（11-1） 将式（e）分别对6 个应力分量求导，并将其结果与物理方程比较，得：
U1
x
x,
U1
y
y,
U1
z
z,
U1
yz
yz ,
U1
zx
zx,
U1
xy
xy
（11-2）
表明：弹性体的比能对于任一应力分量的改变率，就等于相应的形变分量。
3. 形变势能的应变分量表示
用应变表示的物理方程（8-19）：
§11-8 应力变分法应于扭转问题 §11-9 解答的唯一性 §11-10 功的互等定理
§11-0 引 言
1. 弹性力学问题的微分提法及其解法： 从研究微小单元体入手，考察其平衡、
变形、材料性质，建立基本方程：
（1）平衡微分方程
ij,i X j 0
（2）几何方程
定 解
ij
1 2
(ui, j
u j,i )
（b）对变分方程进行数值求解
基本思想：将求解区域离散， 离散成有限个小区域（单元）， 在小区域（单元）上假设可能解，最后由能量原理
（变分原理）确定其最优解。 —— 将问题转变为求解大型的线性方程组。 —— 有限单元法、边界元法、离散法 等
典型软件： ANSYS，MARC，ADINA，SAP，NASTRAN， ABAQUS 等； —— 基于有限元法的分析软件； UDEC —— 基于离散元法的分析软件；
例2： U
1
2
x x y y z z yz yz zx zx xy xy dxdydz
因为 x x (x, y, z),, yz yz (x, y, z),
所以，U 被称为形变势能泛函。
（2）变分与变分法
A
设：y f (x)
P1
EI
M (x)
B
x
当自变量 x 有一增量：x x1 x0
泛函：U F( y) F f (x) y —— 为一变函数；
F —— 为函数 y 的函数，称为泛函。
例1： M M (x) —— 弯矩方程
梁的形变势能：
P1
EI
M (x)
U l 1 M (x)2 dx
A
0 2 EI —— 泛函
例2：
B
x
l
U 1 2
x x y y z z yz yz zx zx xy xy dxdydz
F x
x
F y
y
F y
ydx
l 0
F y
y
F y
ydx
复合函数的变分：
l
U (x, y, y) 0 F(x, y, y)dx
其中： y f (x), y f (x)
一阶变分：
U
l 0
F x
x
F y
y
F y
ydx
l 0
F y
y
F y
ydx
—— 自变量 x 的变分 x ≡ 0
落至位置2，所需
时间为T，
f (x)
函数的增量y 、泛函的增量 U 等
称为变分。
研究自变函数的增量与泛函的增量 间关 系称为变分问题。
T T f (x) 2
当 f (x) ? T Tmin
—— 最速下降问题
—— 泛函的变分问题
（3）变分及其性质 函数
定义： z f (x)
增量：z z f (x x)
将定解问题转变为求解线性方程组。 弹性力学中的变分原理 —— 能量原理 （变分解法也称能量法）
（a）以位移为基本未知量，得到最小势（位）能原理等。—— 位移法
（b）以应力为基本未知量，得到最小余能原理等。
—— 力法
（c）同时以位移、应力、应变为未知量，得到 广义（约束）变分原理。
求解方法：
—— 混合法
O
l l
三向应力状态：
P
x
一点的应力状态：
x , y , z , yz , zx, xy
zy xy
z zx yx y
xz yz
x
三向应力状态：
一点的应力状态： x , y , z , yz , zx, xy
由能量守恒原理，形变势能的值与弹性体受力的次序
zy xy
z zx yxy
v v(x, y, z);
w w(x, y, z)
应力场： x x (x, y, z); y y (x, y, z);
满足：平衡方程、几
何方程、物理 位移边界 Su
方程、边界条 件。 —— 称为真实解
（1）任给弹性体一微小的位移变化： u,v,w
满足两个条件： （1）不破坏平衡状态；
（2）不破坏约束条件，即为约束所允许。
任给弹性体一微小的位移变化： u,v,w
满足两个条件： （1）不破坏平衡状态；
应力边界 S q
P
（2）不破坏约束条件，即为
约束所允许。
变化后的位移状态：
u u u, v v v, w ww
u,v,w —— 称为位移的变分，或虚位移。
（2）考察弹性体的能量变化：
二阶变分：
2U
l 0
y
F y
y
F y
yy
y
F y
y
F y
yydx
—— 二阶变分用于判别驻值点是取得极大值还是极小值。
2. 位移变分方程
建立：弹性体的形变势能与位移间变分关系 —— 位移变分方程
设弹性体在外力作用下，处于平衡状态。
边界： S S Su
应力边界 S q
P
位移场： u u(x, y, z);
函数 y 也有一增量：
l
y1(x)
y(x)
y
y y1 y0
设： U Uy(x)
f (x1) f (x0 ) y f (x)x
dy f (x)dx
dy 与 dx ，分别称为自变量 x 与函数 y 的 微分。 —— 微分问题
函数 y 有一增量：y y1 y y
泛函 U 也有一增量：
U Uy(x1)Uy(x) U
条件： Uy(x) 0
—— 一阶变分为零。
当 y1(x) y0 (x) 0, 取得极值
—— 称为强极值
当 y1(x) y0 (x) 0, 取得极值
—— 称为弱极值
（4）变分的运算 变分与微分运算：
变分与积分运算：
d f (x) d f (x)
dx dx
2 d f (x) d 2 f (x) dx dx
Ly(x)y max y Ly(x) —— U 增量的线性主部
dz f (x)dx
极值：
若 z f (x) 在 x0 处有极值，
则有：
f (x) 0 x0
当 max|y|→0时，max →0，则
U 可用其线性主部表示, 即
极值： U Ly(x)y
若 U[y(x)] 在 y0(x) 处有极值，
第十一章 能量原理与变分法
要点：（1）弹性体形变势能的计算、变分法 的基本思想
（2）位移变分法 —— 最小势能原理、里兹（Ritz）法、
伽辽金（Galerkin）法
（3）应力变分法 —— 最小余能原理、卡氏（Castigliano）
定理
（4）位移变分法、应力变分法的应用
主 要内容
§11-1 弹性体的形变势能 §11-2 位移变分方程 §11-3 位移变分法 §11-4 位移变分法应用于平面问题 §11-5 应力变分方程 §11-6 应力变分法 §11-7 应力变分法应于平面问题
U1
x
x,
U1
y
y,
U1
z
z,
U1
yz
yz ,
U1
zx
zx,
U1
xy
xy
（11-4） —— 格林公式
表明：弹性体的比能对于任一应变分量的改变率，就等于相应的应力分量。
4. 形变势能的位移分量表示
将几何方程（8-9）代入上式，得：
U E
2(1 )
1 2
u x
v y
w z
里兹（Ritz）法，伽辽金（Galerkin ）法， 加权残值（ 余量）法等。
—— 有限单元法、边界元法、离散元法 等数值解法的理论基础。
3. 弹性力学问题的数值解法： （a）直接求解联立的微分方程组（弹性力学的基本方程） 基本思想： 将导数运算近似地用差分运算代替；
将定解问题转变为求解线性方程组。 实质：将变量离散。—— 有限差分法； 典型软件：FLAC
(
2 yz
2 zx
2 xy
)
U U1dxdydz
（g）
U
E 2(1
)
1 2
e2
(
2 x
2 y
2 z
)
1 2
(
2 yz
2 zx
2 xy
)dxdydz
∵ 0 < < 1/2 ， ∴ U ≥0 即弹性体的形变势能是非负的量。 （11-3）
将上式对6个应变分量分别求导，再与应力表示的物理方程（8-17） 比较，可得：
2
u x
2
v y
2
w z
2
1 2
w y
v z
2
u z
w x
2
v x
u y
2
dxdydz
（11-5）
§11-2 位移变分方程
1. 泛函与变分的概念
（1）泛函的概念
函数： y f (x)
x —— 自变量； y —— 因变量，或称自变量 x 的函数。
x —— 自变量；
无关，只取决于最终的状态。
假定所有应力分量与应变分量全部按同样的比例增加， 此时，单元体的形变比能：