圆锥曲线一．基础题组1. 【2014课标Ⅰ，理4】已知为双曲线:的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为（ ）A. B. 3 C. D. 【答案】A2. 【2013课标全国Ⅰ，理4】已知双曲线C ：(a ＞0，b ＞0)，则C 的渐近线方程为( )． A ．y ＝ B ．y ＝C ．y ＝D ．y ＝±x 【答案】C【解析】∵，∴.∴a 2＝4b 2，.∴渐近线方程为. 3. 【2012全国，理4】设F 1，F 2是椭圆E ：(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( ) A ．B ．C ．D ． 【答案】CF C )0(322>=-m m my x F C 3m 3m 32222=1x y a b-514x ±13x ±12x ±2c e a ==22222254c a b e a a +===1=2b a ±12b y x x a =±±22221x y a b +=32ax =12233445【解析】设直线与x轴交于点M，则∠PF2M＝60°，在Rt△PF2M中，PF2＝F1F2＝2c，，故，解得，故离心率．4. 【2011全国新课标，理7】设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为( )ABC． 2 D．3【答案】B【解析】5. 【2009全国卷Ⅰ，理4】设双曲线(a＞0,b＞0)的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（）32ax=232aF M c=-22312cos6022a cF MPF c-︒===34ca=34e=12222=-byaxA. B.2C. D.【答案】C又c2=a2+b2,∴c2=a2+4a2=5a2. ∴.6. 【2006全国，理3】双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）（A）（B）-4 （C）4 （D）【答案】A【解析】7. 【2005全国1，理5】已知双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线的离心率为（）A． B．C． D．3565=ac41-41)0(1222>=-ayaxxy62-= 232326332【答案】D 【解析】8. 【2008全国1，理14】已知抛物线的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为． 【答案】2【解析】由抛物线的焦点坐标为为坐标原点得，，则 与坐标轴的交点为，则以这三点围成的三角形的面积为. 9. 【2014课标Ⅰ，理20】(本小题满分12分）已知点A ,椭圆E:的离心率为；F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为，O 为坐标原点 （I ）求E 的方程；（II ）设过点A 的动直线与E 相交于P,Q 两点。

当的面积最大时，求的直线方程.21y ax =-21y ax =-1(0,1)4a -14a =2114y x =-(0,1),(2,0),(2,0)--14122⨯⨯=(0,2)22221(0)x y a b a b+=>>23OPQ ∆【答案】（I ）；（II ）或.．因为，当且仅当时，时取等号，且满足．所以，当的面积最大时，的方程为或． 10. 【2005全国1，理21】已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B两点，与共线. （1）求椭圆的离心率；（2）设M 为椭圆上任意一点，且，证明为定值.2214x y +=2y x =-2y x =-24444OPQ t S t t t∆==++44t t +≥2t =k =0∆>OPQ ∆2y =-2y x =-+)1,3(-=a ),(R OB OA OM ∈+=μλλλ22μλ+共线，得),,(2121y y x x ++=+由与+-=),1,3(.0)()(32121=+++x x y y .36,36.3,232.23,0)()2(3,,22222222121212211===-=∴==+=+∴=++-+∴-=-=a c e ab ac b a c ba c a c x x x x c x x c x y c x y 故离心率所以即又即 ① 由（I ）知又又，代入①得 故为定值，定值为1.11. 【2015高考新课标1，理5】已知M （）是双曲线C ：上的一点，是C 上的两个焦点，若，则的取值范围是( )（A ）（） （B ）（） （C ）（（D ）（）【答案】A.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ.21,23,23222221c b c a c x x ===+))((33.8321212121222222221c x c x x x y y x x c ba b a c a x x --++=+∴=+-=∴.0329233)(3422222121=+-=++-=c c c c c x x x x 222222212133,33b y x b y x =+=+.122=+μλ22μλ+00,x y 2212x y -=12,F F 120MF MF ∙<0y【解析】由题知，，所以= =，解得，故选A.【考点定位】双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.12. 【2015高考新课标1，理14】一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为.【答案】 【解析】设圆心为（，0），则半径为，则，解得，故圆的方程为.【考点定位】椭圆的几何性质；圆的标准方程13. 【2016高考新课标理数1】已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（A ）(–1,3) （B ）(–（C ）(0,3) （D ）【答案】A【考点】双曲线的性质【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题出现,主要考查双曲线的几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦距是2c 而不是c ,这一点易出错.14.【2016高考新课标理数1】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |=，|DE|=C 的焦点到准线的距离为12(F F 220012x y -=12MF MF ∙ 0000(,),)x y x y -∙-2220003310x y y +-=-<033y -<<221164x y +=22325()24x y -+=4a -222(4)2a a -=+32a =22325()24x y -+=222213x y m n m n+=+-（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8 【答案】B 【解析】【考点】抛物线的性质【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.15. 【2017新课标1，理15】已知双曲线C ：（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点.若∠MAN =60°，则C 的离心率为.【解析】 试题分析：如图所示，作，因为圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点，则为双22221x y a b-=AP MN ⊥MN曲线的渐近线上的点，且，， 而，所以，点到直线的距离，在中，，代入计算得，即， 由得，所以. 【考点】双曲线的简单几何性质 二．能力题组1. 【2014课标Ⅰ，理10】已知抛物线C ：的焦点为F ，准线为，P 是上一点，Q 是直线PF 与C得一个焦点，若，则（ ）A.B. C. D. 【答案】Bby x a=(,0)A a ||||AM AN b ==AP MN ⊥30PAN ∠=(,0)A a by x a=||AP =Rt PAN △||cos ||PA PAN NA ∠=223a b =a =222c a b =+2c b =3c e a ===x y 82=4==QF 27252. 【2013课标全国Ⅰ，理10】已知椭圆E ：(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．A ．B ．C ．D ． 【答案】D3. 【2012全国，理8】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，C 的实轴长为( ) AB ．C ．4 D．8 【答案】C2222=1x y a b+22=14536x y +22=13627x y +22=12718x y +22=1189x y +||AB =【解析】设双曲线的方程为，抛物线的准线为x ＝－4，且A (－4，，B (－4，)，将点A 坐标代入双曲线方程得a 2＝4，故a ＝2，故实轴长为4．4. 【2006全国，理8】抛物线y=-x 2上的点到直线的距离的最小值是（ ）（A ）（B ）（C ） （D ）3 【答案】B 【解析】5. 【2011全国新课标，理14】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为__________．【答案】【解析】22221x y a a-=||AB =-0834=-+y x 345758221168x y +=6. 【2008全国1，理15】在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率． 【答案】. 【解析】设，则 ，. 7. 【2012全国，理20】设抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．(1)若∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为，求p 的值及圆F 的方程；(2)若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．(2)因为A ，B ，F 三点在同一直线m 上， 所以AB 为圆F 的直径，∠ADB ＝90°. 由抛物线定义知|AD |＝|FA |＝|AB |， 所以∠ABD ＝30°，m或. ABC △AB BC=7cos 18B =-A B ，C e =381AB BC ==7cos 18B =-222252cos 9AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=53AC =582321,21,3328c a c e a =+====12当m时，由已知可设n ：yx ＋b ，代入x 2＝2py ，得x 2px －2pb ＝0.由于n 与C 只有一个公共点，故＝p 2＋8pb ＝0， 解得. 因为m 的截距，，所以坐标原点到m，n 距离的比值为3. 当m 的斜率为时，由图形对称性可知，坐标原点到m ，n 距离的比值为3.8. 【2010新课标，理20】（12分）(理)设F 1，F 2分别是椭圆E ：＋＝1 (a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 1斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等差数列．(1)求E 的离心率；(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E 的方程．则x 1＋x 2＝，x 1x 2＝.∆436p b =-12p b =1||3||b b =22x a 22y b2222a c a b +－22222()a cb a b +－因为直线AB斜率为1，所以|AB||x2－x1|得a＝，故a2＝2b2.所以E的离心率e＝.(2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知x0＝＝c，y0＝x0＋c＝. 由|PA|＝|PB|得k PN＝－1.即＝－1，得c＝3，从而a＝，b＝3.故椭圆E的方程为＝1.9. 【2009全国卷Ⅰ，理21】如图，已知抛物线E:y2=x与圆M:(x－4)2+y2=r2(r＞0）相交于A、B、C、D四个点. （Ⅰ）求r的取值范围;(Ⅱ)当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标.432224aba b+ca2=122x x+22223a ca b=+－－3c1yx+22189x y+（Ⅱ）不妨设E 与M 的四个交点的坐标为 A （x 1,)、B(x 1,)、C(x 2,)、D(x 2,).则直线AC 、BD 的方程分别为,.解得点P 的坐标为（,0).1x 1x -2x -2x )(112121x x x x x x x y -∙---=-)(112121x x x x x x x y -∙-+=+21x x求导数，f′(t)=-2(2t+7)(6t-7). 令f′(t)=0，解得,(舍去）. 当0＜t ＜时，f′(t)＞0;时，f′(t)=0;时，f′(t)＜0. 故当且仅当时，f(t)有最大值，即四边形ABCD 的面积最大.故所求的点P 的坐标为（，0）.10.【2017新课标1，理10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A 【解析】试题分析：设，直线的方程为，联立方程，得，∴，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知，当且仅当（或）时，取等号.【考点】抛物线的简单几何性质【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角67=t 27-=t 6767=t 2767<<t 67=t 6711223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y D x y E x y 1(1)y k x =-214(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩2222111240k x k x x k --+=21122124k x x k --+=-212124k k +=22342224k x x k ++=1234||||2AB DE x x x x p +=++++=22122222121224244448816k k k k k k ++++=++≥=121k k =-=1-表示，设直线的倾斜角为，则，则，所以.三．拔高题组1. 【2011全国，理10】已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos∠AFB ＝( )A.B ．C ．D ． 【答案】D2. 【2010新课标，理12】已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1【答案】B【解析】由c ＝3，设双曲线方程为－＝1， k AB ＝k NF ＝＝1， α22||sin pAB α=2222||πcos sin (+)2p pDE αα==222221||||4(cos sin cos p p AB DE ααα+=+=+222222222111sin cos )4()(cos sin )4(2)4(22)16sin cos sin cos sin ααααααααα=++=++≥⨯+=453535-45-23x 26y 24x 25y 26x 23y 25x 24y 22x a229y a －015312++∴＝.∴＝＝1. ∴a 2＝4.∴双曲线方程为－＝1.3. 【2009全国卷Ⅰ，理12】已知椭圆C:的右焦点为F ，右准线为l ，点A∈l,线段AF 交C 于点B.若,则||=（ ） A. B.2C. D.3【答案】A 【解析】(方法一)由已知得,b=1,c=1,∴F(1,0),准线l:. 122()x x a －24－122()9y y a －30－－1212y y x x －－22(9)5a a 4－24x 25y 1222=+y x FB FA 3=232=a 22==ca x设A(2,y 1),B(x 2,y 2),=(1,y 1),=(x 2-1,y 2), ∵,∴∴.又,∴,不妨取. ∴y 1=1.∴=（1，1）.∴||=. (方法二)由已知得,b=1,c=1,在Rt△ABB 1中，, ∴. 点F 到l 的距离为, FA FB 3=⎩⎨⎧=-=.3),1(31212y y x 342=x 12)34(222=+y 312±=y 312=y 22=a 22||2||2||||cos 11===∠BF BF AB BB ABB 22cos =∠BFH 112||2=-=-=c ca FH∴.4. 【2011全国新课标，理20】在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－1)，B 点在直线y ＝－3上，M 点满足∥，，M 点的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程；(2)P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的最小值． 【解析】：(1)设M (x ，y )，由已知得B (x ，－3)，A (0，－1)．所以＝(－x ，－1－y )，＝(0，－3－y )，＝(x ，－2)．再由题意可知，即(－x ，－4－2y )²(x 1，－2)＝0.所以曲线C 的方程为y ＝14x 2－2.当x 0＝0时取等号，所以O 点到l 距离的最小值为2.5. 【2011全国，理21】已知O 为坐标原点，F 为椭圆C ：在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为的直线l 与C 交于A ，B 两点，点P 满足2221cos ||||==∠=BFH FH AF MB OA MA AB MB BA ⋅=⋅MA MB AB()0MA MB AB +=2212y x +=OA OB OP ++=0(1)证明：点P 在C 上；(2)设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A ，P ，B ，Q 四点在同一圆上．【解析】(1)F (0，1)，l 的方程为，代入并化简得.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)， 则，， ，， 由题意得，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－1. 所以点P 的坐标为． 经验证，点P 的坐标)满足方程，故点P 在椭圆C 上．，，， 故|NP |＝|NA|.=1y +2212y x +=241=0x --14x=24x=12+2x x=1212)21y y x x +=++=312()2x x x =-+=-(1)2--(1)2--2212y x +=4AM=2MN ==8NA ==又|NP |＝|NQ |，|NA |＝|NB |， 所以|NA |＝|NP |＝|NB |＝|NQ |，由此知A ，P ，B ，Q 四点在以N 为圆心，NA 为半径的圆上． 6. 【2008全国1，理21】（本小题满分12分）双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点．已知成等差数列，且与同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 【解析】：（Ⅰ）设，， 由勾股定理可得： 得：，， 由倍角公式，解得,则离心率．7. 【2006全国，理20】O 12l l ，F 12l l ，A B ，OA AB OB、、BF FA AB OA m d =-AB m =OB m d =+222()()m d m m d -+=+14d m =tan b AOF a ∠=4tan tan 23AB AOB AOF OA ∠=∠==∴22431ba b a =⎛⎫- ⎪⎝⎭12b a=e=在平面直角坐标系xOy中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量，求：（Ⅰ）点M的轨迹方程；的最小值。