高中数学课程可选内容的资源——数学建模、数学课题学习的教学设计的案例1.升旗中的数学问题（一）问题情景和任务问题情景：在不同地区，同一天的H出和H落吋间不尽相同；对一个地区而言，H岀日落时间又是随FI期的变化而变化的。
北京的天安门广场上的国旗每天伴着太阳升起、伴着太阳降落，下表给出了是天安门广场2003年部分LI期的升、降旗时刻表：任务1：试根据上表提供的数据，分析升、降旗时间变化的人致规律；建立坐标系，将以上数据描在坐标系中；任务2：分别建立I」出时间和I」落时间关于I」期的近似函数模型；利用你建立的函数模型，计算“五一”国际劳动节、“十一”国庆节的升、降旗时间；任务3：利用年鉴、互联网或其它资料，查阅北京天安门2003年升旗时间表，检验模型的准确度，分析误差原因，考虑如何改进口己的模型。
任务4：你所生活地区（城市、省、乡村等）某年不同的日期的“日出和FI落”的时间, 建立一个函数关系。
（二）实施建议与说明通过对升旗中数学问题的求解和讨论，进一步了解相关数学知识的意义和作用，体验数学建模的基木过程，增强数学知识的应用意识。
理解用函数拟合数据的方法，捉高对数据的观察、分析、处理、从中获取有益信息的能力。
在这个探求活动屮，要特别重视观察、分析、处理数据的一般方法、现代技术的合理使用、数学得到的结果与实际情况不同的原因分析。
1•组成学习探究小组，集体讨论，互相启发，形成可行的探究方案，独立思考，完成每个人的“成果报告”。
2.任务1的建议：为了便于在坐标系中观察表中数据，选择适当的计最单位，如升旗时刻以10分之为一个单位，H期可以天为单位，即1月1 H为第0天，12月31日为第364天；可借助图形计算器或其它工具绘制各点，3.任务2的建议：利用自己的生活经验，或者访问家长、地理老师等，结合散点图，选择学过的适当函数, 作为刻画该关系的模型；要应注意关键数据（如最早升（降）旗时间和最迟升（降）旗时间等）在确定拟合函数参数小的作用；4.任务3的建议：根据观察坐标平而上所绘制点的走向趋势，对以考虑分段拟合函数。
5.“成果报告”的书写建议成果报告可以下表形式呈现。
表1：探究学习成果报告表年级 ________ 班—完成时间_________、参考文献:4、成果的自我评价：（请说明方法或原理的合理性、特色或创新点、不足之处等）5、拓展（选做）：在解决问题的过程中发现和提出的新问题，可以延伸或拓广的内容；得到的新结果或猜想等6.体会：描述在工作中的感受5.成果交流：建议以小组为单位，选出代表，在班级中报告研究成果，交流研究体会。
6.评价建议：在评价中，采用自评、互评、教师评价相结合的形式，善于发现别人工作中的特色，以下几个方血的内容可作为重点考虑：（1）求解过程和结果：合理、清楚、简洁；（2）独到的思考和发现；（3）提出有价值的求解设计和有见地的新问题；（4）发挥组员的特长，合作学习的效果；（5）合理使用技术；（6）查阅文献，获取信息的能力。
（三）教学参考信息第七届数学知识应用初赛试题题目：在不同地区，同一天的口出和口落时间不尽相同；对一个地区而言，日出L1落时间有时虽日期的变化而变化的。
北京的天安门广场上的国旗每天伴着太阳升起，伴着太阳降落。
表1是天安门广场2003年部分FI期的升旗吋刻，表2是天安门广场2004年2月部分日期的升旗时刻。
请回答卜•而的问题：（1）建立坐标系，将表1数据描在坐标系屮；（2）根据已给数据建立数学模型，估算2004年“五一”国际劳动节的升旗时间：（3）如果你打算在“五一”观看升旗，选择什么吋间到达观看点？表1表2解：（1）将数据描在坐标系中，如图1-23（2）天体运动具冇很强的周期性，所以UHIU落时间成周期变化。
观察题内两表，2003年2月10日升旗时间是7： 14, 2004年2月9日是7： 15, 2刀11 FI是7： 13,可以认为，在这儿天，两年的升旗时间是相同的；2003年3月2日升旗吋间是6： 47, 2004年2月27日是6： 52, 2 M 29 H是6： 49, 再过两天就是3刀2口，显见，在这儿天，两年的升旗时间也是相同的。
y=ax+b xw[3 , 5. 5]记作瑞，讪日就记作5,于是有:)9,27 z5— = 4 — a + b 60 30「9 <15 k4— = 5 — a + b 60 31得 y 二-0. 5709x+8. 114对于 x=5,有 y=-0. 5709 x 5+8. 114=5. 265.26 月为 5： 15所以，2004年“五一”国际劳动节的升旗时间约为5： 150（3）因为5： 15是个近似值，且是估值，为了确保不误事，所以，2004年“五一”观看升旗，就应该在4： 59 （2003年5刀16日的升旗时刻）至5： 15这段时间到达。
2. 正方体截面的形状（一）问题情景与任务用一个平而去截正方体，截而的形状是什么样的?取4月28日的5： 19和5月16日的4： 59,因为升旗时间是早上，所以5刀16日就不妨设函数模型为图 1—231.给出分类的原则（例如：按截面图形的边数分类）。
按照你的分类原则，能得到多少类不同的截而？设计一种方案，找到截得这些形状截而的方法，并在正方体中画出示意图。
2.如果截面是三角形，你认为可以截出几类不同的三角形？3.如果截面是四边形，你认为可以截出几类不同的四边形？4*.证明上而的结果。
5*.截面多边形的边数最多有几条？请说明理由。
截面可能是正多边形吗？可能冇几种？应出示意图。
7*.如果截lij是三介J形，其liU积最人是多少？画出示意图。
8*.你还能提岀哪些相关的数学问题？（-）实施建议与说明该课题学习设计的意图1.按课标要求，在高中阶段金少要冇一次数学探究活动和数学建模活动，而活动的开展是要有一个渐近的过程的，学生需要一个逐步适应、了解和认识白主探究、学习的过程, 所以在本模块设计该课题，是为实施更为完整的数学探究、数学建模活动做准备。
2.该课题涉及内容：点、线、面的位置关系及直观图画法。
涵盖了立体几何中的相当多的概念、定理，木课题学习的过程是对立体几何知识的一次全面的综合应用的过程。
3.该课题的学习很好的体现了立体儿何初步一章的基本要求：有助于认识空间图形, 培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及儿何直观能力。
4.在本章末安排该课题学习，一方面给学生提供一个丿施展所学的舞台；另一方面，也达到了借此课题的研究促进学生对所学的应用和反思，加深对空间图形的认识和理解。
此外，该课题的学习有助于发展学生自主学习的能力，体验数学研究的过程，认识数学研究中直观和严谨、感性猜测和理性推理的关系，鼓励学生发挥口己的想像力和创造力。
课题学习的实施建议采用形式：形式一（能有效节省课吋，但要求学生已初步具备一些自主探索、学习的经验和能力）:首先分组（2-3人）进行课下讨论研究，适学生悄况，可建议学生通过实验操作进行研究，最后形成小组的学习报告。
然后，根据学生的学习报告完成情况，在课上让部分小组报告他们所得到的结果，阐述理山。
并回答教师或英他学牛提岀的问题，共同研究讨论。
形式二（需要较多课吋，适合于没有自主探究、学习的习惯和经验的学生，有利于他们初步认识、了解口主学习的开展）：让学生课前准备几个正方体模型，课堂上教师引导学生探索、讨论、发现。
可以让学生前后桌四人一组，对引导问题逐一研究讨论，分组报告研究结果，阐述理由，并接受教师和学生的质疑。
对课上未能很好解决的问题，或是山此而引发的新的问题，可以布置给学牛课下去探索、研究，并完成研究报告。
根据情况，可以适当安排时间让学生报告。
教学实施中要注意的几个问题：1.无论是课下指导，还是课上教学实施过程zm,教师都要注意引导学牛从直观、感性的猜测，到严密、理性的思考和推理论证上来，帮助学牛认识到两者在数学研究中的关系; 注意引导学生积极地发现、吸纳他人的长处和优点，使学生学会欣赏别人，并从中吸取友谊经验；注意帮助学生清塑、一致地表述自己的观点；注意帮助学生对自己的思维活动进行反思、调节自己的思维活动。
2.采用形式一时，教师应注意及时了解学生研究的进展情况，加强对学生H主研究、学习的指导；对没能在课上进行报告的小组，要进行及吋鼓励性评价，积极肯定其长处，并指出不足Z处，做到关注每一个学生。
冃的是让所有学生从中受益。
3.釆川形式二时，教师除了要关注1.中要点外，要特别注意是引导学牛进行主动研究、学习，而不是取而代之，白己给学生讲解。
此外，在布置的课下任务中，可以适当拓宽一些, 不必仅局限于该课题学习内容本身。
如：（I ）通过对正方体棱上点确定的截而的作图方法的了解，利用儿何画板制作课件，通过课件进行研究。
（II ）研究满足某些特定条件的截面形状及性质：与棱平行的截面；与体对角线垂直的截面；等分正方体的截血等。
（III）一个装有定量液体（不满）的封闭中空的正方体随着位宜的某种规则（如：以一棱为轴旋转）变化，液体与正方体各接触而的而积有怎样的性质，各接触而之间有怎样的关系？处于何位置吋接触而最小？何位置时液而而积最小？（IV）研究其它几何体截而形状。
4.帮助、指导学生完成课题学习报告特别是以下几个方面：课题学习屮发现的新问题，可拓展的或与其相关的问题；课题研究的白我评价，包括探究方法或原理的合理性、特色或创新点、不足Z处等；课题学习的反思和体会，包括他人的哪些工作、研究方法是值得你学习借鉴的，某种特别的感受等。
（三）教学参考信息1.课题学习报告的结构形式：“正方体截面形状问题”课题学习报告—年级—班完成时间 _____________________课题名称：研究的简要过程和方法，相关信息及参考文献的来源和出处等初步结论（写明所得结论的性质，如由实验观察得到、猜想、已证、能证、待证、已构造出、已找到实例等等）发现的新问题、可拓展的、相关的问题初步结论（写明所得结论的性质，如由实验观察得到、猜想、已证、能证、待证、已构造出、已找到实例等等）课题探究的白我评价课题学习的反思和体会若上表填写时地域不够，可以自己增加副页，也町以自己设计一个研究报告的报表。
2.课题研究的部分结论图1-(1)多边形的种类：三角形，四边形，五边形，六边形。
(2)截面三角形只能是锐角三角形(可以是等腰，等边)•如图1-21 ,12 2 _ 2°2=夕2 +小2 <员+。
2,由预先定理cosA= —>0,所以边°所对角为锐角，2bc同理可得其余和也为锐角。
或由图可知边。
所对顶点在以d为直径的圆外，所以该角为锐介, 同理其余角也为锐角。
(3)因为止方体的六个面中，冇三对平行面，截面多边形的边是平面与正方体的面的交线，所以截面多边形最多是六边形，其中四边形截面至少与一组平行面相交，所以四边形小至少有一对边平行。