简谐运动的动力学条件和周期公式的推导
[摘要]：本文从简谐运动的概念出发，
用数学知识，推理出了简谐运动的动力学条件及弹簧振子的周期公式、单摆做小角度摆动的周期。

从逻辑上对机械振动一章的知识有了一
个整体的认识。

[关键词]：简谐运动，动力学条件，周期公式，弹簧振子，单摆
[正文]
课程标准实验教科书《物理》3—4第十一章从运动学的角度对简谐运动进行了定义，恰好从数学课上学生也学到了关于导数的知识。

这就为构造简谐运动的逻辑提供了条件，通过这样的一个逻辑构造，可以让学生体会数学在物理学中的应用。

同时，也可以让学生充分体会物理学逻辑上的统一美。

激发学生学习物理，从理论上探究物理问题的兴趣和决心。

如果质点的位移与时间的关系遵从正弦的规律，即它的振动图象（
x —t 图象）是一条正弦，这样的运动叫做简谐运动。

由定义可知，质点的位移时间关系为t A x
sin ………………（1）对时间求导数可得速度随时间变化的规律：t A dt
dx
v cos ………………（2）再次对埋单求导数可得加速度随时间变化的规律：t A dt dv
a sin 2 (3)
由牛顿第二定律可知，质点受到的合力为：
ma F
………………（4）由（3）（4）可知：
t mA F sin 2 (5)
将（1）式代入（5）式可得：
x m
F
2..................（6）上式中，m 和都是常数，从而可以写成下面的形式kx F (7)
其中2m k ，至此得到了质点做简谐运动的动力学条件：质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置。

对于的弹簧振子来说，（7）式中的k 表示弹簧的劲度系数，对比（6）式可知k m 2，
即
m k
(8)
由数学知识知，质点完成一次全振动的时间，即周期
T
(9)
由（8）（9）可得：k
m T 2………………（10）至此，得到了弹簧振子的周期公式，它表明，振子的周期与振子的质量和弹簧的劲度系数有关，而与振幅无关，这正是我们所熟知的。

下面讨论单摆的周期公式。

设单摆的摆长为
l ，球的质量为m ，做小角度摆动时，在某个瞬间的摆角为，偏离平衡位置的位移为x 。

根据l x
sin 知，它的回复力x l mg F
………………（11）对比（7）式可知，l mg
k ，将这个结果代入（
10）可得单摆小角度摆动的周期g
l T 2………………（12）2012年3月6日星期二。