小学数学六年级（2019全国通用）-数学竞赛部分-相等和值问题（含答案）一、填空题1.如右图的6条线分别连接着九个○，其中一个○里的数字是6．请你选九个连续自然数（包括6在内），填入○内，使每条线上各数的和都等于23．2.如图，时钟的钟面上标有1，2，3，…，12共12个数，一条直线把钟面分成了两部分，请你再用一条直线分割钟面，使钟面被分成三个不同的部分且各部分所包含的几个数的和都相等，则其中两个部分所包含的几个数的和都相等，则其中两个部分所包含的几个数分别是________ 和________ ．3.把3、6、9、12、15、18、21、24、27填在合适的方格里使每横行、竖行、斜行的三个数相加的和都得45．4.学生问数学老师的年龄．老师说：“由三个相同数字组成的三位数除以这三个数字的和，所得结果就是我的年龄．”老师今年________ 岁．5.如图，横行、竖列各8格，每格都有一个数，已知横行上任意三个相邻数之和为15，竖列上任意三个相邻数之和为24．那么a所代表的数是________ ．6.把4、5、6、7、8、9这六个数分别填在下图的圆圈里，使三角形每条边上的和是21．7.图中六个小圆圈中的三个分别填有15、26、31三个数，而这三个数分别等于和它相邻的两个空白圆圈里的数的和，那么，填在三个空白圆圈里的数中，最小的一个数是________ ．8.有A、B、C、D四张扑克牌，其中：A、B、C三张扑克牌上的点数之和是15；A、B、D三张扑克牌上的点数之和是16；A、C、D三张扑克牌上的点数之和是19；B、C、D三张扑克牌上的点数之和是22．那么A、B、C、D四张扑克牌上的点数分别是________ 、________ 、________ 和________ ．9.建筑工程队甲组有21人，乙组有27人，丙组有24人．现根据工作需要，把丙组的人分到甲、乙两组去，要使甲、乙两组人数相等，应分________ 人到甲组，________ 人到乙组．10.自制的一副玩具牌共计52张（含4种牌：红桃，红方、黑桃、黑梅．每种牌都有1点、2点，…、13点牌各一张）．洗好后背面朝上放好．一次至少抽取________ 张牌，才能保证其中必定有2张牌的点数和颜色都相同．如果要求一次抽出的牌中必定有3张牌的点数是相邻的（不计颜色），那么至少要取________ 张牌．11.如图，九个小正方形内各有一个两位数，而且每行、每列及两条对角线上的三个整数的和相等．那么Χ=________．12.把1～8个数分别填入○中，使每条边上三个数的和相等．13.把0～9填入10个小三角形中，使每4个小三角形组成的大三角形的和相等．14.如图，九个小正方形内各有一个一位数，并且每行、每列及两条对角线上的三个整数的和相等，那么x=________ ．15.把63表示成n个连续自然数的和，试写出各种可能的表示法：________ ．16.七个圆内填入七个连续自然数，使每两个相邻圆内的数之和等于连线上的已知数，b为一位数，那么写A的圆内应填入________ ．二、计算题17.在如图的○里填上适当的数，使每个正方形四个角上的数加起来等于1．18.分数的分子、分母同时加上什么数，所得的新分数等于？19.将1～6分别填在图中，使每条边上的三个○内的数的和相等．20.图中8个顶点处标注数字a，b，c，d，e，f，g，h，其中的每一个数都等于相邻三个顶点处数的和的，求：（a+b+c+d）﹣（e+f+g+h）的值．21.把2、3、4、5、6填入右边图中，使横行、竖行的三个数相加的和相等．三、应用题22.电梯在一座十一层的楼房内上下运行．到二楼时，如果有人上或下，管理员就在盒内放入一个小球；到三楼时，如果有人上或卞就放两个小球；到四楼时，如果有人上或下就放三个小球；…以此类推，并且这个规律不变．如果无人上或下，则不放小球．一次，电梯从一楼开始上行到达顶层时，共有四层楼无人上或下，管理员共放了25个小球，请问：有哪几层楼无人上或下？简要说明你的理由．23.第二中队有8名男同学，女同学的人数跟男同学同样多，第二中队共有多少名同学？24.布袋中12个乒乓球分别标上了1，2，3，…，12．甲、乙、丙三人，每人从布袋中拿四球，已知三人所拿球上的数的和相等，甲有两球标上5、12，乙有两球标有6、8，丙有1球标1，问丙的其它三个球上所标的数是多少？答案解析部分一、填空题1.【答案】【考点】相等和值问题【解析】【解答】解：具体填法如下图：【分析】当六条线上的数分别相加时，数6只加了1次，其余各数分别加了两次．又已知每条对角线上各数之和都等于23，所以这九个连续自然数之和应是（6×23+6）÷2=72．于是九个数的中间数是72÷9=8，由此可知这九个连续自然数是4，5，6，7，8，9，10，11，12．其中显然只有11+12=23，故x=11，y=12和x=12，y=11．首先考虑x=11，y=12的情况．注意7若不与x或y在一条线上，则23﹣7=16，只能表示成10+6，而过7的线段却有两条，所以必须f=7，于是c=4，d=5，再由a+b=23﹣6=17，可知a、b均不为10，e=10，a=8，b=9，于是得到下图：当x=12，y=11时，同理可得：f=7，g=11，h=12．2.【答案】3，4，9，10；5，6，7，8【考点】相等和值问题【解析】【解答】解：如图：因为分成三部分，且每部分的和相等，所以其中两个部分所包含的几个数分别是：3，4，9，10；5，6，7，8．故答案为：3，4，9，10；5，6，7，8．【分析】一共是12个数，分成三部分，且每部分的和相等．则应从两头分别相加，即前边取两个，后边取两个，依次相加即可．3.【答案】【考点】相等和值问题【解析】【解答】解：3+27=30 6+24=30 9+21=30 12+18=30 它们都加15得45．即：3+27+15=45 6+24+15=45 9+21+15=45 12+18+15=45．另外：6+27+12=45 6+21+18=45 18+3+24=45 24+9+12=45．故“把3、6、9、12、15、18、21、24、27填在合适的方格里，使每横行、竖行、斜行的三个数相加的和都得45．”有以下4种排法：【分析】这一组数的特点是：后一个数与前一个数的差总是3．有这总特征的9个数，对应首尾两数之和是30，这时只剩下15，所以就让15填在最中间的空格处，首尾序号对应相同的两数在同一横行或列或斜行上，但最大（或最小）的那个数不能放在四个角上．4.【答案】37【考点】相等和值问题【解析】【解答】解：111÷（1+1+1）=37；222÷（2+2+2）=37；333÷（3+3+3）=37；…999÷（9+9+9）=37；故答案为：37．【分析】我们学过的数字一共有10个，符合该题条件的有1﹣﹣9共9个，根据要求可以逐一试试，即可得出答案．5.【答案】7【考点】相等和值问题【解析】【解答】解：如图：由7+b+c=24，则b+c=17，又b+c+d=24，所以d=7；由6+g+f=24，则g+f=18，又g+f+e=24，所以e=6；由2+h+i=15，又h+i+j=15，所以j=2，又j+a+e=15，得2+a+6=15，所以a=7．故答案为：7【分析】为便于解答，在有关方格内写上字母，如图．由7+b+c=24，推出b+c的值，再根据b+c+d=24，推出d的值；由6+g+f=24，推出g+f的值，再根据g+f+e=24，推出e的值；由2+h+i=15，又h+i+j=15，推出j的值，再根据j+a+e=15，推出2+a+6=15，进而求出a的值．解决问题．6.【答案】【考点】相等和值问题【解析】【解答】解：因为三个重叠数之和=21×3﹣（4+5+6+7+8+9）=24，在4、5、6、7、8、9这几个数中和是24的只有7，8，9．三个重叠数是7，8，9，那么根据每条边上的三个数之和等于21．故把4、5、6、7、8、9这六个数分别填在下图的圆圈里，使三角形每条边上的和是21，可得下图的填法．【分析】本题有三个重叠数，即三角形三个顶点○内的数都是重叠数，并且各重叠一次，所以三个重叠数之和=21×3﹣（4+5+6+7+8+9）=24；在4、5、6、7、8、9这几个数中和是24的只有7，8，9；所以要把它们安排在顶点上即可．7.【答案】5【考点】相等和值问题【解析】【解答】解：设和15相邻的两个数是a和b，和26相邻的两个数是b和c，和31相邻的两个数是b和c，由题意得：a+b=15①；b+c=26②；a+c=31③；由①可得：a=15﹣b，由②可得：c=26﹣b，代入③可得：15﹣b+26﹣b=31，2b=10，b=5；那么：a=15﹣5=10，c=26﹣5=21；所以这几个圈里填的数为：最小的为5．故答案为：5．【分析】设和15相邻的两个数是a和b，和26相邻的两个数是b和c，和31相邻的两个数是b和c；分别根据它们的和列出等式，再代换求解即可．8.【答案】2；5；8；9【考点】相等和值问题【解析】【解答】解：因为，A+B+C=15，A+B+D=16，A+C+D=19，B+C+D=22，将此三个等式等号的两边相加，3（A+B+C+D）=72，A+B+C+D=24，将此等式分别减去上面的三个等式，D=9，C=8，B=5，A=2，故答案为：2，5，8，9．【分析】根据题意知道，A+B+C=15，A+B+D=16，A+C+D=19，B+C+D=22，将此三个等式等号的两边相加，可以求出A+B+C+D的值，由此即可求出A、B、C、D的值．9.【答案】15；9【考点】相等和值问题【解析】【解答】解：（21+27+24）÷2=72÷2=36（人）36﹣21=15（人）36﹣27=9（人）答：应分15人到甲组，9人到乙组．故答案为；15，9．【分析】把丙组的人分到甲、乙两组去，要使甲、乙两组人数相等，先求出甲乙丙三组的人数的和，除以2，得到平均值，然后用平均值减去甲组人数，平均值减去乙组人数，即可得解．10.【答案】27；37【考点】相等和值问题【解析】【解答】解：（1）可取红，黑色的1，2，3，4，5，6，7，8，9.10，11，12，13点各2张，共13×2=26（张），那么再取一张牌，必定和其中某一张牌的点数相同，于是就有2张牌点数和颜色都相同，这是最坏的情况，因此至少要取27张牌，必须保证有2张牌点数，颜色都相同．（2）有以下的搭配：（1，2，3），（4，5，6），（7，8，9），（10，11，12），13因而对涂阴影部分得9个数，四种花色的牌都取，9×4=36（（张）牌，其中没有3张牌的点数是相邻的．现在考虑取37张牌，极端情况下，这37张牌，有4张是13，则至少有33张牌取自（1，2，3），（4，5，6），（7，8，9），（10，11，12）这4个抽屉，根据抽屉原理，必有9个数来自其中的一个抽屉，这个抽屉中就一定有3张牌的点数是相邻的，因此，至少要取37张牌．故自制的一副玩具牌共计52张（含4种牌：红桃，红方、黑桃、黑梅．每种牌都有1点、2点，…、13点牌各一张）．洗好后背面朝上放好．一次至少抽取27张牌，才能保证其中必定有2张牌的点数和颜色都相同．如果要求一次抽出的牌中必定有3张牌的点数是相邻的（不计颜色），那么至少要37张牌．故答案为：27，37．【分析】（1）每种点数的有4张，要有3个相邻的！则根据抽屉原理，首先要把所有不同的都能抽出来．（2）首先，抽第1、2张是两张王牌．然后抽第3﹣15张是黑桃那13张牌，第16﹣28张是红心那13张牌，第29﹣41张是梅花那13张牌．这个时候，已经抽了41张牌了，剩下方块那13张牌．只要从这13张方块中任意抽1张，就必定有4张牌点数相同．11.【答案】24【考点】相等和值问题【解析】【解答】解：每个小正方形内的两位数分别用a、b、c、d、e、f来表示，每行、每列及两条对角线上的三个整数的和相等．则有：a+b+22=26+X+22，①c+X+d=26+X+22，②26+e+f=26+X+22，③a+c+26=26+X+22，④b+X+e=26+X+22，⑤22+d+f=26+X+22，⑥a+X+f=26+X+22；⑦都用26+X+22来表示，前6式左边加左边等于右边加右边，整理，得：a+b+c+d+e+f=96+2X，由②得c+d=48，由⑤得b+e=48，由⑦得a+f=48，把这3式代入上式，得：48×3=96+2X，2X=48，X=24．答：那么Χ=24．故答案为：24．【分析】如下图所示，每个小正方形内的两位数分别用a、b、c、d、e、f来表示，每行、每列及两条对角线上的三个整数的和相等．都用26+X+22来表示，前6式左边加左边等于右边加右边，整理，得：a+b+c+d+e+f=96+2X，由②得c+d=48，由⑤得b+e=48，由⑦得a+f=48，把这3式代入上式，得：48×3=96+2X，X=48，X=24．12.【答案】【考点】相等和值问题【解析】【解答】解：所填数字如下图：【分析】假设四个角上的数是a、b、c、d，每条边上三个数的和是k，则有：1+2+3+4+5+6+7+8+a+b+c+d=4k，36+a+b+c+d=4k，9+（a+b+c+d）÷4=k，k是整数，所以四个角上的数的和是4的倍数，1+2+3+6=12，k=9+3=12，其他四个数4、5、7、8，1+3+8=12，2+3+7=12，1+6+5=12，2+4+6=12；成立．2+3+4+7=16，k=4+9=13．其他四个数1、5、6、8，2+3+8=13，4+7+1=12，3+4+6=13，2+5+7=14，不成立．其他情况都不成立．13.【答案】【考点】相等和值问题【解析】【解答】解：去掉0后，每组数的和为：（1+2+3+4+5+6+7+8+9）÷3=45÷3=15；可以分成如下图：．【分析】解题的思路是从0～9去掉一个数，使剩下的9个数平均分成3组，因为0较特殊，所以去掉0．14.【答案】5【考点】相等和值问题【解析】【解答】解：如图所示，a+x+f=9+x+1，有a+f=10；同理d+x+c=9+x+1得d+c=10；所以a+f+d+c=20又a+9+d=9+x+1，得a+d=x+1；c+1+f=9+x+1，得c+f═x+9，则a+d+c+f=2x+10．所以2x+10=20，x=5．故答案为：5．【分析】如图所示，设其它六个数一位数为a、b、c、d、e、f，已知中间竖行三个数为9、x、1，由题意可知：a+x+f=9+x+1，有a+f=10；同理d+x+c=9+x+1得d+c=10；所以a+f+d+c=20；又a+9+d=9+x+1，得a+d=x+1；c+1+f=9+x+1，得c+f=x+9，则a+d+c+f=2x+10．所以2x+10=20，x=5．15.【答案】63=31+32=20+21+22=8+9+10+11+12+13=6+7+8+9+10+11+12=3+4+5+6+7+8+9+10+11 【考点】相等和值问题【解析】【解答】解：把63表示成n个连续自然数的和共有以下几种表示法：两个数：n+n+1=63，n=31．数是31，32三个数：（n﹣1）+n+（n+1）=63，n=21．数是20，21，22四个数（n﹣1）+n+（n+1）+（n+2）=63，无解五个数（n﹣2）+（n_1）+n+（n+1）+（n+2）=63，无解六个数（n﹣2）+（n﹣1）+n+（n+1）+（n+2）+（n+3）=63，n=10数是8，9，10，11，12，13七个数（n﹣3）+（n﹣2）+（n﹣1）+n+（n+1）+（n+2）+（n+3）=63，n=9，数是6，7，8，9，10，11，12，八个数，…无解九个数，数是，3，4，5，6，7，8，9，10，11；共五种．即63=31+32=20+21+22=8+9+10+11+12+13=6+7+8+9+10+11+12=3+4+5+6+7+8+9+10+11．【分析】本题可据连续的自然数为公差是1的等差数列进行分析，如连续两个自数：n+（n+1）=63，可得：31+32=63．据此分析即可．16.【答案】6【考点】相等和值问题【解析】【解答】解：6+10+14+11+8+12+b=61+b，此时只有b=9时61+b=61+9=70符合题意，如图所示：B=A﹣4，C=B+3，所以C=A﹣1；D=C+3，所以D=A+2；而A+D=14；即A+A+2=14，所以A=（14﹣2）÷2=6．故答案为：6．【分析】把每两个相邻圆内的数之和相加，相当于圆内的每个数字都加了2次，所以每两个相邻圆内的数之和的和一定是2和7的倍数，又由a的个位数字是b可知b为一位数，据此可得出b的值．再由图中两圆的和的特点推出隔一个圆的数之间的关系，等量代换即可解答．二、计算题17.【答案】解：1﹣（++）=1﹣=；1﹣（++）=1﹣=；1﹣（++）=1﹣=；1﹣（++）=1﹣=；1﹣（++）=1﹣=．故答案为：【考点】相等和值问题【解析】【分析】根据题意，在小正方形中++=，每个正方形四个角上的数加起来等于1，那么用1﹣=，可以求出这个小正方形中数；同理可以求出其它○里面的数．18.【答案】解：假设同时加上x，由题意，得：=，1995×（1995+x）=1996×（1993+x），（1996﹣1995）x=1995×1995﹣1996×1993，x=1995×1995﹣1995×1993﹣1993，=1995×2﹣1993，=1995+2，=1997；答：分数的分子、分母同时加上1997，所得的新分数等于．【考点】相等和值问题【解析】【分析】假设同时加上x，可以列出一个等式，通过解方程求解．19.【答案】解：根据题意（如下图），当最上面角的○内填1时，下面两个角的○内分别填2、3，通过调整4、5、6 三个数的位置，得出a与b的填法，当最上面角的○内填2时，下面两个角的○内分别填1、3，通过调整4、5、6 三个数的位置，得出c与d的填法，当最上面角的○内填3时，下面两个角的○内分别填1、2，通过调整4、5、6 三个数的位置，得出e与f的填法，【考点】相等和值问题【解析】【分析】根据此图的特点，及每条边上的三个○内的数的和相等，可以确定三个角上的○内的数是1、2、3，并且每条边的和是9，再根据所填角上○内的数，调整4、5、6这三个数的位置，即可得出答案．20.【答案】解：由已知条件得：3a=b+d+e，3b=a+c+f，3c=b+d+g，3d=a+c+h；由于3a+3b+3c+3d=b+d+e+a+c+f+a+c+h=3（a+b+c+d）=2（a+b+c+d）+（e+f+g+h）．所以（a+b+c+d）=e+f+g+h；则（a+b+c+d）﹣（e+f+g+h）=0．【考点】相等和值问题【解析】【分析】由题设条件知道，b+e+d=3a（1），c+f+a=3b（2），d+g+b=3c（3），a+h+e=3d （4）；由（1）+（2）+（3）+ （4）可以发现，2（a+b+c+d）+（e+f+g+h）=3（a+b+c+d）即e+f+g+h=a+b+c+d．所以（a+b+c+d）﹣（e+f+g+h）=0．21.【答案】解：设中间的数为x，横行、竖行和为y，则横行、竖行的和相加为2+3+4+5+6+x=2y，所以x一定为偶数，即中间的数可为2、4、6，如为中间2，6+2+3=5+2+4=11；如中间为4，则：6+4+2=5+4+3=12；如果中间为6，则：5+6+2=4+6+3=13．故有三种填法，（同一种填法中，中间数字不变，横行竖行中其他数字倒换和不变）如图：（1）（2）（3）【考点】相等和值问题【分析】设中间的数为x，横行、竖行和为y，则横行、竖行的和相加为2+3+4+5+6+x=2y，【解析】即相加的和为偶数，所以x一定为偶数，即中间的数可为2、4、6，如为中间2，那么一行中有一个最大的数6，就要有最小的数3，另一行就有一个次大的数5次小的数4，即6+2+3=5+2+4=11．同理分析中间为6、4时的数据组合．三、应用题22.【答案】解：根据放球的规则，应放小球：1+2+3+…+8+9+10=55（个），但实际上只放了25个小球，一共少放了：55﹣25=30（个）球，少放30个球的原因是有4层楼无人上或下，所以，想到可以把30分解为1～10之间三个不同数的和：30=3+8+9+10=4+7+9+10=5+6+9+10=5+7+8+10=6+7+8+9，根据相应的结果，可以知道分别是哪四层楼无人上或下，（1）四层、九层、十层、十一层，（2）五层、八层、十层、十一层，（3）六层、七层、十层，十一层，（4）六层、八层、九层，十一层，（5）七层、八层、九层、十层，所以，一共有五种可能的情况，但考虑到具体情况，如果第十一层楼没有人上下，那么电梯是不可能上到11楼的，所以11楼一定有人上下，那么前面四种可能都被排除！所以只有第（5）种情况符合实际，答：七层、八层、九层、十层，四层楼无人上或下．【考点】相等和值问题【解析】【分析】容易知道，电梯到达几楼时，如果有人上或下，那么所放小球的数量就比楼层数少1．现在有4层楼无人上或下，如果每层楼都有人上或下，根据放球的规则，应放小球：1+2+3+…+8+9+10=55（个），但实际上只放了25个小球，比较可知，一共少放了55﹣25=30（个）球．当然，少放30个球的原因是有4层楼无人上或下，所以想到可以把30分解为1～10之间三个不同数的和：30=3+8+9+10=4+7+9+10=5+6+9+10=5+7+8+10=6+7+8+9，根据相应的结果，可以知道分别是哪四层楼无人上或下．23.【答案】解：8+8=16（名）；答：第二中队共有16名同学．【考点】相等和值问题【解析】【分析】这道题的关键是女同学的人数跟男同学同样多，也就是8名．24.【答案】解：布袋中12个乒乓球上的数字和为78，三人所拿球上的数的和相等为．可知甲的另外两球标有的数字和为9，用排除法可知另外两球标有2、7；乙的另外两球标有的数字和为12，用排除法可知另外两球标有3、9；只剩下4、10、11．答：丙的其它三个球上所标的数是4、10、11．【考点】相等和值问题【解析】【分析】布袋中12个乒乓球上的数字和为78，三人所拿球上的数的和相等，所以和为26．用排除法可知甲的另外两球标有2、7；乙的另外两球标有3、9；丙的其它三个球上所标的数是4、10、11．。