宁波电大07秋《经济数学基础(综合)》作业1 参考答案第一篇 微分学一、单项选择题1. 下列等式中成立的是(Ｄ)．A ． e x x x =+∞→2)11(lim B ．e xx x =+∞→)21(limC ．e x x x =+∞→)211(lim D ． e xx x =++∞→2)11(lim2. 下列各函数对中,( B )中的两个函数相等．A ．2)(,)(x x g x x f == B ．x x g x x f ln 5)(,ln )(5==C ．x x g x x f ln )(,)(==D ．2)(,24)(2-=+-=x x g x x x f 3. 下列各式中，（ Ｄ ）的极限值为１ ．A ．x x x 1sinlim 0→ B ．x x x sin lim ∞→ C ．x x x sin lim 2π→D ． x x x 1sin lim ∞→4. 函数的定义域是5arcsin 9x 1y 2x+-=（ B ）．A ．[]5,5-B ．[)(]5,33,5U --C ．()()+∞-∞-,33,UD ．[]5,3-5. ()==⎪⎩⎪⎨⎧=≠=a ,0x 0xa 0 x 3x tan )(则处连续在点x x f （ B ）． A ．31B ． 3C ． 1D ． 0 6. 设某产品的需求量Q 与价格P 的函数关系为则边际收益函数为,2p -3e Q =（ C ）.A ．2p -e 23- B ．23p Pe - C ．2)233(p e P -- D ．2)33(pe P -+7. 函数24)(2--=x x x f 在x = 2点（ B ）.A. 有定义B. 有极限C. 没有极限D. 既无定义又无极限8. 若x x f 2cos )(=，则='')2(πf （ C ）.A ．0B ．1C ． 4D ．-4 9. 曲线x x y -=3在点（1，0）处的切线是（ A ）.A ． 22-=x yB ． 22+-=x yC ． 22+=x yD ． 22--=x y10. 设某产品的需求量q 与价格p 的函数关系为bp -a q =)为常数0b (a, >,则需求量Q 对价格的弹性是( D ). A. b - B.b -a b - C. %b-a b- D.bp -a bp 11. 已知函数⎩⎨⎧>≤=0x e x x -1x f x -0)(，则f(x)在点0x =处（ C ）.A . 间断B . 导数不存在C . 导数()1-=0f 'D . 导数()1=0f '12. 若函数)1()1(-=-x x x f ,则=)(x f （ B ）.A . )1(-x xB . x （x+1）C . )1)(1(+-x xD . 2)1(-x 13. 设函数()()=--+→hh x f h x f x f 22lim,x )(000h 0则可导在（ D ）．A ．()0x f 41 B ．()0'x f 21C ．()0'x fD ．()0'x 4f 14. 设函数,xlnxy =则下列结论正确的是( A ). A ．在(0,e)内单调增加 B ．在(0,e)内单调减少 C ．在(1,+∞)内单调增加 D ．在(e,+∞)内单调增加 15. 设方程=-==112x '3y, x y y xy 则的函数是确定 ( D )A . 0B . 2C . 1D . -1二、填空题1. 函数xx x f --+=21)5ln()(的定义域是)2,5(-.2. 已知某产品的成本函数为C (q ) = 80 + 2q ，则当产量q = 50时，该产品的平均成本为3.6 ．3. 函数⎪⎩⎪⎨⎧+=2)1ln(xax f(x) 00=≠x x 在0=x 处连续,则常数a 的值为2a =. 4. 抛物线)0(22>=p px y ，在点M ),2(p p 的切线方程是2p x y +=.5. 设函数)sin(ln 3x y =,则=dx dy )cos(ln 33x x. 6. 已知某商品的需求函数为q = 180 – 4p ，其中p 为该商品的价格，则该商品的收入函数 R (q ) = 45q – 0.25q 2.7. 设)1ln()(x x x f +-=有极值,则其极值是极小值0.8. 设)0(1)1(2>++=x x x xf ，则f （x ）= x x 112++.9. 设x xy ln =,则==122x dx y d -3 .10. =-→1x 1)-sin(x lim1x 2.三、解答题1. 求下列极限：⑴ )4421(lim 22---→x x x ⑵ 1)211(lim +∞→-x x x ⑶ 625)32)(1()13()21(lim--++-∞→x x x x x x 解：⑴ 原极限=)44)2)(2(2(lim 22--+-+→x x x x x =)2)(2(2lim 2-+-→x x x x =41)2(1lim2=+→x x ⑵ 原极限=)211(lim )211(lim xx x x x --∞→∞→=1e 21⨯-=21e -⑶ 原极限=23)32)(11()113()21(lim625-=--++-∞→xx x x x x2. 求下列函数的导数y '：⑴ y xx x--=1cos 2 ⑵ y =32ln 1x + ⑶ )cos (sin e x x y x-= 解：⑴ y '(x ) =2)1(cos )1(sin )1(2ln 2x x x x x------=2)1(sin )1(cos 2ln 2x x x x x----⑵ )ln 1()ln 1(312322'++='-x x y =x x x ln 2)ln 1(31322-+=x x xln )ln 1(32322-+ ⑶ )cos (sin )cos (sin )(])cos (sin e ['-+-'='-='x x e x x e x x y xx xx e x x e x x e x x x sin 2)sin (cos )cos (sin =++-=3. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<-=0 x ,x bx)ln(10 x , a 0 x , cos 1)(2x xx f 问当a 、b 为何值时，)(x f 在0=x 处连续？解:a f =)0(. 当0<x 时,xx x x x x x x x x f cos 11sin )cos 1()cos 1)(cos 1(cos 1)(2222+⋅=++-=-= 211111cos 11lim )sin (lim )(lim 2020=+⨯=+⋅=∴---→→→x x x x f x x x而 b e b bx b bx bxb x bx x f bx x x x x ==+=+⋅=+=++++→→→→ln )1ln(lim )1ln(1lim )1ln(lim )(lim 10000 由于)(x f 在0=x 处连续的条件是极限)(lim 0x f x →存在,且极限值等于)0(f ，即)0()(lim )(lim 00f x f x f x x ==+-→→据此即得 21==b a 4. 设 y = f (x ) 由方程 x y x y=++e )cos(确定，求y '解：两边取对求导)()e (])[cos('='+'+x y x y1e ]1)[sin(='+'++-y y y x y)sin(e )sin(1y x y x y y+-++=' 5. 下列各方程中y 是x 的隐函数，试求y d ： ⑴ 4e)sin(=++xyy x ⑵ 1ln ln =+x y y x ⑶ 222e xy e y =-解：(1)方程两边对x 求导，得0)(e )1()cos(='+⋅+'+⋅+y x y y y x xy解出y '，得xy xy xe y x ye y x y ++++-=')cos()cos( ∴ dx xey x ye y x dy xyxy++++-=)cos()cos( (2)方程两边对x 求导，得01ln 1ln =⋅+'+'⋅⋅+xy x y y y x y 解出y ',得22ln ln x x xy y y xy y ++-=' ∴dx xx xy y y xy dy 22ln ln ++-= ⑶ 方程222e xy ey=-两边对x 求导，得0)2(222='⋅⋅+-'⋅⋅y y x y y e y解出y '，得xy e y y y 2222-=' ∴dx xy e y dy y)(222-= 6. 确定下列函数的单调区间。

⑴ 1--=x e y x⑵ x x y -=3223⑶ )1ln(x x y +-=解: ⑴ 0,01>⇒>-='x e y x，函数单增区间为),0[∞，单减区间为]0,(-∞。

⑵ 10,0131><⇒>-='-x x y ，函数单增区间为]1,0[，单减区间为),1[]0,(∞-∞U 。

⑶ 10,01-<>⇒>+='x x xxy 或，函数单增区间为),0[∞，单减区间为]0,1(-。

7. 求下列函数在指定区间的最大值与最小值。

⑴233)(x x x f -=，[-1,4] ⑵x x x f -+=1)(，[-5,1] ⑶)1ln()(2+=x x f ，[-1,2]解: ⑴ )2(3-='x x f ，0)0(=f ，4)2(-=f ，4)1(-=-f ，16)4(=f ，最大值为16)4(=f ，最小值为4)1()2(-=-=f f 。

⑵ xf --='1211，45)43(=f ，65)5(+-=-f ，1)1(=f ， 最大值为45)43(=f ，最小值为65)5(+-=-f 。

⑶ 122+='x xf ，0)0(=f ，2ln )1(=-f ，5ln )2(=f ， 最大值为5ln )2(=f ，最小值为0)0(=f 。

8. 设某工厂生产某产品的固定成本为50000元，每生产一个单位产品，成本增加100元。

又已知需求函数p q 42000-=，其中p 为价格，q 为产量，这种产品在市场上是畅销的，问价格为多少时利润最大？并求最大利润.解：C (p ) = 50000+100q = 50000+100(2000-4p )=250000-400pR (p ) =pq = p (2000-4p )= 2000p -4p 2利润函数L (p ) = R (p ) - C (p ) =2400p -4p 2 -250000，且令)(p L '=2400 – 8p = 0 得p =300，该问题确实存在最大值. 所以，当价格为p =300元时，利润最大. 最大利润 1100025000030043002400)300(2=-⨯-⨯=L （元）． 9. 试证：可微偶函数的导数为奇函数．证：设f (x )为可微偶函数，即f (x ) = f (-x )，则f ' (x ) = (f (x ))'= (f (-x ))'=f ' (-x ) (-x )'= -f ' (-x )即 f ' (-x ) = -f ' (x )所以 f ' (x ) 为奇函数.10. 试证：当0>x 时，)1ln(x x +>．证：设F (x ) = x – ln(1+x )因为 xx F +-='111)( 当x >0时，)(x F '>0，即F (x )单调增加. 有 F (x ) > F (0) = 0 x – ln(1+x ) > 0所以，当x >0时，x > ln(1+x )宁波电大06秋《经济数学基础(综合)》作业2参考答案第二篇 积分学一、单项选择题1. 若)(x F 为)(x f 的一个原函数，则⎰=+dx x f )23(（ C ）． A ．C x F ++)23( B ．C x F +)(31 C ．C x F ++)23(31D ．C x F +)( 2. 若=⎰dx x f e x)f '-2x )(,(则的一个原函数是（ B ）． A ．-2xeB ．C +-2x2e- C ．2x -e 21- D ．C +2x -e 21-3. 设R '(q )=100-4q ，若销售量由10单位减少到5单位，则收入R 的改变量是（ B ）．A ．-550B ．-350C ．350D ．以上都不对 4. 若f （x ）的一个原函数为x ln ，则=)('x f （ D ）． A. x ln B. x x ln C.x 1 D. 21x- 5. 某产品边际成本为'C q ()，固定成本为c 0，边际收入为'R q ()，则利润函数L q ()=（ D ）. A . [()()]'-'⎰R x C x x qd 0B .[()()]'-'-⎰C x R x x c qd 0C .[()()]'-'+⎰R x C x x c qd 00 D .[()()]'-'-⎰R x C x x c qd 06. 下列等式成立的是( D )．A .x d dx x=1B .)1(12x d dx x -=C . sinxdx=d(cosx)D . x xda adx a ln 1= 7. 设=⎰dx f )x -1f(,x )(1则为连续函数为( A ) ．A ．⎰10 x f(x )dx 2 B ．⎰10 x f(x )dx 2- C ．⎰10f(x)dx 21 D ．⎰1f(x)dx 21-8. =⎰dx x ln （ C ） A ．c x+1B ．c x x +lnC ．c x x x +-lnD ．c x x x ++ln 9. 若⎰+=C x F dx x f )()(，则=--⎰dx e f ex x)()(( C ).A. C e F x +)(B. C e F x+-)( C. C e F x +--)( D.C xe F x+-)( 10. 下列定积分中, 其值为0的是( A ). A ．⎰-112sin xdx xB ．xdx x cos 112⎰- C ．xdx ex sin 12⎰- D ．dx x )1(112⎰-+11. 某产品的边际成本为)('q C , 固定成本为0c , 则总成本函数=)(q C ( C ). A. ⎰qdx x C 0)(' B. ⎰-qdx c x C 00])('[C.00)('c dx x C q+⎰ D.00)('c dx x C q-⎰12. 当k =（ D ）时，抛物线2kx y =与直线1=x 及x 轴所围成的图形面积等于1.A . 1B . 2C . 3D . 3或-3 13.=⎰-dx x x 11( B )A . 4B . 0C . 32D . 32- 14. 微分方程xy y 2='的通解是=y ( A ) A . 2x Ce B . C ex +2C . C x +2D . 2x e15. 若f （x ）是可积函数，则下列等式中不正确的是( D ).A . )())(('x f dx x f =⎰B .c x f dx x f +=⎰)()('C . ⎰=dx x f dx x f d )())((D .⎰=)()(x f x df二、填空题1. 若2x e 是)(x f 的一个原函数,则=⎰dx x f e 2-x )(c x +2.2.dx e x x 232⎰= c e x +3261.3.=+⎰-1122d )1(x x x0.4. 若c x x x x f +-+=⎰11d )(，则=)(x f 2)1(2--x .5. 若c x F x x f +=⎰)(d )(，则x f x x )d e (e --⎰=C e F x+--)(.6. 设曲线在任一点)0(>x x 处的切线斜率为xx 1-，且过(1，3)点，则该曲线的方程是2ln +-=x x y .7. 某商品的边际收入为q 210-，则收入函数R q ()=210q q -. 8. 设)(x f 为连续函数，积分⎰1)(dt t f 经代换)0(≠=a at u 换元后变为积分du aa u f a ⎰⋅01)(.9.=-⎰dx x x 21c x +--21.10.⎰+∞123d 1x x=2.三、解答题1. 求下列不定积分：(1) dx x x ⎰-235； (2)dx xx ⎰-1 ； (3) dx x x⎰1sin 12. 解：（1）原式=Cx C x x d x +--=+-+⨯-=---⎰2322322212)35(91)35(121161)35()35(61(2) 原式c x x c t t dt t t t t x +-+--=++-=--=-⎰2332)1(3212322)2(11 (3) 原式=⎰+=-C xx d x 1cos 11sin 2. 求下列定积分：(1)dx xe x ⎰12； (2) dx e xx ⎰-4131； (3) ⎰-+12|1|dx x .解：(1) 原式=414142412212121222122102102102+=+-=-=-=⎰⎰e e e e e dx e xe xde x x x x(2) 原式=36413413323232)3(32----+-=-=--⎰e e e x d ex x(3) 原式⎰⎰⎰⎰------+++++-=+++-=11121112)1()1()1()1()1()1(x d x x d x dx x dx x2522104211021)1(21)1(21112122=+=-+--=+++-=--）（）（x x3. 设由曲线2x y =,直线0,2,=+==y k x k x 所围成的面积最小,求k 的值. 解:)1(4)(),8126(3131x (k) S '2232k k2+=++===++⎰k k S k k x dx k k得驻点1-=k ∴当1-=k 时,其图形面积S 有最小值.4. 求曲线322+-=x x y 和曲线322++-=x x y 所围平面图形的面积. 解: 平面图形的面积[]38232)32()32(2023=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+--++=⎰x x dx x x x -x S 20225. 求下列广义积分：(1)dx x⎰+∞11(2) dx x x e ⎰+∞2)(ln 1 (3)dx x e x⎰∞+121. 解：(1)∞∞+=⎰121121x dx x，发散。