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高中数列知识点总结

高中数列知识点总结 Written by Peter at 2021 in January
数列知识点总结
第一部分 等差数列
一 定义式: 1n n a a d --=
二 通项公式:n a 1
()(1)m a n m d a n d =+-⎧⎨=+-⎩ 一个数列是等差数列的等价条件:b an a n +=(a ,b 为常数),即n a 是关于n 的一次函数,因为n Z ∈,所以n a 关于n 的图像是一次函数图像的分点表示形式。

三 前n 项和公式:
一个数列是等差数列的另一个充要条件:bn an S n +=2(a ,b 为常数,a ≠0),即n S 是关于n 的二次函数,因为n Z ∈,所以n S 关于n 的图像是二次
函数图像的分点表示形式。

四 性质结论
或4个数成等差数列求数值时应按对称性原则设置,
如:3个数a-d,a,a+d ; 4个数a-3d,a-d,a+d,a+3d
2.a 与b 的等差中项2
a b A +=; 在等差数列{}n a 中,若m n p q +=+,则
m n p q a a a a +=+;若2m n p +=,则2m n p a a a +=; 3.若等差数列的项数为2()+∈N n n ,则,奇偶nd S S =-
1+=n n a a S S 偶

; 若等差数列的项数为()+∈-N n n 12,则()n n a n S 1212-=-,且n a S S =-偶奇,1
-=n n S S 偶奇
4.凡按一定规律和次序选出的一组一组的和仍然成等差数列。


12,n A a a a =++⋯+,122n n n B a a a ++=++⋯+,
21223n n n C a a a ++=++⋯+,则有C A B +=2;
5.10a >,m n S S =,则前2m n S +(m+n 为偶数)或12
m n S +±(m+n 为奇
数)最大
第二部分 等比数列
一 定义:1
(2,0,0){}n n n n a q n a q a a -=≥≠≠⇔成等比数列。

二 通项公式:11-=n n q a a ,n m n m a a q -=
数列{a n }是等比数列的一个等价条件是:
(1),(0,01n n S a b a b =-≠≠,)当0q >且0q ≠时,n a 关于n 的图像是指数函
数图像的分点表示形式。

三 前n 项和:1111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q +=⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩
; (注意对公比的讨论)
四 性质结论:
1.a 与b 的等比中项
G 2G ab G ⇔=⇔=(,a b 同号);
2.在等比数列{}n a 中,若m n p q +=+,则m n p q a a a a ⋅=⋅;
若2m n p +=,则2
m n p a a a ⋅=;
3.设12,n A a a a =++⋯+,122n n n B a a a ++=++⋯+,
21223n n n C a a a ++=++⋯+, 则有2B A C =⋅
第三部分 求杂数列通项公式n a
一. 构造等差数列:递推式不能构造等比时,构造等差数列。

第一类:凡是出现分式递推式都可以构造等差数列来求通项公式, 例如:
11
2111-=----n n n a a a , 两边取倒数}11{112111-⇒-=+-⇒-n n n a a a 是公差为2的等差数列)1(21
1111-+-=-⇒n a a n ,从而求出n a 。

第二类:
1111n n n n a a n n -+-=⇒-1n n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是公差为1的等差数列 二。

递推:即按照后项和前项的对应规律,再往前项推写对应式。

例如()1211n n n n n a na a n n a a n a --=⇒=-⇒⋅⋅⋅⋅=!
【注: !(1)(2)1n n n n =--】
求通项公式n a 的题,不能够利用构造等比或者构造等差求n a 的时候,
一般通过递推来求n a 。

第四部分 求前n 项和n S
一 裂项相消法:
1111122334111111111()()()()122334111111
n n n n n n n ++++=⋅⋅⋅+-+-+-++-+=-=++()、11111,2,3,4,n 39278111111234392781+的前和是:(++++)+(+++)
二 错位相减法:凡等差数列和等比数列对应项的乘积构成的数列求和时用此方法,
求:
23n-2n-1
n n S =x 3x 5x (2n-5)x (2n-3)x (2n-1)x (x 1)
++++++≠23n-2n-1n n S =x 3x 5x (2n-5)x (2n-3)x (2n-1)x (x 1)+++
+++≠① 234n-1n n+1n xS =x 3x 5x (2n-5)x (2n-3)x (2n-1)x (x 1)+++++≠②
①减②得:
从而求出n S 。

错位相减法的步骤:
(1)将要求和的杂数列前后各写出三项,列出①式
(2)将①式左右两边都乘以公比q ,得到②式
(3)用①-②,错位相减
(4)化简计算
三 倒序相加法:前两种方法不行时考虑倒序相加法
例:等差数列求和:
两式相加可得:。

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