第六章 扭转
第六章 扭转\扭矩与扭矩图 3）绘出扭矩图如图所示。
350 ＋
－ 223
573 T图(单位：N ·m)
由图可知，最大扭矩发生在CA段轴的各横截面上,其值为
T 573N m max
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第六章 扭转\圆轴扭转时的应力与强度计算
6.3 圆轴扭转时的应力和强度计算
6.3.1 圆轴的扭转试验
1. 扭转试验现象与分析 图（a）所示为一圆轴，在其表面画上若干条纵向线和圆周线， 形成矩形网格。扭转变形后[图（b）]，在弹性范围内，可以观察到 以下现象：
点G的纵向线EG的倾斜角为， 即为E点处的切应变。
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第六章 扭转\圆轴扭转时的应力与强度计算
令G点到轴线的距离为，由几何关系知
tan
GG EG
d
dx
由于在同一横截面处 d 为一个常量，因此上式表明，横截
dx
面上任一点处的切应变与该点到圆心的距离成正比。这就是变形
1）各纵向线都倾斜了一个微小的角度，矩形网格变成了平行
四边形。 2）各圆周线的形状、大小及间距保持不变，但它们都绕轴线转
动了不同的角度。
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第六章 扭转\圆轴扭转时的应力与强度计算
根据以上观察到的现象，可以作出如下的假设及推断： ① 由于各圆周线的形状、大小及间距保持不变，可以假设圆 轴的横截面在扭转后仍保持为平面，各横截面象刚性平面一样绕轴 线作相对转动。这一假设称为圆轴扭转时的平面假设。 ② 由于各圆周线的间距保持不变，故知横截面上没有正应力。 ③ 由于矩形网格歪斜成了平行四边形，即左右横截面发生了 相对转动，故可推断横截面上必有切应力τ，且切应力的方向垂直于 半径。
上式就是圆轴扭转时横截面上任一点处切应力大小的计算公式。切 应力的方向则与半径垂直，并与扭矩的转向一致。
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当=R时，切应力最大，最大切应力为
m
a
＝TR x Ip
令 则有
Wp＝IRp
m
a
＝T x Wp
式中；WP——扭转截面系数，单位为mm3或m3。
极惯性矩IP和扭转截面系数WP是只与横截面形状、尺寸有关的 几何量。利用高等数学知识可算得，直径为D的圆形截面和外径为 D、内径为d的圆环形截面，它们对圆心的极惯性矩和扭转截面系数 分别为
D
应该注意，扭转时应力的计算公式只适用于圆轴。
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第六章 扭转\圆轴扭转时的应力与强度计算
【例6.2】 空心圆轴的横截面外径D=90mm，内径d=85mm，横 截面上的扭矩T=1.5kN·m（如图）。求横截面上内外边缘处的切应 力，绘制横截面上切应力的分布图。
O
T
d
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【解】 1）计算极惯性矩。极惯性矩为
Ip
(D4
32
d4)
(904
32
804 ) mm4
1.32106
mm4
2）计算切应力。内外边缘处的切应力分别为
内
A
T 10 3 2
1.32 106 10 12
Pa
48.3106 Pa
（1）几何关系 从圆轴中截取长为dx的一段进行分析， 如图所示。假想横截面m—m固定不动， 则横截面n—n相对横截面m—m绕轴线转
动了一个角度d，其上的半径O2D也转过 了角度d ，而到达位置O2D′。相应地， 纵向线AD倾斜了一个微小角度，
该倾斜角即为圆轴表面A点处的切应变。同理，设半径O2D上任一
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第六章 扭转\圆轴扭转时的应力与强度计算
圆形截面： 圆环形截面：
Ip
D4
32
Wp
D3
16
Ip
D4－d 4
32
D4 1 4
32
Wp
D4－d 4
16D
D3
16
1 4
式中： d ——内、外径的比值。
径的变化dx规律如图所示。在同一半径的圆周上各点处的切应力相同， 截面边缘各点处的切应力最大。
（3）静力平衡关系
如图所示，距圆心为的微面积上的微
dA
内力为dA，其对圆心的矩为 dA 。因扭
矩T为截面上的分布内力的合力，则有
将式
d A＝T A
＝G
d
dx
代入上式，整理得
线作用的切应力必然成对出现，且大小相等，方向则共同指向或背 离该两面的交线。这一结论称为切应力互等定理。
图示单元体的两对面上只有切应力而没有正应力，这种应力情 况称为纯剪切。
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6.3.2 圆轴扭转时横截面上的切应力
下面从变形的几何关系、力和变形的物理关系及静力学关系推 导横截面上切应力的分布规律。
350 N m
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第六章 扭转\扭矩与扭矩图
2）计算各段轴 内横截面上的扭矩 。
利用截面法，取1—1横截面以左部分为 研究对象[如图]，由平衡方程
M x＝0 T1 MeB 0
得 T1 －M eB －223 N m T1为负值表示假设的扭矩方向与实际方向相反。
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第六章 扭转\扭矩与扭矩图
第六章 扭转
第六章 扭转
本章介绍受扭杆件的外力和内力计算，圆轴扭转时的应力和变 形，以及强度和刚度计算。简单介绍矩形截面杆自由扭转时的应力 和变形。
6.1 工程实例和计算简图 6.2 扭矩和扭矩图 6.3 圆轴扭转时的应力和强度计算 6.4 圆轴扭转时的变形和刚度计算 6.5 矩形截面杆自由扭转时的应力和变形
切应力，故单元体左、右面上有切 应力 。根据平衡条件，两个面上的
切应力大小相等、方向相反，组成一
个力偶，其矩为( dydz)dx。
为了保持单元体的平衡，在上、下面上必定还存在着切应力 ´，组 成一个方向相反的力偶，其矩为（ ´ dxdz）dy。由平衡方程ΣMz=
０，得
故
=´
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第六章 扭转\圆轴扭转时的应力与强度计算 上式表明，在单元体相互垂直的两个平面上，沿垂直于两面交
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第六章 扭转\圆轴扭转时的应力与强度计算 【例6.3】 如图所示的空心圆轴，外径D=100 mm ,内径d=80
mm，外力偶矩Me1 =6 kN·m 、Me2 =4 kN·m 。材料的许用切应力
W＝2nM e
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第六章 扭转\扭矩与扭矩图
若功率用P表示，单位为kW（千瓦），则外力偶每分钟所作的 功也可表示为
W＝60 103 P(N m)
由此可得外力偶矩的计算公式为
M e＝9549
P n
式中：Me——轴上某处的外力偶矩，单位为N·m； P——轴上某处输入或输出的功率，单位为kW；
n——轴的转速，单位为r/min。
轴线的力偶的作用，两力偶大小相等、转向相反。 变形特点是：杆件任意两个横截面都绕杆轴线作相对转动，两
横截面之间的相对角位移称为扭转角，用表示。图示是受扭杆的 计算简图，其中表示截面B相对于截面A的扭转角。扭转时，杆的 纵向线发生微小倾斜，表面纵向线的倾斜角用表示。
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第六章 扭转\扭矩与扭矩图
的几何关系。
（2）物理关系
设横截面上距圆心为点处的切应力为，由剪切胡克定律，有
＝G
将式
tan
GG EG
d
d x 代入式
＝G
，得
＝G
d
dx
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第六章 扭转\圆轴扭转时的应力与强度计算
因为 G d 常数，所以上式表明切应力的大小与成正比，沿任一半
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第六章 扭转\扭矩与扭矩图 【解】 1）计算外力偶矩。作用于轴上的外力偶矩为
M eA
9549 PA n
9549 29kW 300r / min
923N m
M eB
9549 PB n
9549 7 kW 300 r/min
223N m
M eC
M
eD
9549
PC n
9549 11kW 300 r/min
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第六章 扭转\扭矩与扭矩图
6.2.2 扭矩
确定了作用于轴上的外力偶矩 之后，就可应用截面法求其横截面 上的内力。
取左段为研究对象。
由于左端有外力偶作用，为使其 保持平衡，m—m横截面上必存在 一个内力偶矩。它是截面上分布 内力的合力偶矩，称为扭矩，用T 来表示。由空间力系的平衡方程
∑M x =0 T－Me＝０
48.4MPa
外
B
T Ip
D 2
1.5103 90 10 3 2
1.32 10 6 10 12
Pa
51.1106 Pa 51.1MPa
横截面上切应力的分布图如图所示。
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第六章 扭转\圆轴扭转时的应力与强度计算
6.3.3 圆轴的扭转强度计算
为使圆轴扭转时能正常工作，必须要求轴内的最大切应力max 不超过材料的许用切应力[]，若用Tmax表示危险截面上的扭矩，则
6.1 工程实例和计算简图
在工程中，有很多承受 扭转的杆件。例如汽车方向 盘的操纵杆[图（a）]，机器 中的传动轴[图（b）]，钻机 的钻杆[图（c）]以及房屋中 的雨篷梁和边梁[图（d）、 （e）] 等。工程中常把以扭 转为主要变形的杆件称为轴。
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第六章 扭转\工程实例与计算简图 受扭杆件的受力特点是：在杆件两端受到两个作用面垂直于杆
