《实变函数与泛函分析II》教学大纲（本科）
<总学时数：48，学分数：3，课程编码：09070050>
一．课程的性质，任务和目的
泛函分析课程是高等院校数学专业学生必修的重要的专业课。

为学生培养分析问题、解决问题的能力，抽象思维和逻辑思维能力，为学生进一步学习后继课程打下扎实的基础。

二、课程基本内容和要求
1．通过本课程的学习，要使学生获得：度量空间、线性赋范空间、线性有界算子、线性连续泛函、内积空间、希尔伯特空间、巴拿赫空间方面的知识，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。

2．再传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象概括问题的能力、逻辑推理能力和自学能力，还要特别注意培养学生综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。

3．本课程的教学就把重点放在培养学生正确理解和运用基本概念与基本方法上，并注意理论联系实际的原则，力求反应这些基本概念的实际背景及其应用。

使学生认识到数学来源于实践又服务于实际，从而有助于树立辩证唯物主义观点。

4．教材的选取与课堂讲授要贯彻少而精原则，着重于基本概念，基本理论的讲授和基本技能的培养，不要追求内容上的完备和全面。

本大纲包括（一）教学内容（二）教学要求（三）重点与难点
教学要求的高低用不同的词汇加以区分，对概念、理论从高到低用“理解”、“了解”、“知道”三级区分，对运算、方法从高到低用“掌握”、“会”、“能”三级区分。

熟悉一词相当于“理解”、“熟练掌握”。

第六章度量空间、线性赋范空间
一）教学内容
第一节度量空间的进一步例子
第二节度量空间中的极限、稠密集、可分空间
第三节连续映照
第四节完备度量空间
第五节压缩映照原理
第六节线性赋范空间
其中：
基本概念：度量空间、稠密集、可分空间、连续映照、线性赋范空间
基本理论：压缩映照原理
二）教学要求
1．理解度量空间、稠密集、可分空间、连续映照、线性赋范空间等概念。

2．掌握压缩映照原理。

三）重点与难点
重点：压缩映照原理、度量空间、线性赋范空间
难点：稠密集、可分空间
第七章线性有界算子和线性连续泛函
一）教学内容
第一节线性有界算子和线性连续泛函
第二节线性算子空间和共轭空间
第三节广义函数大意
其中：
基本概念：线性有界算子和线性连续泛函、线性算子空间和共轭空间。

二）教学要求
1．理解线性有界算子和线性连续泛函
2．知道线性算子空间和共轭空间
三）重点与难点
重点：线性有界算子和线性连续泛函
难点：线性算子空间和共轭空间
第八章内积空间和希尔伯特空间
一）教学内容
第一节内积空间
第二节投影定理
第三节希尔伯特空间
其中：
基本概念：内积空间、希尔伯特空间
基本理论：投影定理
二）教学要求
1．掌握内积空间、希尔伯特空间的概念
2．知道投影定理
三）重点和难点
重点：内积空间、希尔伯特空间
难点：希尔伯特空间
第九章巴拿赫空间中的基本定理
一）教学内容
第一节泛函延拓定理
第二节C[a，b]的共轭空间
第三节共轭算子
第四节纲定理和一致有界定理
其中：
基本概念：共轭算子
基本理论：泛函延拓定理、纲定理和一致有界定理
基本方法：C[a，b]的共轭空间。

二）教学要求：
1．理解共轭算子
2．掌握泛函延拓定理、纲定理和一致有界定理
3．知道C[a，b]的共轭空间
三）重点与难点
重点：泛函延拓定理、纲定理和一致有界定理
难点：共轭算子、C[a，b]的共轭空间
三．学时分配表
五．有关说明
实践教学环节无
考核方式：
本课程为考试科目
教材《实变函数与泛函分析基础》，程其襄编，高等教育出版社。

参考书：其它同名教材
执笔人：沈京一
审核人：陈荣军
批准人：刘坤
2005年5月。