集合 R 满足完备性，即任意 R 的有非空子集S ( S∈R，S≠Φ)，若 S 在 R 内有上界，那么 S 在 R 内有上确界。

最后一条是区分实数和有理数的关键。

例如所有平方小于 2 的有理数的集合存在有理数上界，如 1.5；但是不存在实数上界（因为
不是有理数）。

实数通过上述性质唯一确定。

更准确的说，给定任意两个有序域 R1 和 R2，存在从 R1 到 R2 的唯一的域同构，即代数学上两者可看作是相同的。

5相关性质
基本运算
实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等，对非负数（即正数和0）还可以进行开方运算。

实数加、减、乘、除（除数不为零）、平方后结果还是实数。

任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数，只有非负实数，才能开偶次方其结果还是实数。

4
图册
四则运算封闭性
实数集R对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算具有封闭性，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是实数。

有序性
实数集是有序的，即任意两个实数a、b必定满足下列三个关系之一：
a<b,a=b,a>b.
传递性
实数大小具有传递性，即若a>b,b>c,则有a>c.
阿基米德性
实数具有阿基米德（Archimedes）性，即对任何a，b ∈R，若b>a>0,则存在正整数n，使得na>b.
稠密性
实数集R具有稠密性，即两个不相等的实数之间必有另一个实数，既有有理数，也有无理数.
唯一性
如果在一条直线（通常为水平直线）上确定O作为原点，指定一个方向为正方向（通常把指向右的方向规定为正方向），并规定一个单位长度，则称此直线为数轴。

任一实数都对应与数轴上的唯一一个点；反之，数轴上的每一个点也都唯一的表示一个实数。

于是，实数集R与数轴上的点有着一一对应的关系。

完备性
作为度量空间或一致空间，实数集合是个完备空间，它有以下性质：
一.所有实数的柯西序列都有一个实数极限。

有理数集合就不是完备空间。

例如，(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142,
1.41421, ...) 是有理数的柯西序列，但没有有理数极限。

实际上，它有个实数极限√2。

实数是有理数的完备化——这亦是构造实数集合的一种方法。

极限的存在是微积分的基础。

实数的完备性等价于欧几里德几何的直线没有“空隙”。

二.“完备的有序域”
实数集合通常被描述为“完备的有序域”，这可以几种解释。

首先，有序域可以是完备格。

然而，很容易发现没有有序域会是完备格。

这是由于有序域没有最大元素（对任意元素 z，z + 1 将更大）。

所以，这里的“完备”不是完备格的意思。

另外，有序域满足戴德金完备性，这在上述公理中已经定义。

上述的唯一性也说明了这里的“完备”是指戴德金完备性的意思。

这个完备性的意思非常接近采用戴德金分割来构造实数的方法，即从（有理数）有序域出发，通过标准的方法建立戴德金完备性。

这两个完备性的概念都忽略了域的结构。

然而，有序群（域是种特殊的群）可以定义一致空间，而一致空间又有完备空间的概念。

上述完备性中所述的只是一个特例。

（这里采用一致空间中的完备性概念，而不是相关的人们熟知的度。