第四节岩石的强度理论•研究岩石破坏原因、过程及条件的理论—岩石的强度理论。

•将表征岩石强度条件的函数称为岩石的强度准则，•而将表征岩石破坏条件的函数称为岩石的破坏判据。

一、一点的应力状态•1、正负号的规定①压为正，拉为负；②剪应力是使物体产生逆时针转为正，反之为负；③角度以X轴正向沿逆时针方向转动所形成的夹角为正，反之为负。

•2、一点的应力的表示方法三个正应力：σx 、σy、σz，正应力的角标为正应力作用面的外法线方向；剪应力的角标为：第一个角标表示剪应力作用面的外法线方向；第二个角标表示剪应力作用的方向。

三对剪应力：在平面问题中，独立的应力分量只有三个，即：σx 、σy 、τxyτxy =τyxτyz =τzyτzx =τxz3、平面问题的简化•①平面应力问题（垂直于平面方向应力为零），•如薄板问题；•②平面应变问题（垂直于平面方向应变为零）,•如大坝、路堤、隧道横断面等问题。

•不论那一种平面问题，用弹性力学的方法进行分析所得的结果，可以互相转换：平面应力计算公式中的E用E/（1-μ2）、μ用μ/ （1-μ）代入，即可将平面应力问题的计算公式转换成平面应变问题的计算公式。

4、基本应力公式如图所示：以二维平面问题为例任意角度倾斜截面上的应力计算公式下：τxyτyxτyxτxyσxσyσyσxσnτnαατ-ασ-σ+σ+σ=σ2sin 2cos 22xy yx yx n ατ+ασ-σ=τ2cos 2sin 2xy yx n 若上述公式对求导，即可求得最大、最小主应力的表达式如下：223122xy y x yx τ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛σ+σ±σ+σ=σσ应力圆点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向面上的正应力和切应力；转向对应——半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；二倍角对应——半径转过的角度是方向面法线旋转角度的两倍。

最大主应力与σx 的夹角可按下式求得：yx xytg σστθ-+=22此外，在分析任意角的应力状态时，也常用最大、最小主应力表示：ασ-σ+σ+σ=σ2cos 223131n ασ-σ=τ2sin 231n莫尔应力圆的表示方法如下：231223122⎪⎭⎫ ⎝⎛σ-σ=τ+⎪⎭⎫ ⎝⎛σ+σ-σn n )0,2(31σσ+圆心为231σ-σ半径等于o ′σ3σ12αoστ2α-2ασ1σ1σ3σ3α-αDD ′τσσ1σ3ODD ′强度理论：关于材料破坏原因和条件的假说。

岩石强度理论基本思想：①确认材料失效的力学原因，提出破坏条件假说。

②用简单受力情况下的破坏实验指标，建立复杂应力状态下的弹性失效准则。

岩石破坏类型：①断裂破坏：单轴拉断、劈裂——由拉应力引起；②剪切破坏：塑性流动、剪断——由剪应力引起。

二、莫尔强度理论（Mohr 1900年提出，莫尔强度准则）在荷载作用下材料达到极限状态时，破坏面上的剪应力达到一个取决于破坏面正应力与材料性质的最大值。

即：)(στf =莫尔强度理论的建立是①用莫尔应力圆来表示一点的应力状态；②由各种试验确定材料破坏面上正应力与最大剪应力—强度曲线；材料破坏时不同应力状态的—极限应力圆与强度曲线—建立强度准则。

④①—单轴拉伸；②—单轴压缩；③—三轴压缩；④—莫尔包络线τσO②③①③莫尔强度曲线绘制(由单拉,单压,三压强度实验得到）莫尔强度曲线绘制(由单拉,单压,三压强度实验得到）特点：曲线左侧闭合，向由侧开放（耐压、不耐拉）；曲线的斜率各处不同（内摩擦角、似内聚力变化，与所受应力有关）；曲线对称于正应力轴(破坏面成对出现，形成X 型节理)；不同岩石其强度曲线不同(不同岩石具有不同的强度性)。

1、直线型强度线由于直线型强度线与库伦强度线一致，因此也称库伦—莫尔强度线，即库伦·莫尔强度理论（准则）。

C·A·Coulomb1773年提出的库伦·莫尔强度理论,是莫尔准则的一特例——简洁、应用简便。

oστσ3σ1c·ctg υ)(31σσ+21cυ)(31σσ-21图2-29 库仑—莫尔强度条件岩石的强度(条件)准则：岩石的破坏判据：ϕστtg c ⋅+=ϕϕσϕϕσsin 1cos c 2sin 1sin 1-⋅+-+=31或ϕστtg c ⋅+≥或312σϕϕϕϕσsin 1sin 1sin 1sin 1c -++-+=或ϕϕσϕϕσsin 1cos 2sin 1sin 131-⋅+-+≥c （2）数学表达式（3）与单轴抗压强度的关系223131σσϕσσϕ++⋅-=ctg c sin （2-42）由主应力表示岩石的强度条件（2—42）由式（2-42）推出：c31σξσσ+=其中ϕϕξsin 1sin 1-+=ϕϕσsin 1cos 2c c -⋅=tc /,σξσσσ=-==310（5）破坏方向角ααϕϕϕϕ222tg )245(tg )245(ctg sin 1sin 1=+=-=-+ 当时，03=σc σσ=1；2450ϕα+=1ˆˆσαn =（）令为拉压指数。

σ1－σ3坐标系图ζσσ=t cσc σ1=ξσ3 + σcσtσ3 Oσ1σ1=σ32、抛物线型强度曲线岩性较软弱的岩石，如泥岩、页岩等的强度线近似于此种类型。

根据抛物线方程式，以岩石单轴抗拉强度表示，岩石的强度准则（强度条件）：)(t t σσστ+=2岩石的破坏判据：)(2t t σσστ+≥τ2 =σt(σ+σt)σtσOτ抛物线σc3、双曲线型强度曲线对于砂岩，石灰岩等较坚硬的岩石，其强度曲线近似于双曲线型。

根据双曲线方程式，其岩石的强度准则（强度条件）为：tt t )()(σσσησστ+++=tg 22其破坏判据：ttg ησσσσστ)()(t 2t 2+++≥21t c321tg ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=σση式中所以不适用于的岩石。

3<σσt c 3<σσtc当时tgη出现虚值，σtσcτ2 =(σ+σt)2tgη+σt(σ+σt)σOτ渐近线双曲线ηη为包络线渐近线与水平轴夹角（四）对莫尔强度理论的评价：优点：①适用于塑性岩石，也适用于脆性岩石的剪切破坏；②较好解释了岩石抗拉强度远远低于抗压强度特征；③解释了三向等拉时破坏，三向等压时不破坏现象；④简单、方便:同时考虑拉、压、剪,可判断破坏方向.的作用，误差：±15％；不足：①忽视了σ2②没有考虑结构面的影响；③不适用于拉断破坏；破裂面趋于分离④不适用于膨胀、蠕变破坏。

三、格里菲斯准则（Griffth 1921）断裂力学21年提出格里菲斯强度理论，并于70年代引入岩石力学领域。

1）基本假设（观点）：①物体内随机分布许多裂隙；②所有裂隙都张开、贯通、独立；③裂隙断面呈扁平椭圆状态；④在任何应力状态下，裂隙尖端产生拉应力集中，导致裂隙沿某个有利方向进一步扩展。

⑤最终在本质上都是拉应力引起岩石破坏。

1σ2σ2σ1σ3σ3σ1σ1σ1σ1σ1σ1σ裂纹将沿着与最大拉应力成直角的方向扩展，格里菲斯认为当作用在裂纹尖端附近的有效应力达到形成新裂纹所需能量时，裂纹开始扩展，其表达式为：212⎪⎭⎫ ⎝⎛πρ=σc E t 式中：σt —裂纹尖端附近所作用的最大拉应力；ρ—裂纹的比表面能；c —裂纹长半轴；E —岩石的弹性模量。

σ3σ3βσ1ψβψσ1ψxy2）两个关键点：①最容易破坏的裂隙方向；②最大应力集中点（危险点）。

在压应力条件下裂隙开列及扩展方向带椭圆孔薄板的孔边应力集中问题)(2arccos213121σσσσψ+-=①数学式)(2213121σσσσψ+-=arccos③Griffth 准则几何表示⎪⎩⎪⎨⎧-=+->+=<+t t σσσσσσσσσσσ8)(03033123131331时时②最有利破裂的方向角3）Griffth （张拉）准则（a ）在坐标下图2—43由此区可见，当时，即压拉强度比为8。

31σσ-03=σt σσ81-=在σ1—σ3坐标轴下格里菲斯强度判据的图解σ3σ1σ1+ 3σ3=0σ3=σttσσσσσ8)(31231-=+-σ1=σ3非破裂区破裂区（b ）τ－σ坐标下设－应力圆半径；－圆心；又设，则Griffth 强度准则第二式写成（a ）而应力圆方程：（b ）（a ）代入圆方程得：（c ）上式即为满足强度判据的极限莫尔应力圆表达。

求切点：由（c ）式对σm 求导得：231σ+σ=σm 2/)(31σστ-=m 0331>+σσtm m t m m t )()()(σστσστσσσσσ482282231231=⇒=⇒=+-222)(mm ττσσ=+-t m m σστσσ4)(22=+-tm t m σσσσσσ24)(2+=⇒=-(d)tt t σσστσ)2(4)2(22+=+(d)代入(c ）得在下的准则与库仑准则类似，为抛物线型。

τσ-)(42t t σσστ+=Griffh 准则仅考虑岩石开裂，并非宏观上破坏，故强度值偏大。

小结σc =-8σtτσσ3=σt(σ1+3σ3)＜0τ=4σt(σ+σt)oτ2β(σ1+3σ3)> 0应力条件σ1+3σ3≥0σ1+3σ3＜0图形最易扩展的裂纹方向裂纹开始扩展的强度判据最易发生扩展的位置与扩展方向在裂纹尖端附近扩展方向与裂纹长轴夹角为2ψ在裂纹尖端扩展方向平行与裂纹长轴()313122cosσ+σσ-σ=ψ()tσ-≥σ+σσ-σ831231tσ≥σ3=ψGrriffith强度准则评价：优点：①岩石抗压强度为抗拉强度的8倍，反映了岩石的真实情况；②证明了岩石在任何应力状态下都是由于拉伸引起破坏；③指出微裂隙延展方向最终与最大主应力方向一致。

不足：①仅适用于脆性岩石，对一般岩石莫尔强度准则适用性远大于Griffith准则。

②对裂隙被压闭合，抗剪强度增高解释不够。

③Griffith准则是岩石微裂隙扩展的条件，并非宏观破坏。

四、岩石的屈服准则屈服准则是指判别某一点的应力是否进入塑性状态的判别准则。

1、屈列斯卡（Tresca ）准则屈列斯卡准则认为：当最大剪应力达到一定数值时，岩石开始屈服（破裂），进入塑性状态。

其表达式为K2K 31=-=）（或σστmax式中，K 是与岩石性质有关的常数。

可由试验确定。

单向拉伸试验时，则单向压缩试验时，则如以岩石强度参数表示，这时，则。

tσσσσ+===3210tK σ=cσσσσ===132;0cK σ=c K 2=0=ϕ若各主应力大小无法确定排序，则屈列斯卡判据可表示为：∣σ－σ2∣= K1∣σ－σ3∣= K2∣σ－σ1∣=K3或写成[（σ－σ2）2 －K2 ] ·1[（σ－σ3）2 －K 2] ·2[（σ－σ1）2 －K2]=032、米赛斯（Mises ）准则米赛斯（Mises ）理论又称为八面体应力理论，亦属于最大剪应力强度理论。