3.2 混凝土强度理论1．混凝土强度理论模型概况2．古典强度理论（1）最大拉应力理论Rankine(1876)● 强度准则：任一主应力方向最大拉应力达到抗拉强度时破坏 ● 原表达式[]t f ≤1σ ● 等效计算式03cos 2=-+t f r ξθ● 标定方法：单轴抗拉强度 （2）最大拉应变理论Mariotto(1682)● 强度准则：某主方向最大拉应变达到极限拉应变时破坏 ● 原表达式()[][]t Eεσσνσε≤+-=32111● 标定方法：单轴受拉破坏应变 （3）最大剪应力理论Tresca(1864)● 强度准则：最大剪应力达到抗剪强度时破坏 ● 原表达式[]2231max tf =≤-=τσστ● 等效计算式023sin =-⎪⎭⎫ ⎝⎛+k r πθ● 标定方法：单轴抗拉强度（4）平均剪应力理论V on Mises(1913)● 强度准则：统计平均剪应力或八面体剪应力达到极限值时破坏 ● 原表达式()()()[][]t oct f k 3231213232221=≤-+-+-=σσσσσστ ● 等效计算式0222=-k r● 标定方法：单轴抗拉强度（5）摩尔—库仑理论Mohr-Coulomb(1900)● 强度准则：破坏强度不仅取决于最大剪应力，还受剪切面上正应力影响 ● 原表达式στσστk +≤-=031max 2（正应力压为正）● 等效计算式0cos 6sin 3cos 3sin 3sin 2=-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++φφπθπθφξc r r● 标定方法：带正应力作用下的抗剪强度（6）Drucker-Prager 理论(1952)● 强度准则：采用V on Mises 理论的圆形偏平面包络线和Mohr-Coulomb理论的直线子午线组合形成破坏包络面 ● 原表达式oct oct k σττ-=0 ● 等效计算式026=-+k r a ξ● 标定方法：单轴抗压强度、单轴抗拉强度 3．基于实验建立的强度理论 （1）Bresler-Pister(1958)● 强度准则：以二次抛物线子午线和圆形偏平面形成旋转抛物面 ● 表达式2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=c oct coctcoctf c f ba f σστ ● 标定方法：采用单轴抗拉强度t f 、单轴抗压强度c f 、二轴等压强度（c cc f f 28.1=） ● 强度计算式20144.14613.1097.0⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=c octcoctcoctff f σστ （2）Willam-Warnke （3）(1975)● 强度准则：偏平面包络线由6段椭圆弧曲线组成，各段在00=θ和060=θ处连续；00=θ和060=θ处的值采用不同的值t r 和c r ；根据椭圆方程推导建立偏平面曲线方程：()()()()()()22222222222cos 445cos 42cos 2c t t ccr t t c c t c t c c r r r r r r r r r r r r r r r r -+--+--+-=θθθθ子午线为直线，组合形成直线椭圆组合的破坏包络面。

● 表达式⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅-=c m c mf r f σρθτ11)( ● 标定方法采用单轴抗拉强度t f 、单轴抗压强度c f 、二轴等压强度cc f（3）Reimann (1965)● 强度准则采用抛物线子午线和弧形偏平面包络线组合形成破坏包络面● 表达式c f r b f r a f c c c c c +⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2ξc r r φ=（4）Ottosen(1977)● 强度准则基于薄膜比拟法，在等边三角形边框上覆盖薄膜，给薄膜施加均匀压力，使其受拉鼓胀，形成的曲面薄膜（由基准面的三角形截面慢慢过度到圆形截面）类似混凝土破坏面，由薄膜的二阶偏微分方程求解得到混凝土的破坏面。

● 表达式011222=-++ccc f I bf J f J a λ当()⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤-θλθ3cos cos 31cos 302110k k ＝时，当()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-->-θπλθ3cos cos 313cos 302110k k ＝时，● 标定采用单轴抗拉强度t f 、单轴抗压强度c f 、二轴等压强度（c cc f f 16.1-=）和常规三轴抗压强度（4,0.5,6021=-==cc f J f I θ）联合确定● 强度准则在Ottosen 模型的基础上，通过两项修正（去除复杂的λ计算式、引入最大主拉应力1σ对混凝土强度的影响），形成组合曲面破坏包络面● 表达式0111222=-+++cccc f I df cf J bf J aσ ● 基本特征是古典强度理论的广义形式当t c f f c d b a ====,0时，为最大主应力理论； 当0===d c a 时，为统计剪应力理论； 当0==c a 时，为Drucker-Prager 理论。

● 标定采用单轴抗拉强度t f 、单轴抗压强度c f 、二轴等压强度（c cc f f 15.1-=）和常规三轴抗压强度（96.1,85.5,60210=-==cc f J f I θ）联合标定。

● 强度计算式012312.01412.99714.00108.211222=-+++c c c cf I f f J f J σ （6）Willam-Warnke （5）(1975)● 强度准则偏平面包络线由6段椭圆弧曲线组成，各段在00=θ和060=θ处连续；00=θ和060=θ处的值采用不同的值t r 和c r ；根据椭圆方程推导建立偏平面曲线方程：()()()()()()22222222222cos 445cos 42cos 2c t t ccr t t c c t c t c c r r r r r r r r r r r r r r r r -+--+--+-=θθθθ子午线为抛物线，组合形成抛物线椭圆组合的破坏包络面。

● 表达式22100,0⎪⎪⎭⎫⎝⎛++==cmc mc mt f a f a a f σστθ 22100,60⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++==cmc mcmcf b f b b f σστθ ● 标定采用单轴抗拉强度c t f f 15.0=、单轴抗压强度c f 、二轴等压强度c cc f f 8.1=和高静水压三轴抗压强度（5.1,67.3,00=-==cmcmf f τσθ；94.1,12.2,600=-==cmcmf f τσθ）联合标定。

● 强度计算式2003785.052553.0081143.0,0⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==cm c m c mtf f f σστθ 2007305.076444.011845.0,60⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==cmc mcmcf f f σστθ （7）Kotsovos(1979)● 强度准则采用Willam-Warnke 的组合椭圆偏平面包络线、幂函数子午线组合形成椭圆组合截面的指数形破坏包络面● 表达式bc oct ctoct f c a f ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==στθ,0,0 ec oct ccoct f c d f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==στθ,0,60 ● 标定不采用强度特征值标定，而直接采用若干实验数据通过最小二乘法拟合得到待定参数。

（8）Podgorski(1985)● 强度准则采用Ottosen 理论的基本形式，将其主应力不变量改为八面体应力描述。

● 表达式02210=++-oct oct oct c P c c ττσ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-βθα3cos cos 31cos 1p● 标定采用单轴抗拉强度c t f f 1.0=、单轴抗压强度c f 、二轴等压强度（c cc f f 1.1=）、三轴等拉强度（t ttt f f =），以及剪子午线（1:5.0:0::,301110--==σσσθ）上的二轴受压强度（c cc f f 25.1=）联合标定。

（9）过-王（1990）● 强度准则采用幂函数作为破坏包络面曲线方程 ● 表达式dc b a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=000σστ()()25.15.1sin 5.1cos θθc t c c c +=其中：coctf σσ=0，coctf ττ=● 特点——参数的物理意义a ——当-∞=0σ时，a ==m ax ,00ττ，代表高静水压时偏平面包络线为半径为a 的圆。

b ——当b =0σ时，00=τ，破坏包络面与静水压力轴相交与三轴等拉应力点，可以得到：ttttf f b =c ——偏平面包络线至静水压力轴的距离（半径）， 当00=θ时，t c c =，拉子午线半径 当060=θ时，c c c =，压子午线半径d ——子午线幂函数指数，当10<<d 时，在b =0σ处，∞=∂∂0στ，说明子午线切线在b =0σ处与静水压力轴垂直（破坏包络面在b =0σ的切平面）● 标定参数采用单轴抗拉强度c t f f 1.0=、单轴抗压强度c f -、二轴等压强度（c cc f f 28.1-=）、三轴等拉强度（t t t t f f 9.0=），以及常规三轴受压强度（7.2,0.4,600=-==coctcoctf f τσθ），通过迭代计算。

● 强度计算式9297.000009.09638.6⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=σστc()()25.15.1sin 3319.75.1cos 2445.12θθ+=c● 拉压子午线方程 拉子午线：00=θ，9297.00002445.1209.09638.6⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=σστt压子午线：060=θ，9297.00003319.709.09638.6⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=σστt拉压子午线八面体剪应力比值：9297.000002445.123319.7⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=σσττc t偏平面包络线形状： 当b =0σ时，618.000=ctττ，微凸光滑三角形 当-∞=0σ时，0.100=ctττ，圆形 4． 混凝土强度特征值及及统一标定强度理论表达式混凝土强度准则统一表达式（c oct f σσ=0，c oct f ττ=0）混凝土强度准则统一表达式（c oct f σσ=0，c oct f ττ=0）混凝土强度准则统一表达式（c oct f σσ=0，c oct f ττ=0）5．强度理论的评价。