§2热传导方程的初值问题一维热传导方程的初值问题(或Cauchy 问题)⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=∂∂-∂∂x x x u t x t x f x u a tu ),()0,(0,),,(222ϕ （）偏导数的多种记号xx x t u xuu x u u t u =∂∂=∂∂=∂∂22,,. 问题也可记为⎩⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=-x x x u t x t x f u a u xx t ),()0,(0,,),(2ϕ.Fourier 变换我们将用Fourier 变换法求解热传导方程的柯西问题.为此我们将着重介绍Fourier 变换的基本知识.Fourier 变换在许多学科中是重要使用工具. 可积函数,设)(x f f =是定义在),(+∞-∞上的函数, 且对任意A B <，()f x 在[,]A B 上可积，若积分⎰+∞∞-dx x f )(收敛,则称)(x f 在),(+∞-∞上绝对可积。

将),(+∞-∞上绝对可积函数形成的集合记为),(1+∞-∞L 或),(+∞-∞L ， 即{}∞<=+∞-∞=+∞-∞⎰+∞∞-dx x f f L L )(|),(),(1，称为可积函数空间.连续函数空间: ),(+∞-∞上全体连续函数构成的集合,记为),(+∞-∞C ,{}上连续在),(|),(+∞-∞=+∞-∞f f C ， {}上连续在),(,|),(1+∞-∞'=+∞-∞f f f C 。

定义 若),(+∞-∞∈L f ,那么积分),(ˆ)(21λπλf dx e x f x i =⎰+∞∞--有意义,称为Fourier 变换, )(ˆλf 称为)(x f 的Fourier 变式(或Fourier 变换的象). ⎰+∞∞--==dx e x f f Ff x i λπλλ)(21)(ˆ)(定理 (Fourier 积分定理)若),(),(1+∞-∞⋂+∞-∞∈C L f ,那么我们有),()(ˆ21limx f d e f NNx i N =⎰+-∞→λλπλ公式称为反演公式.左端的积分表示取Cauchy 主值.通常将由积分)()(21x g d e g x i ∨+∞∞-=⎰λλπλ所定义的变换称为Fourier 逆变换.因此亦可写成()f f =∨ˆ即一个属于),(),(1+∞-∞⋂+∞-∞C L 的函数作了一次Fourier 变换以后,再接着作一次Fourier 逆变换,就回到这个函数本身.在应用科学中经常把)(ˆλf 称为)(x f 的频谱.Fourier 变换的重要性亦远远超出求解偏微分方程的范围,它在其它应用科学中,如信息论,无线电技术等学科中都有着极为广阔的应用.它是近代科学技术中得到广泛应用的重要数学工具.定理的证明在经典书中都能查到(如姜礼尚,陈亚浙,<<数学物理方程讲义>>)定理 设),(+∞-∞∈L f ，⎰+∞∞--=dx e x f fx i λπλ)(21)(ˆ，则)(ˆλf 是有界连续函数,且 .0)(ˆlim =∞→λλf在运用Fourier 变换求解定解问题以前,我们先来介绍一些Fourier 变换的性质.Fourier 变换的性质： 1.（线性性质） 若.2,1,),,(=∈+∞-∞∈j C L f j j α则(),ˆˆ22112211f f f f αααα+=+∧2.（微商性质）若),,(),()(),(+∞-∞⋂+∞-∞∈'L C x f x f 则.ˆf i dx df λ=⎪⎭⎫⎝⎛∧证明 由假设),,(),()(),(+∞-∞⋂+∞-∞∈'L C x f x f 故0)(lim =∞→x f x ,事实上由),()(+∞-∞∈'C x f ,则dt t f f x f x⎰'+=0)()0()(,因为),()(+∞-∞∈'L x f ,故有⎰±∞±±∞→'+==0)()0()(lim dt t f f a x f x又因),()(+∞-∞∈L x f ,必有0=±a .由0)(lim =∞→x f x ,利用分部积分公式⎰∞+∞--∧'=⎪⎭⎫⎝⎛dx e x f dx df x i λπ)(21⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰+∞∞--∞+∞--dx e i x f e x f x i xi ))(()(21λλλπ).(ˆ)(2λλπλλf i dx e x f i x i ==⎰+∞∞--附注 这个性质说明微商运算经Fourier 变换转化为乘积运算,因此利用Fourier 变换可把常系数微分方程简化为函数方程,或把偏微分方程简化为常微分方程,正是由于这个原因,Fourier 变换成为解微分方程的重要工具. 3.（乘多项式）若),()(),(+∞-∞∈L x xf x f 则有[])(ˆ)(λλf d d ix xf =∧. 证明 由于),()(),(+∞-∞∈L x xf x f ,故)(ˆλf 是λ的连续可微函数,且有 []∧+∞∞---=-=⎰)()())((21)(ˆx xf i dx e ix x f f d d x i λπλλ附注 作为性质2,3的推论,若),,(),()(),(),()(+∞-∞⋂+∞-∞∈'L C x fx f x f m Λ则 ())1(,)(ˆ≥=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∧m f i dx fd m m m λλ 若),,()(),(),(+∞-∞∈L x f x x xf x f mΛ则[])1(,)(ˆ)(≥=∧m f d d i x f x mm mmλλ4．（平移性质）若),,()(+∞-∞∈L x f 则[])1()(ˆ)(≥=--∧m f e a x f a i λλ证明[])(ˆ)(21)(21)()(λππλλλf e dy e y f ya x dx e a x f a x f a i a y i x i -∞+∞-+-+∞∞--∧==--=-⎰⎰5.（伸缩性质）若),,()(+∞-∞∈L x f 则[])0(,)(ˆ1)(≠=∧k kf k kx f λ证明 无妨设,0<k 由定义[])(ˆ11)(1211)(21)(21)(kf k dy ke yf k dy k ey f y kx dxe kxf kx f kyi kyi x i λπππλλλ=⎪⎭⎫⎝⎛-===⎰⎰⎰∞+∞--∞-∞+-+∞∞--∧6.（对称性质）若),,()(+∞-∞∈L x f 则 ,)(ˆ)(λλ-=∨f f 证明⎰+∞∞-∨=dx e x f f x i λπλ)(21)(⎰+∞∞---=dxe xf x i )()(21λπ.)(ˆλ-=f7.（卷积定理）若),,()(),(+∞-∞∈L x g x f ⎰+∞∞--=*dt t g t x f x g f )()()(称为f 与g 的卷积,则),()(+∞-∞∈*L x g f ,且有()).(ˆ)(ˆ2)(λλπλgf g f =*∧证明 由积分交换次序定理⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞--=*dx dt t g t x f dx x g f |)()(|)(⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤dt dx t g t x f )()(⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=dt dx t x f t g )()(⎰⎰+∞∞-+∞∞-⋅=dt t g dx x f )()( 故),()(+∞-∞∈*L x g f ,又由积分交换次序定理()()()().ˆˆ2)(21)(212)()(21)()(21)(λλππππππλλλλλλgf dy e y f dt e tg dx e t x f dt e t g dt t g t x f dx e g f yi t i t x i ti xi =⋅⋅=-=-=*⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞---∞+∞-∞+∞----+∞∞-+∞∞--∧下面作为例子,我们根据Fourier 变换的定义与性质求一些具体函数的Fourier 变换.例1 设 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤=Ax A x x f ,0,1)(1,(其中常数0>A ).求)(ˆ1λf .解 由定义⎰⎰----==AAx i AAx i dx e dx e x f f λλππλ21)(21)(ˆ11AAx i e i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λλπ121λλπA sin 2=. 例2 设⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(2x x e x f x , 求)(ˆ2λf . ⎰+∞--=221)(ˆdx ee f xi x λπλ⎰+∞+-=)1(21dx e x i λπ∞++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=0)1(1121x i e i λλπλπi +=1121.例3 设,)(3xex f -=求)(ˆ3λf⎰+∞∞---=dx e ef x i xλπλ21)(ˆ3⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰∞--+∞+-0)1(0)1(21dx e dx e xi x i λλπ ⎪⎭⎫⎝⎛-++=λλπi i 11112121221λπ+=. 例4 设,)(24x e x f -=求)(ˆ4λf⎰+∞∞---=dx eef xi x λπλ221)(ˆ4⎰∞+∞---'⎪⎭⎫ ⎝⎛-=dx e i ex i x λλπ1212⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰∞+∞---∞+∞---dx e xe i e e i x i x x x i λλλλπ222121[]∧-=22x xe iλ)(ˆ24λλλf d d -= ， 上面最后一个等式应用了性质3. 因为)(ˆ4λf 作为λ的函数适合下面常微分方程初值问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=⎰∞+∞--2121)0(ˆ,)(ˆ2)(ˆ2444dx e f f d f d x πλλλλ, 解之得44221)(ˆλλ-=ef .例5 设,)(25Ax e x f -=（0>A ）,求)(ˆ5λf .由性质5()()AeA A f A x A f x f f 44455221)(ˆ1)()()(ˆλλλ-∧∧====.例6 ),()(4622Bx f eex f B x Bx ===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--(0>B )()446622)/1(ˆ/11()(ˆλλλB eB Bf Bx f f -∨===.()()⎰+∞∞-∨*=*λλπλd e g f x g f xi )(21)( ⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λλπλd e dy y g y f x i )()(21dy d e y g y f x i ⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λλπλ)()(21dy d e y f e y g xy i iyx ⎰⎰+∞∞-+∞∞--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λλπλ)()()(21 )()(2x g x f ∨∨=π,()()g f gfg f ⋅==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛*∨∨∨∧∧ˆˆ22121πππ,于是()∧∧∧*=⋅g f g f π21,因为()gf g f ˆˆ2⋅=*∧π, 所以()()[]g f g f g f *=*=⋅∨∧∨ππ2121ˆˆ.最后我们简单地介绍一些有关多维Fourier 变换的基本知识定义 设),(),,,()(21nn R L x x x f x f ∈=Λ那么积分())(ˆ)(21λπλf dx e x f nRx i n=⎰⋅-,有意义,称为)(x f 的Fourier 变换,)(ˆλf 称为)(x f 的Fourier 变式.定理（反演公式）若)()()(1nn R L R C x f ⋂∈,则有())()(ˆ21limx f d e fNx i nN =⎰≤⋅∞→λλλλπ. ()⎰⋅∨=nRx i nd e g x g λλπλ)(21)(称为)(λg 的Fourier 逆变换.定理表明()()f f f f ＝∧∨∨=,ˆ容易证明关于一维Fourier 变换的性质1—7对于多维Fourier变换依然成立.根据上面Fourier 变换的定义,我们还有下面的结论： 8. 若),()()()(2211n n x f x f x f x f Λ=其中),,()(+∞-∞∈L x f i i 则有)(ˆ)(ˆ1ii ni f f λλ=∏= （） 利用这一性质,我们可求出函数221)(i Ax ni xA e ex f -=-∏==的Fourier 变式.事实上()AAx i i eAe42221λ-∧-=,()()AnAni Ax ni Ax ni eAe Ae ef i ii 4411122222121)(ˆλλλ--=∧-=∧-==∏=∏=⎪⎭⎫ ⎝⎛∏=.Poisson 公式在这一小节中我们应用Fourier 变换解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=∂∂-∂∂x x x u t x t x f x u a tu ),()0,(0,),,(222ϕ （）在方程（）两边关于变量x 作Fourier 变换,⎰+∞∞--=dx e t x u t ux i λπλ),(21),(ˆ ,利用性质1和性质2,得到⎪⎩⎪⎨⎧==+=),(ˆˆ),,(ˆˆˆ022λϕλλt u t f ua dt u d 其中 ⎰+∞∞--=dx et x u t uxi λπλ),(21),(ˆ,⎰+∞∞--=dx e x x i λϕπλϕ)(21)(ˆ[]∧=),(),(ˆt x f t f λ.解之得⎰---+=t t a t a d e f e t u 0)(2222),(ˆˆ),(ˆττλϕλτλλ,现在对上式两边求反演,由反演公式,得()()⎰∨--∨-+=tt a ta d e f e t x u 0)(2222),(ˆˆ),(ττλϕτλλ （）由(),21422AAx e Aeiλ-∧-=取t a A 241=则ta x t a e ta e 2222241211λ-∧-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛, 即t a x t a ee t a 22224121λ-∧-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛, 令224121),(x ta eta t x g -=,[]t a e t x g 22),(λ-∧=,从而有()()g g e ta *21ˆˆˆ22ϕπϕϕλ==∨∨- ⎰+∞∞--=ξξξϕπd x g )()(21⎰∞+∞---=ξξϕπξd t ata x 224)()(21 （）同理我们有()()g f t g f ef t a *21),(ˆ),(ˆ),(ˆ)(22πτλτλτλτλ=-=∨∨-- ⎰∞+∞-----=ξτξτπτξd e f t a t a x )(4)(22),()(21（）于是得⎰⎰⎰∞+∞----∞+∞----+=ξτπτξτξξϕπτξξd et a f d d t at x u t a x t ta x )(4)(04)(2222)(21),()(21),(在一定条件下,可以证明上述表达式的函数是方程问题的解. 定理 若),()(+∞-∞∈C x ϕ,且)(x ϕ有界,则⎰∞+∞---=ξξϕπξd et at x u ta x 224)()(21),(在),0(+∞⨯R 上连续,且在),0(+∞⨯R 上具有任意阶的连续偏导数，),(t x u 是问题⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=∂∂-∂∂x x x u t x xu a t u ),()0,(0,,0222ϕ的解,即),(t x u 满足方程和)(),(lim 00x t x u x x t ϕ=→→+. ⎰∞+∞---=ξξϕπξd et at x u ta x 224)()(21),(⎰+∞∞--+-=ηηϕπξηηd e t a x ta x 2)2(12/)(特别说明：当)(x ϕ连续,)(x ϕ是某些无界函数时,),(t x u 的表达式亦是解（)(x ϕ无界时，也可以是解）.例1 求解⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=∂∂=xux u at u t sin ,0222解 1、直接观察x e t x u t a sin ),(2-=是解. 2、⎰+∞∞--+=ηηϕπηd e t a x t x u 2)2(1),(⎰+∞∞--+=ηηπηd e t a x 2)2sin(1()⎰+∞∞---+=ηηηπηηd e t a x e t ax 222sin cos 2cos sin 1⎰+∞∞--=ηηπηd et a x 22cos sin 1⎰+∞∞---=ηπηηd e e x t ai 22212sin442212sin t a e x -=442212sin t a e x -=x e t a sin 2-=, ()42221λη-∧-=e e .例2求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=∂∂=x ux u at u t cos ,0222的解x e t x u t a cos ),(2-=.例3求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧+===1,202x u u a u t xx t 的解. 解1 直接观察t a x t x u 2221),(++= 2. []⎰+∞∞--++=ηηπηd e t a x t x u 21)2(1),(2[]⎰+∞∞--+++=ηηηπηd e t a t ax x 21441222t a x 2221++=从这几个实例上,更直观明显的证明求解公式的正确,对模型方程的正确性,提供保证.⎪⎩⎪⎨⎧++===1cos ,22x x u u a u t xx t 定理 设)(x ϕ在),(+∞-∞上连续且有界，),(t x f ，(,)x f x t 在],0[),(T ⨯+∞-∞上连续且有界，令 ⎰∞+∞---=ξξϕπξd etat x u ta x 224)()(21),(⎰⎰∞+∞-----+ξττξτπτξd e t f d a t a x t )(4)(0221),(21，其中常数0>a ，则有)(),(lim 00,0x t x u t x x ϕ=+→→；(,)u x t 问题⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=∂∂-∂∂x x x u t x t x f x u a t u ),()0,(0,),,(222ϕ的解。