高中数学函数知识点总结1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性 ”。

如：集合 Ax | y lg x ， B y | y lg x ， C ( x, y) | y lg x ， A 、 B 、 C中元素各表示什么？A 表示函数 y=lgx 的定义域，B 表示的是值域，而C 表示的却是函数上的点的轨迹2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

如：集合 Ax|x 22x 3 0 ， B x|ax 1若B A ，则实数 a 的值构成的集合为（答：1，0， 1）3显然，这里很容易解出 A={-1,3}. 而 B 最多只有一个元素。

故 B 只能是 -1 或者 3。

根据条件，可以得到 a=-1,a=1/3. 但是， 这里千万小心，还有一个 B 为空集的情况，也就是 a=0,不要把它搞忘记了。

3. 注意下列性质：（ 1）集合 a 1， a 2 ，， a n 的所有子集的个数是 2n ；要知道它的来历：若 B 为 A 的子集，则对于元素a 1 来说，有 2 种选择（在或者不在） 。

同样，对于元素 a 2,a 3,a n ,都有 2 种选择，所以，总共有 2n 种选择， 即集合 A 有 2n个子集。

当然，我们也要注意到，这2n 种情况之中，包含了这 n 个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为 2n 1 ，非空真子集个数为 2n 2（2）若A B AI BA ，AUBB ；（3）德摩根定律：C U AUB C U A IC U B ，C U AI BC U A U C U B有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）如：已知关于 x 的不等式ax5 0的解集为 M ，若 3 M 且 5 M ，求实数 ax 2a的取值范围。

（∵3 M ，∴a · 3 53 2 a1 ，5aU9，25）∵ 5M ，∴a · 5 535 2 a注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过；如告诉你函数 f(x)=ax 2+bx+c(a>0)在(,1) 上单调递减，在 (1, ) 上单调递增，就应该马上知道函数对称轴是x=1.或者，我说在上 ，也应该马上可以想到 m ，n 实际上就是方程的2个根5、熟悉命题的几种形式、可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”( )，“且”( )和“非”( ). 若p q为真，当且仅当 p、q均为真若p q为真，当且仅当 p、q至少有一个为真若p为真，当且仅当 p为假命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。

）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

6、熟悉充要条件的性质（高考经常考）A { x | x 满足条件p}，B{ x | x 满足条件 q} ，若；则 p 是 q 的充分非必要条件 A _____ B ；若；则 p 是 q 的必要非充分条件 A _____ B ；若；则 p 是 q 的充要条件 A _____ B ；若；则 p 是 q 的既非充分又非必要条件___________ ；7. 对映射的概念了解吗？映射 f： A →B，是否注意到 A 中元素的任意性和 B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一，允许 B 中有元素无原象。

）注意映射个数的求法。

如集合 A 中有 m 个元素，集合 B 中有 n 个元素，则从 A 到 B 的映射个数有n m个。

如：若A {1,2,3,4} ，B { a,b, c}；问：A到B的映射有个，B到A的映射有个；A 到B 的函数有个，若A{1,2,3} ，则 A 到 B 的一一映射有个。

函数 y( x) 的图象与直线x a 交点的个数为个。

8.函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备)9.求函数的定义域有哪些常见类型？x 4 x例：函数 y 2 的定义域是（答：0，2 U 2，3 U 3，4 ）lg x 3函数定义域求法：分式中的分母不为零；偶次方根下的数（或式）大于或等于零；指数式的底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。

正切函数余切函数y tan xx R, 且 x k, k2y cot x x R,且 x k , k反三角函数的定义域函数 y ＝arcsinx 的定义域是[ －1, 1] ，值域是 ，函数 y ＝ arccosx 的定义域是 [－ 1, 1] ，值域是 [0, π]，函数 y ＝ arctgx 的定义域是 R ，值域是 .，函数 y ＝arcctgx 的定义域是 R ，值域是 (0, π).当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。

10. 如何求复合函数的定义域？如：函数 f (x)的定义域是 a ， b ， b a0，则函数 F(x )f (x) f ( x)的定义域是 _____________。

（答： a ， a ）复合函数定义域的求法：已知yf (x) 的定义域为 m,n ，求 y f g(x) 的定义域，可由m g (x)n 解出 x 的范围，即为 yf g(x) 的定义域。

若函数 yf ( x) 的定义域为1，则 f (log 2 x) 的定义域为例,2 。

2分析： 由函数 yf ( x) 的定义域为1,2可知：1x 2；所以yf (log 2 x)中有221log 2 x 2。

21解：依题意知：log 2x22解之，得2 x 4∴f (log 2 ) 的定义域为 x | 2 x 4x11、函数值域的求法1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例 求函数 y= 1的值域x2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例、求函数 y= x2-2x+5 ，x [-1 ，2] 的值域。

3、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂a .y b型：直接用不等式性质k+ 2xb.yx 2 bx型 , 先化简，再用均值不等式mxn 1例： yx 211+ x 12x+x 2 xc ..y2m xn 型 通常用判别式x mx nd. y x 2mx nx n型法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉例： yx 2x 1 （ x+ 1 ）2（ x+ 1 ） + 1（ x+ 1 ） 111 1x1 x 1 2x14、反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例 求函数 y= 3x 4值域。

5x 65、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。

我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。

e x12sin 1，y 2sin1的值域。

例 求函数 y=， ye x11 sin1cosye x 1 e x1 ye x 11 yy2 sin1 | s in| |1y |1 ,1 sin2 yy2 sin12 sin1y ( 1cos)1 cos2 siny cos1 y4y 2sin(x )1y , 即 sin(x )1 y4y 2又由知 sin( x ) 11 y14y2解不等式，求出，就是要求的答y 案6、函数单调性法通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容例求函数 y=2x 5log 3x 1 （2≤x ≤10）的值域7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。

换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

例 求函数 y=x+x 1 的值域。

8 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

例：已知点 P （ x.y ）在圆 x 2+y 2=1 上，( 1)y的取值范围 x 2( 2) y- 2x 的取值范围y解: (1) 令则是一条k 过, (y- 2,k0)(x 的直2),线 .x 2d R(d 为圆心到直线的距离 , R 为半径 )x b,即也y 是2直x 线b0, R( 2) 令y- 2d d22例求函数 y=(x 2) +(x 8)的值域。

解：原函数可化简得： y=∣x-2 ∣+∣x+8∣上式可以看成数轴上点P （x ）到定点 A （ 2）， B （-8 ）间的距离之和。

由上图可知：当点 P 在线段 AB 上时， y=∣x-2 ∣+∣x+8∣=∣AB ∣=10当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时， y=∣x-2 ∣+∣x+8∣＞∣ AB ∣=10 故所求函数的值域为： [10 ，+∞）26 x13 +2例求函数 y=xx4x5 的值域(x 2(0222解：原函数可变形为： y=3) 2) + (x 2) (0 1)上式可看成 x 轴上的点 P （x ， 0）到两定点 A （ 3， 2）， B （-2 ，-1 ）的距离之和，22由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时， y min =∣AB ∣=(3 2) (2 1) = 43，故所求函数的值域为 [43 ，+∞）。

注：求两距离之和时，要将函数9 、不等式法利用基本不等式a+b ≥2 ab ，a+b+c ≥33 abc （a ， b ，c ∈R ），求函数的( 应用公式a+b+c 3 3 abc 时，注意使者的乘积3变成常数）要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例：倒数法有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况例 求函数 y=x2的值域x 3x 2( 3- 2x) ( 0< x< 1. 5)= x x( 3- 2x)(xx+ 3- 2x ) 313( 应用公式abc(ab c) 3 时，应注意使3 者之和变成常数）3yx2x 3x 2 0时，1x 2 1 21 2 0 1yx2 xx y2 2x 2 0 时， y= 0 0y12多种方法综合运用总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？切记：做题，特别是做大题时， 一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错误，与到手的满分失之交臂如： f x 1 e x x ，求 f (x).令tx 1，则 t∴x t 2 1∴f (t ) e t 2 1 t 21∴f (x) x21x 21 x 0e13. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤掌握了吗？（①反解 x；②互换 x 、 y；③注明定义域）1 x x 0 如：求函数 f ( x)2 x的反函数x 0（答： f 1x 1x 1 ( x ) ）x x0在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。