【例5】(2015春 东城区期末)已知0,0,0abc >>>，且1a b c ++=. (1)若a b c ==则111111a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为 . (2)求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】(1)由题意可得13a b c ===带入计算可得1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)由题意和基本不等式可得0a b +≥>，0a c +≥>，0b c +≥>1a b c ++=Q111111118a b c a b c a b c a b c a b c b c a c a b a b c a b c++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴---=-- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+++=≥=1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭举一反三：【变式】(2015 石家庄一模)已知函数()f x =R.(1)求实数m 的取值范围.(2)若m 的最大值为n ，当正数a 、b 满足2132n a b a b+=++时，求7a +4b 的最小值.【解析】(1)因为函数的定义域为R,130x x m ∴++--≥恒成立设函数()13g x x x =+--则m 不大于()g x 的最小值()13134x x x x ++-≥+--=Q 即()g x 的最小值为4，4m ∴≤(2)由(1)知n=421432a b a b ∴+=++()()()1217462243222322211955242344a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++++ ⎪++⎝⎭⎛++⎛⎫=++≥+⋅= ⎪ ++⎝⎭⎝当且仅当23a b a b +=+时，即2b a =时取等号.74a b ∴+的最小值为94类型四：基本不等式在实际问题中的应用例6. 某农场有废弃的猪圈，留有一面旧墙长12m,现准备在该地区重新建立一座猪圈，平面图为矩形，面积为2112m ，预计（1）修复1m 旧墙的费用是建造1m 新墙费用的25% ，（2）拆去1m 旧墙用以改造建成1m 新墙的费用是建1m 新墙的50%，（3）为安装圈门，要在围墙的适当处留出1m 的空缺。