2.4 过不共线三点作圆
基础题
知识点1 过不共线三点作圆
1．下列条件中，可以画出唯一一个圆的是(C)
A．已知圆心
B．已知半径
C．已知不在同一直线上的三点
D．已知直径
2．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示．为配成与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的玻璃碎片应该是(B)
A．第①块
B．第②块
C．第③块
D．第④块
3．(教材P63练习T2变式)某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．(不要求写作法，证明和讨论，但要保留作图痕迹)
解：在圆上取两个弦，根据垂径定理，垂直平分弦的直线一定过圆心，所以作出两弦的垂直平分线即可，两条垂直平分线的交点即为圆心．
知识点2 三角形的外接圆、外心
4．三角形的外心是(B)
A．三角形三角平分线交点
B．三角形三条边的垂直平分线的交点
C．三角形三条高的交点
D．三角形三条中线的交点
5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的度数是(B)
A．40°
B．50°
C．60°
D．100°
6．若三角形的三边长分别为6，8，10，则此三角形的外接圆半径是(A)
A．5 B．4 C．3 D．2
7．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(1，4)，(5，4)，(1，－2)，则△ABC外接圆的圆心坐标是(D)
A．(2，3)
B．(3，2)
C．(1，3)
D．(3，1)
8．如图，分别作出锐角三角形ABC、直角三角形ABC、钝角三角形ABC的外接圆，观察所画外接圆，探究三角形的外接圆的圆心与三角形的形状有什么关系？
解：画图略，由作图可知：锐角三角形的外接圆的圆心在三角形内部，直角三角形外接圆的圆心是斜边上的中点，钝角三角形外接圆的圆心在三角形外部．
易错点 概念不清
9．下列说法：①三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆；③三角形的外心到三角形三边的距离相等．其中正确的是②．(填序号) 中档题
10．(内江中考)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠AOB＝60°，AB ＝AC ＝2，则弦BC 的长为(C) A. 3
B ．3
C ．2 3
D ．4
11．(2017·陕西)如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠C＝30°，⊙O 的半径为5.若点P 是⊙O 上的一点，在△ABP 中，PB ＝AB ，则PA 的长为(D) A ．5
B.53
2
C ．5 2
D ．5 3
12．(2018·临沂)如图，在△ABC 中，∠A＝60°，BC ＝5 cm ，能够将△ABC 完全覆盖的最小圆形纸
3
13．在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，B(4，4)，C(6，2)．
(1)点A，B，C能确定一个圆吗？说明理由；
(2)如果能，用尺规作图的方法，作出过这三点的圆的位置；
(3)写出圆心P的坐标，并求出⊙P的半径．
解：(1)点A，B，C能确定一个圆，理由是点A，B，C不在同一条直线上．
(2)如图．
(3)由AB的垂直平分线，BC的垂直平分线的交点，得圆心P的坐标是(2，0)．
半径的长为42＋22＝2 5.
14．小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．
(1)请你帮小明把花坛的位置画出来；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)若△ABC中，AB＝8米，AC＝6米，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．
解：(1)略．
(2)∵∠BAC＝90°，AB＝8米，AC＝6米，
∴BC＝10米，△ABC外接圆的半径为5米．
∴小明家圆形花坛的面积为25π平方米．
综合题
15．阅读材料，解答问题：
命题：如图1，在锐角△ABC 中，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，△ABC 的外接圆半径为R ，则a sinA ＝b
sinB ＝
c
sinC
＝2R. 证明：连接CO 并延长交⊙O 于点D ，连接DB ，则∠D＝∠A.∵CD 是⊙O 的直径，∴∠DBC＝90°.在Rt△DBC 中，sin∠D＝BC DC ＝a 2R ，所以sinA ＝a 2R ，即a sinA ＝2R ，同理，b sinB ＝2R ，c sinC ＝2R ，a sinA ＝
b
sinB ＝
c
sinC
＝2R. 请阅读前面所给的命题和证明后，完成下面(1)(2)两题： (1)前面阅读材料中省略了“b sinB ＝2R ，c sinC ＝2R”的证明过程，请你把“b sinB
＝2R”的证明过程补写出来；
(2)直接运用阅读材料中命题的结论解题，如图2，已知在锐角△ABC 中，BC ＝3，CA ＝2，∠A＝60°，求△ABC 的外接圆半径R 及∠C.
图1 图2
解：(1)证明：连接AD ，则∠ABC＝∠ADC. ∵CD 是⊙O 的直径， ∴∠DAC＝90°.
在Rt△DAC 中，sin∠ADC＝AC DC ＝b
2R .
∴sin∠ABC＝b 2R ，即b
sinB ＝2R.
(2)由命题结论知，BC sinA ＝AC
sinB ，
∴
3sin60°＝2
sinB
.
∴sinB＝
22
. ∵BC＞CA ，
∴∠A＞∠B.∴∠B＝45°.∴∠C＝75°.
由3
sin60°
＝2R ，得R ＝1.。