∵二次函数图象过点(1,4),(-1,0)和(3,0)
∴ a+b+c=4
①
a-b+c=0
②
9a+3b+c=0 ③
解得： a= -1
b=2
c=3
∴ y= 函数的解析式为： -x2+2x+3
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（顶点式）
解：
∵ 抛物线与x轴相交两点(-1,0)和(3,0) ，
∴ (-1+3)/2 = 1
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2
例1 已知:抛物线y=ax2+bx+c过点（2，1）、（1，-2 ）
（0，5）三点，求抛物线的解析式
解：由题意可得：
｛4a+2b+c=1 a+b+c=-2
①
c=5
解之得：
｛a=5 b=-12 c=5
所以抛物线的解析式是：y=5x2-12x+5.
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3
练
已知一个二次函数的图象过点（－1,10）、 （1,4）、（2,7）三点，求这个函数的表达式？
解法1：（利用一般式） 设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c (a≠0) 由题意知 16a+4b+c = -3
-b/2a = 3 (4ac-b2)/4a = 4
解方程组得：
a= -7 b= 42 c= -59 ∴ 二次函数的解析式为：y= -7x2+42x-59
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解法2：（利用顶点式）
解： 设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c
a-b+c=10
由条件得： a+b+c=4 4a+2b+c=7
解方程得： a=2, b=-3, c=5
所以所求二次函数是：y=2x2-3x+5
y ox
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二、顶点式y=a(x-h)2+k(a、h、k为常数a≠0).
1.若已知抛物线的顶点坐标和抛物线上的另一个点的
B(5,0)两点，它的对称轴为直线x=3，求这个二
次函数的解析式。
解: ∵ 二次函数的对称轴为直线x=3 ∴设二次函数表达式为 y=a(x-3)2+k 图象过点A(0,5),B(5,0)两点 ∴ 5=a(0-3)2+k 0=a(5-3)2+k 解得：a= 1 k=-4 ∴ 二次函数的表达式: y= (x-3)2-4 即 y =设所求的二次函数解析式为：y=a(x＋1)2-3 又点( 0,-5 )在抛物线上
a-3=-5, 解得a= -2
故所求的抛物线解析式为 y=－2(x＋1)2-3
即：y=－2x2-4x－5
y
x o
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2. 已知一个二次函数的图象经过点(4,-3)，并且当x=3 时有最大值4，试确定这个二次函数的解析式。
∵ 当x=3时，有最大值4∴ 顶点坐标为(3,4)
设二次函数解析式为：y=a(x-3)2+4
∵ 函数图象过点（4，- 3）
∴ a(4 - 3)2 +4 = - 3
∴ a= -7
∴ 二次函数的解析式为：
y= 2021/02/21 -7(x-3)2+4
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3 . 二 次 函 数 y=ax2+bx+c 的 图 象 过 点 A(0,5),
∴ 点(1,4)为抛物线的顶点 可设二次函数解析式为： y=a(x-1)2+4
∵ 抛物线过点(-1, 0) ∴ 0=a(-1-1)2+4 得 a= -1
∴ 函数的解析式为：
y= -(x-1)2+4
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3 已知二次函数的图象在x轴上截得的线段
解：设所求的解析式为
∵抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0）、（1，0） ∴ ∴
又∵点（0，1）在图像上， ∴
∴ a = -1 ∴
即：
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2：已知二次函数图象经过点 (1,4),(-1,0)和(3,0)三 点，求二次函数的表达式。
解：（交点式）
∵二次函数图象经过点 (3,0),(-1,0)
确定二次函数的表达式
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用待定系数法求二次函数的解析式
一、一般式：y=ax²+bx+c (a,b,c为常数,a ≠0)
求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a，b，c的值。 由已知条件（如二次函数图像上三个点的坐标）列出关于a，b，c的方程组， 并求出a，b，c，就可以写出二次函数的解析式。
∴设二次函数表达式为 ：y=a(x-3)(x+1)
∵ 函数图象过点(1,4)
∴ 4 =a (1-3)(1+1) 得 a= -1
∴ 函数的表达式为：
y= -(x+1)(x-3)
= -x2+2x+3
知道抛物线与x轴的两个交点的坐
标，选用交点式比较简便
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其它解法：（一般式）
设二次函数解析式为y=ax2+bx+c
交点式y=a(x-x1)(x-x2). x1和x2分别是抛物线与x轴 的对对两称称个轴轴交 对. 点 称的 ，横 则坐直标线，x 这 两x1个2 交x2点就关是于抛抛物物线线的的
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1：已知二次函数与x 轴的交点坐标为（-1，0）, （1，0），点（0，1）在图像上，求其解析式。
2. 特别地，当抛物线的顶点为原点是，h=0,k=0,可 设函数的解析式为y=ax2.
3.当抛物线的对称轴为y轴时，h=0,可设函数的解析 式为y=ax2+k.
4.当抛物线的顶点在x轴上时，k=0，可设函数的解
析式为y=a(x-h)2.
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5
1.已知抛物线的顶点为（－1，－3），与y轴 交点为（0，－5）,求该抛物线的解析式？
坐标时，通过设函数的解析式为顶点式y=a(x-h)2+k. PPT模板：
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小结:
已知顶点坐标（h,k）或对称轴方程x=h时优先选用顶点式。
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三、交点式y=a(x-x1)(x-x2).（a、x1、x2为常数a≠0）
∆ 当抛物线与x轴有两个交点为（x1,0）,(x2,0)时，二次函数y=ax2+bx+c可以 转化为交点式y=a(x-x1)(x-x2).因此当抛物线与x轴有两个交点为（x1,0） ,(x2,0)时，可设函数的解析式为y=a(x-x1)(x-x2)，在把另一个点的坐标代 入其中，即可解得a，求出抛物线的解析式。