（期望收入和购进报纸数量 n 的函数图证明存在唯一的 n 使每天的收入最大，n 在 220 附近.）
5
3.先在 n 的输出框中输入要购进的报纸数量 n，点击 Test 键可得出该决策获得的 日期望收入。
（此时假设报童购进报纸数量为 150，Test 计算出报童每天的期望收入是 29.4）
三. 右侧面板是设置各种输入参数的面板，上面是“零售价 a，购进价 b，退回 价 c” 的输入面板， 注意要满足输入条件 a>b>c;在弹出菜单中可选择需求量的模 型 f(r),选定模型后， 参数的输入面板在下方显示， 重新输入参数即可更改分布模 型的参数。
《系统仿真与 Matlab》综合试题
题 目： 编 号： 难度系数：
报童问题模型 （1）
姓 名 班 级 学 号 联系方式 成 绩
自动化 1306 XXXXXXX XXXXXXX
XXXX
0
目录
问题描述…………………………………………………………………..…2 数学建模……………………………………………………………………..2 关键难点………………………………………………………………..……4 程序运行指南……………………………………………………………..…4 程序运行实例分析………………………………………………………......7
n
因为当购进 n 份报纸时，P 1

0
n
p(r) dr 是需求量 r 不超过 n 的概率， 即卖不完的概率；

n
0
p (r) dr
a b 为切入点求解问题，P 称为目标概率。 ac
三． 关键难点
1. 要求能够灵活更改零售价 a、购进价 b、退回价 c 的数值。 2. 为了充分模拟现实环境，需提供多种报纸需求量的概率模型；根据 f(r)的不同，f(r) 须输入的参数个数及输入数值、程序要调用的计算函数各不相同。 3. 仿真过程中，购进报纸数量 n 从零开始增加，需在坐标轴上做出概率 P 1 （左边阴影 部分）随 n 动态变化的动态效果。
二． 数学建模
【模型假设】 1. 众所周知，应该根据需求量确定购进量。需求量是随机的，假定报童已经通过自己的经 验或其它的渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销售范围内每天报纸的需求量为 r 份的概率是 f ( r )( r 0 , 1 , 2 , ) 。有了 f ( r ) 和 a ，b，c，就可以建立关于购进量的优化 模型了。 2. 假设每天购进量为 n 份，因为需求量 r 是随机的，r 可以小于 n ，等于 n 或大于 n ，致使 报童每天的收入也是随机的，所以作为优化模型的目标函数，不能是报童每天的收入， 而应该是他长期(几个月，一年)卖报的日平均收入。从概率论大数定律的观点看，这相 当于报童每天收入的期望值，即平均收入。
‘Test’检验：
即问题的最优解是 n=233,G(n)=66.7.
说明:如需 m 文件源码可联系邮箱 strong1994@
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3.用‘Test’检验 n 值。分别设置 n=216,n=218,n=219,然后单击‘Test’.
分 别 有 G(216)=35.7328,G(218)=35.7368,G(219)=35.7347. 可 知 G(218 ） =35.7368>G(217)=35.7362,利用‘Test’可对 n 做修正，此时 n 修正为 218，G(n) 修正为 35.7368.
【模型的建立与求解】
记报童每天购进 n 份报纸时的平均收入为 G(n),如果这天的需求量 r≤n,则他售出 r 份, 退回 n-r 份； 如果这天的需求量 r>n， 则 n 份将全部售出， 考虑到需求量为 r 的概率是 f(r)， 所以
G (n) [( a b) r (b c)(n r)]f(r)
0
p (r) dr
a b ac
(4)
P a b 1 P2 b c
(5)
3
n 应该使卖不完与卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱 a-b 与退回一份赔的钱 b-c 之 比。显然，当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大时，报童购进的份数就 应该越多。 以 P=
P2 p (r) dr 是需求量 r 超过 n 的概率，即卖完的概率，所以（3）式表明，购进的份数
0 n n
(2)
计算
(a b) np(n) (a b) p (r) dr
dG 0, 得到 dn
0 n n n
n dG (a b) np(n) (b c) p(r) dr 0 dn
(b c) p(r) dr (a b) p (r ) dr
即问题的最优解是 n=309,G(n)=203.9494.
② 输入参数： 零售价a=2.0 退回价c 0.8 f (r )~U(100,500) 购进价b=1.6
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输出参数：
n 233, G (n) 66.7 G(232)=66.698,G(233)=66.7,G(234)=66.699
7
该图是最终的运行结果，n 的最优解是 217，此时报童每天的期望收入是 35.7362 元。
2.单击‘Plot’画出日期望收入 G(n)与购进报纸数量 n 的函数关系图。
计算机绘图过程中有进度条弹出，作为进度提示。
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坐标轴中显示 G(n)—n 的关系图，G(n）有最大值，G(n)取得最大值时 n 在 220 附近。图中 X,Y 轴的标签已改变。
四． 程序运行指南
一．打开‘Newspaper.m’文件，直接点击“Run”运行。
二． 程序的各项参数均已设置好默认参数。
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1. 直接点击 Start 可计算出使收入最大的 n 值和收入期望值 G(n)； （注意：计算 未完成前不要进行操作）
2. 直接点击 Plot 可以绘制日期望收入 G(n)与 n 的函数关系图。
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二．修改默认参数设置，修改输入参数查看结果。 ① 输入参数： 零售价a=1.5 退回价c 0.5 f (r )~P(300) 购进价b=0.8
输出参数：
n 309, G (n) 203.9494
‘Test’检验：
G(308)=203.9402,G(309)=203.9494, G(310) 203.9388
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四.设置好参数后，可按照第二步的方法来运行程序和计算、输出结果。
五． 程序运行实例分析
一. 按照程序默认的参数设置运行程序。 输入参数：
零售价a=1.0 退回价c 0.7 购进价b=0.8
1.单击‘Start’运行
f (r )~N(200,402 )
底部面板为结果输出框， 运算中 n 由 0 到 217 动态增加， P1 为图中的阴影部分 的面积，阴影随 n 逐渐扩大，呈现出动画效果，同时 P1 的数值与阴影联动，动态 增加。
4. 计算出购进报纸数量 n，还需验证 n 是否能使日收入期望值达到最大。在 n 的结果 输出框（亦为 n 值的输入框）输入给定 n 值，通过 Test 按键可计算出相应的日收入 期望 G(n). 5. 为证明 n 值的唯一性，做出日收入期望 G(n)随购进报纸数量 n 变化的二维图形，可 以看出存在唯一的 n 使 G(n)最大。
n r 0
r n 1
(a b) nf(r)

(1)
问题归结为在 f(r),a,b,c 已知时，求 n 使 G(n)最大。
2
通常需求量 r 的取值和购进量 n 都相当大，将 r 视为连续变量更便于分析和计算，这时 概率 f(r)转换成概率密度函数 p(r),(1)式变成
G (n) [(a b) r (b c)(n r)]p(r) dr (a b)np(r) dr
令
0Biblioteka nnp(r )dr
p(r) dr

a b bc
(3)
使报童日平均收入达到最大的购进量 n 应满足（3）式。因为 可以表为
n

0

p(r) dr 1, 所以（3）式又
根据需求量的概率密度 p(r)的图形很容易从（3）式确定购进量 n。在下图中用 P1，P2 分 别表示曲线 p(r)下的两块面积，则(3)式可记作
一． 二． 三． 四． 五．
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一． 问题描述
为 b ，零售价为 a ，退回价为 c ，应该自然地假设为 a b c 。这就是说，报童售出一份报
报童每天清晨从报社购进报纸零售， 晚上将没有卖掉的报纸退回。 设报纸每份的购进价
纸赚 a b ，退回一份赔 b c 。报童每天如果购进的报纸太少，不够卖的，会少赚钱；如果 购进太多，卖不完，将要赔钱。请你为报童筹划一下，他应如何确定每天购进报纸的数量， 以获得最大的收入。