2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）01．若关于x 的方程244310x mx m +--=有两个相等的实数根，则32442m m m ++-的值为（ A ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．1【解答】依题意，21616(31)0m m D =++=，∴2310m m ++=，∴231m m =--，231m m +=-。

∴3222442(31)44232123m m m m m m m m m ++-=--++-=+-=--=-。

02．如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为()m n m n <、。

原点O 为AD 的中点，A D E 、、在y 轴上。

若二次函数2y ax =的图像经过C F 、两点，则nm=（ B ） A ．31+ B ．21+ C ．231- D ．221-【解答】依题意，点C 的坐标为()2m m ，，点F 的坐标为()2mn n -+，。

由二次函数2y ax =的图像经过C F 、两点得222()2mam m n a n ì=ïïíï+=-ïî，消去a 得2220n mn m --=。

∴2210n n m m骣-?=琪桫，解得21n m =+（舍负根）。

∴21n m =+。

03．如图，G 为ABC △的重心，点D 在CB 延长线上且12BD BC =，直线DG 交AC 于点E ，则AEAC=A ．25B ．35C ．37D ．47（ D ）ME GFB DEGFB【解答】如图，连AG ，并延长交BC 于点F 。

∵G 为ABC △的重心且12BD BC =，∴F 为BC 中点且21AG GF =，DB BF FC ==。

过点F 作FM DE ∥，交AC 于点M ，则13CM CF CE CD ==，21AE AG EM GF ==。

设CM k =，则3CE k =，2EM k =，4AE k =，∴7AC k =，4477AE k AC k ==。

另解：如图，连AG ，并延长交BC 于点F 。

∵G 为ABC △的重心且12BD BC =，∴F 为BC 中点且21AG GF =，DB BF FC ==，∴23FD DC =，21AG GF =。

在AFC △中，由梅涅劳斯定理得1FD CE AG DC EA GF 鬃=，22131CE EA 鬃=，34CE EA =，∴47AE AC =。

（第03题答题图2）（第03题答题图1）（第03题图） （第02题图）04．如图，H O 、分别为ABC △的垂心和外心，45BAC??，若ABC △的外接圆半径为2，则AH =A．．．4 D1 （ B ）【解答】D ，连∵O 为ABC △的外心，∴BD 为O ⊙直径，DC BC ^，DA AB ^。

又∵H 为ABC △的垂心，∴AH BC ^，CH AB ^，∴AH DC ∥，CH DA ∥， ∴四边形AHCD 为平行四边形，AH DC =。

∵45BAC ?，ABC △外接圆的半径为2， ∴45BDC BAC ??，4BD =，∴AH DC == 05．满足方程22419151x xy y -+=的整数对()x y ，有（ C ）A ．0对B ．2对C ．4对D ．6对【解答】方程22419151x xy y -+=化为22(2)15115x y y A -=-=。

依题意，A 为完全平方数。

由2151150A y =-≥得215115y ≤。

结合y 为整数得210y ≤，故20149y =，，，。

当20y =时，215115151A y =-=，不是完全平方数。

当21y =时，215115136A y =-=，不是完全平方数。

当24y =时，21511591A y =-=，不是完全平方数。

当29y =时，2215115164A y =-==。

∴方程化为229(2)16y x y ìíï-=î，即23(6)16y x ì=í-=î或23(6)16y x ì=-í+=î ∴364y x ì=í-=î或364y x ì=í-=-î或364y x ì=-í+=î或364y x ì=-í+=-î。

∴103x y ì=í=î或23x y ì=í=î或23x y ì=-í=-î或103x y ì=-í=-î。

∴满足方程的整数对有(103)(23)(23)(103)----，、，、，、，共4对。

二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）06．已知正整数a b c 、、满足a b c >>且b c a c a b +++、、是三个连续正整数的平方，则222a b c ++ 的最小值为 1297 。

【解答】依题意，设2(1)b c n +=-，则2a c n +=，2(1)a b n +=+，其中n 为正整数且1n >。

∴22222()(1)(1)32a b c n n n n ++=-+++=+，∴n 为偶数且2322n a b c +++=。

∴222424222n n n n n a b c ++-===，，。

∴6n ≥且当n 增大时222a b c ++的值也随之增大。

又6n =时，30196a b c ===，，符合要求。

∴222a b c ++的最小值为222301961297++=。

07．如图，在矩形ABCD 中，E 为对角线AC 的中点，A B 、在x 轴上。

若函数()40y x x=>的图像经过D E 、两点，则矩形ABCD 的面积为 8 。

【解答】设()()D D E E D x y E x y ，、，，则4D D E E x y x y ==。

作EF AB ^于F ，由E 为AC 中点得F 为AB 中点且1122EF BC AD ==，∴2D E y y =。

结合2E E D D D E x y x y x y ==?得2E D x x =，∴OA AF =，222D AB AF OA x ===。

∴矩形ABCD 的面积28D D S AB AD x y =?=。

08．如图，正ABC D 的边长为8，D 为AB 边上一点，1O ⊙为ACD D 的内切圆，2O ⊙为CDB D 中边DB上的旁切圆。

若1O ⊙的半径都是r ，则r = 3 。

ABO 1O 2C DF AB O 1O 2CD EH G MN【解答】如图，设1切的三边CD 、依次于点， 边DB 切2O ⊙于点F ，CD CB 、的延长线切2O ⊙于点M N 、。

∵12O O ⊙、⊙的半径都是r ，ABC D 为正三角形，以及切线长性质定理， ∴3AG AE r ==，83CH CG r ==-，3BF BN ==，38CM CN ==+。

∴343(8)(83)3EF HM CM CH r r ==-=+--= ∴433833AB AE EF FB r =++=++=838=，∴3r = 09．若实数x 满足[][][]232018x x x ++=，则[]4x = 1346 。

其中[]x 表示不超过x 的最大整数。

【解答】设x a m =+，其中a 为整数，01m ≤＜。

则[][][][][][][][]232()3()623x x x a m a m a m a m m ++=+++++=++。

（第08题答题图）（第08题图）（第07题答题图）（第07题图）（第10题答题图）∵当103m ≤＜时，[][]23000m m +=+=；当1132m ≤＜时，[][]23011m m +=+=；当1223m ≤＜时，[][]23112m m +=+=；当213m ≤＜时，[][]23123m m +=+=。

∴对任意实数x ，[][][]23x x x ++的值具有形式：6616263k k k k +++，，，，k 为整数。

∵201863362=?，[][][]232018x x x ++=，∴336x m =+，其中1223m ≤＜。

∴[][][]44(336)43364134421346x m m =+=?=+=。

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其算法与数学的一个重要分支图论有着密切的联系。

图论可以追溯到数学家欧拉提出的“哥尼斯堡七桥问题”。

图论中讨论的图是由一些节点和连接这些节点的线组成的。

请回答下列问题：把一个矩形区域划分成n 个凸多边形区域（这些凸多边形区域除公共边外没有公共部分）。

若构成这n 个凸多边形的顶点中恰有6个顶点在矩形内，12个顶点在矩形的边界上（含矩形顶点）；同时，任何三个顶点不共线（除矩形边界上的顶点共线外）。

若围成这n 个凸多边形的线段中恰有18条线段在矩形区域内，则这n 个凸多边形中四边形个数的最大值为 9 。

【解答】设这n 个凸多边形中有3k 个三角形，4k 个四边形，5k 个五边形，…，m k 个边形。

则这n 个凸多边形的内角和为：345(32)180(42)180(52)180(2)180m k k k k m 窗+?窗+?窗++?窗。

另一方面，矩形内部有6个顶点，对于每个顶点，围绕它的多边形的内角和为360°。

矩形边界线段内（不含矩形顶点）有8个顶点，在每个顶点处，各多边形在此汇合成一个平角，其和为180°。

在矩形的每个顶点处，各多边形在此汇合成一个直角，其和为90°。

∴这n 个凸多边形的内角和为63608180490窗+窗+窗。

∴345(32)180(42)180(52)180(2)180m k k k k m ?窗+?窗+?窗++?窗 63608180490=窗+窗+窗。

即34523(2)22m k k k m k ++++-=。

……… ①再考虑这n 个凸多边形的边数。

∵每个凸m 边形有m 条边，∴这n 个凸多边形的边数和为345345m k k k mk ++++。

另一方面，由条件知：在矩形内部18条边的每条边都是两个凸多边形的公共边，应计算2次。

而在矩形边界上的12个点，得到12条线段，它们都对应某个凸多边形的边。

∴这n 个凸多边形的边数和为1821248?=，∴34534548m k k k mk ++++=。

…② 由①②消去3k 得452(3)9m k k m k +++-=，∴49k ≤。