6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 2 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 1 6 1 6 1 6 1 6 1 12 2
c3+f4 0 0 0 0 0 0 6 0 6 0 6 0 6 0 6 0 6 12
{5 x2 f 3 ( s3 )} 当阶段k=2时，有 f 2 ( s2 ) x max 0 ,[ s / 4 ]
模型中：阶段数、总投资、各阶段投资数、各阶段收益、决策变量、状
态变量 状态转移方程、基本方程、指标函数、最优指标函数
建立它的动态规划模型，其基本方程为：
max g k ( xk ) f k 1 ( s k 1 ) f k ( s k ) 0 xk sk f n1 ( s n1 ) 0 k n, n 1,,2,1
当k=3时，
2 f 3 ( s3 ) max 2 x3 0 x 3 s 3
k 3,2,1


式中 s 与 x3 的集合均为： 3
0,2,4,6,8,10
计算结果见表7-1。 当k=3时，
表7-1
2 f 3 ( s3 ) max 2 x3 0 x 3 s 3


8 10
s3
第七章
动态规划

多阶段决策过程的最优化 动态规划的基本概念和基本原理 动态规划模型的建立与求解
动态规划在经济管理中的应用
第四节 动态规划在经济管理中的应用
连续变量的离散化解法
先介绍连续变量离散化的概念。如投资分配问题 的一般静态模型为：
max z
g i ( xi )
i 1
n
n xi a i 1 x 0 (i 1,2,, n) i
2 2
s3 s2 4 x2
9 0 1 11 1 2 10 0 1 12 0 2
s2 x2 f2 x2*
0 1 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
4 0 1 5 1
5
6
7
8 0 1 2 10 2
0 1 0 1 0 1 6 0 6 0 6 0
c2+f3 0 0 0 0 0 5+0 6 5 6 5 6 5 6 5 10 6 5+6 10 12 5+6 10
f 4 ( s4 ) min {C (u4 ) E ( s4 ) 0}
u 4 0 ,1, 2 , 3
s4
u4 f4 u4*
0 1
4 3 7 6.5 4 3
2
2 6 2
3
1 5.5 1
C+E+f5 7 6+0.5 5+1 4+1.5
k＝3，s4=s3+u3-g3，所以u3=s4+ g3-s3，s3可取0，1，2，3。
(1) 阶段：每个月为一个阶段，k＝1，2，3，4。
sk (2)状态变量：
为第k个月初的库存量。
(3)决策变量： uk 为第k个月的生产量。 (4)状态转移方程： sk 1 sk uk g k (5)最优指标函数： f k ( s k ) 表示第 k月状态为 sk 低费用。 （6）基本方程：
解 令
2 ，将区间[0，10]分割成0，2，4，6，8，
10六个点，即状态变量 sk 集合为 0,2,4,6,8,10
允许决策集合为 0 xk sk ，xk 与 sk 均在分割点上取值。 动态规划基本方程为：
g k ( xk ) f k 1 (sk xk ) f k ( sk ) 0max xk s k f 4 ( s4 ) 0
品，仓库最大容量能贮存这种商品l000单位。假定该商店每月只能出卖仓 库现有的货。当商店在某月购货时，下月初才能到货。预测该商品未来四 个月的买卖价格如表7_12所示，假定商店在1月开始经销时，仓库贮有该 商品500单位。试问若不计库存费用，该商店应如何制定1月至4月的订购 与销售计划，使预期获利最大。
200 146 108 86 80 90 200 0
f2
* x2
max g k ( xk ) f k 1 (s k xk ) f k ( sk ) 0 xk sk f 4 (s4 ) 0
当k=1时，
k 3,2,1
f1 (s1 ) max 4 x1 f 2 (s1 x1 )
f 3 ( s3 )
* x3
0
2
4
6
0
0
8
2
32
4
72
6
128
8
200
10
max g k ( xk ) f k 1 (s k xk ) f k ( sk ) 0 xk sk f 4 (s4 ) 0
当k=2时，
0 x2 s2
k 3,2,1
f 2 ( s 2 ) max 9 x2 f 3 ( s 2 x2 )
f k ( sk ) min{C (uk ) E ( sk ) f k 1 ( sk 1 )}
uk
时，采取
最佳策略生产，从本月到计划结束(第4月末)的生产与存贮最
k 4,3,2,1
f 5 ( s5 ) 0
k＝4，s5=s4+u4-g4=0，所以u4=g4-s4=4-s4，s4可取0，1，2，3。
位，每月最大生产能力为6单位，计划开始和计划期末库存量都是零。试制定 四个月的生产计划，在满足用户需求条件下总费用最小。假设第i+1个月的库 存量是第i个月可销售量与该月用户需求量之差；而第 i个月的可销售量是本 月初库存量与产量之和。
i (月)
gi (需求)
1 2
2 3
3 2
4 4
用动态规划方法求解时，对有关概念作如下分析：
计算结果见表7-2。 表7-2
s2 x2
g2 f3
0 0 0 0 0 2 0 2 8 18 18 2 4 0 2 4 32 26 36 36 4 6 0 2 4 6 72 50 44 54 72 0 8 0 2 4 6 8 128 90 68 62 72 128 0 0 2 4 10 6 8 10
g1 ( x1 ) 4x1 , g 2 ( x2 ) 9x2 , g3 ( x3 ) 2x
问如何分配投资数额才能使ห้องสมุดไป่ตู้效益最大?
2 3
例6
连续变量的离散化解法
2 max Z 4 x1 9 x2 2 x3
x1 x2 x3 10 s.t. xi 0, (i 1,2,3)
应指出的是：这种方法有可能丢失最优解， 一般得到原问题的近似解。
一、背包问题
一位旅行者携带背包去登山，已知他所能承受的背包重 量限度为a kg，现有n种物品可供他选择装入背包，第i种 物 品 的 单 件 重 量 为 ai kg ， 其 价 值 是 携 带 数 量 xi 的 函 数 ci(xi)(i=1,2,…,n)，问旅行者应如何选择携带各种物品的件 数，以使总价值最大？
k＝2，s3=s2+u2-g2，所以u2=s3+ g2-s2， s2可取0，1，2，3。
s2 u2 3 4 0 5 6 2 3 1 4 5 1 2 2 3 4 0 1 3 2 3
C+E+f3 6+12 7+11.5 8+8 9+85.5+12 6.5+11.5 7.5+8 8.5+8 5+12 6+11.5 7+8 8+8 1.5+12 5.5+11.5 6.5+8 7.5+8 f2 u2* 16 5 15.5 4 15 3 13.5 0
货计划和销售计划，使总效益最高的问题。
下面通过例子来说明对不同特点问题的不同
处理技巧。
例2 生产与存贮问题
某工厂生产并销售某种产品，已知今后四个月市场需求预测如表，又每月 生产j单位产品费用为：
( j 0) 0 C( j) (千元) 3 j ( j 1,2, ,6) 每月库存j单位产品的费用为 E( j ) 0.5 j (千元) ，该厂最大库存容量为3单
f k ( sk )
xk 0,1,,[ sk / ak ]
max
{ck ( xk ) f k 1 ( sk 1 )}
k 3,2,1
f 4 ( s4 ) 0
当阶段k=3时，有
s3 x3 f3 x3*
f 3 ( s3 )
x3 0 ,[ s3 / 5 ]
max {6 x3 }
其状态转移方程为:
sk 1 sk xk
由于 sk 与 xk 都是连续变量，当各阶段指标 g k ( xk ) 没 有特殊性而较为复杂时， 要求出 f k (sk ) 会比较困难，因而求 全过程的最优策略也就相当不容易，这时常常采用把连续变量
离散化的办法求其数值解。具体做法如下：
（1） 令 sk 0, ,2,, m a ， 把区间 [0，a]进行分割， 的大小可 依据问题所要求的精度以及计算机的容 量来定。
k＝1，s2=s1+u1-g1，所以u1=s2+ g1-s1， s1可取0。
s1 u1 f1 u1* 0 2 3 4 21 2 5
C+E+f2 5+16 6+15.5 7+15 8+13.5
反推回去， u1*=2， u2*=5， u3*=0， u4*=4。
例3
采购与销售问题
某商店在未来的4个月里，准备利用它的一个仓库来专门经销某种商