方法2：ARCH_LM检验
• ARCH_LM检验 – 1982年，Engle提出检验残差序列是否存在ARCH 效应的拉格朗日乘数检验（Lagrange multiplier test），即ARCH LM检验。
该检验等价于在如下的线性回归中用F统计量检验i 0(i 1, , m) :
at2
0
1at21
m
a2 tm
et ,
t m 1, ,T ,
其他et 表示误差项，m是事先指定的正整数，T是样本容量。
具体的
H0 :1 m 0
令SSR0
T
(at2
t m1
)2,其中
1 T
T
at2 ,
t 1
T
SSR1 eˆt2 ,其中eˆt2是前面线性回归最小二乘估计的残差。 t m1
于是，在原假设下，我们有
at的条件均值 ? at的条件方差 ?
作业：ARCH(p)模型
at的条件均值 ? at的条件方差 ? at的无条件均值 ? at的无条件方差 ?
定义t
at2
2 t
,
可以
证明{
t
}是均
值为
零的
不相关序列。
于是ARCH模型变成
at2 0 1at21 mat2m t , 这是at2的A R(m)形式，但是{ t }不是独立同分布的序列。 因为{ t }不同分布，因此上述模型的最小二乘估计是相合的，
现实金融市场上，许多金融时间序列并没有恒定的均值，大 多数序列在呈现出阶段性的相对平稳的同时，往往伴随着出 现剧烈的波动性。
金融数据的重要特征，包括： ➢ 尖峰厚尾（Leptokurtosis）：金融资产收益呈现厚尾（fat
tails）和在均值处呈现过度波峰，即出现过度峰度分布的倾 向； ➢ 波动丛聚性（clustering）：金融市场波动往往呈现簇状倾向， 即波动的当期水平往往与它最近的前些时期水平存在正相关 关系。波动率可能在一些时间上高，在另一些时间段上低。 ➢ 杠杆效应（leverage effects）：指价格大幅度下降后往往会 出现同样幅度价格上升的倾向，对价格大幅上升和大幅下降 的反应不同 ➢ 波动率以连续方式随时间变化，即波动率的跳跃是很少见的。 ➢ 波动率不发散到无穷，即在固定的范围内变化。
• 在实际经济问题中，随机扰动项ui往往是异方差 的，
异方差的后果
• 在古典回归模型的假定下，普通最小二乘估计量是线性、 无偏、有效估计量，即在所有无偏估量中，最小二乘估计 量具有最小方差性——它是有效估计量。
• 若线性回归模型存在异方差性，则用传统的最小二乘法估 计模型，就违背了最小二乘法估计的高斯——马尔柯夫假 设，因此，
E[ 0
a2 1 t1
]
0
1
E
(
a
2
t 1
)
因为at是平稳过程，且E(at ) 0.
所以Var(at
)
V ar(at 1 )
E(a2 t 1
).
因此，V
ar(at
)
1
0 1
.
又由于at的方差必须为正，因此要求0 1 1.
在有些应用中，还要求at高阶矩的存在，因此1还要有其他的约束条件。
ARCH(1)模型
差。 • 股票波动率不能被直接观测。这给评价条件异方差
模型的预测表现带来了困难。
理论意义
➢处理那些不相关但是不独立（dependent,相 依）的序列。即序列的相依性是非线性的 。
• 例：资产对数收益率序列及其平方序列/绝 对值序列的ACF。
➢一个时间序列波动率的建模能改进参数估 计的有效性和区间预测的精确度。
行拟和。 4. 对拟和模型进行检验和改进
ARCH效应的检验
记at X t t为均值方程的残差。
用平方序列a2来检验条件异方差性，即ARCH效应。 t 1. 残差平方的Ljung-Box检验 2. 检验统计量ARCH LM检验
方法1：残差平方的Ljung-Box检验
对残差平方序列{at2}进行Ljung - Box检验 (Mcleod and Li1983). H0 :{at2}序列前m个间隔的ACF都为0。
① 得到的参数估计量不是有效估计量，甚至也不是渐近有 效的估计量；
② 此时也无法对模型参数Βιβλιοθήκη 行有关显著性检验（t检验失去 作用）；
③ 模型的预测作用遭到破坏。
异方差的类型
• 异方差一般可归结为三种类型：
• (1）单调递增型：随X的增大而增大，即在X 与Y的散点图中，表现为随着X值的增大Y值 的波动越来越大
at
t
是一列iid的随机变量序列。
因此，
我们用a~t的Ljung Box检验来验证均值方程的充分性。 用a~2的Ljung Box检验来验证波动率方程的正确性。
t
预测
GARCH
• Bollerslev(1986)扩展了Engle（1982）的原始模 型，引入了一种允许条件方差转化为一个 ARMA过程的方法。
0 0.对i 0,i 0.
系数
必须满足一些正则性条件以
i
保证at的无条件方差有限。
ARCH模型的其他形式
• ARCH(q)模型结构
t
ht et
ht
q
j
2 t
j
j 1
et ~ WN (0,1)
。
• 假定
t ht ~ WN(0,1)
• 原理
– 通过构造残差平方序列 的自回归模型来拟合异 方差函数
Fitted
GRACH类模型的扩展
• 自从GARCH模型提出以来，就出现了非常多的模
型加以扩展和变化。这些扩展模型大多数是对 GARCH有关条件的改变，从而产生了不同的条件 异方差的表达方式，因而产生了不同的GARCH类 扩展模型。
但不是有效的。
当样本容量小的时候，at2的PACF可能不是有效的。
思考
• 这个结论有什么用？
参数估计
• 条件极大似然 • 拟极大似然 • ……
• 其他分布情况，计算类似。
• 教材P93 3.4.3 “ARCH模型的建立”中有详细描述 。
模型的检验
对一个正确拟和的ARCH模型，标准化的残差
a~t
• 在GARCH模型中，要考虑两个不同的假设：一个是条 件均值；一个是条件方差。
GARCH(m,s)模型的具体形式
at tt
m
s
2
t
0
a 2 i ti
2 j t j
i 1
j 1
（*）
其中 t的均值为0，方差为1，iid，
m ax(m,s)
0 0,i 0, j 0, (i i ) 1 i 1
F (SSR0 SSR1) / m 渐近服从 2 (m)分布。
SSR1 /(T 2m 1)
条件异方差模型
• ARCH模型 • GARCH模型 • GARCH模型的变体
– EGARCH模型 – IGARCH模型 – GARCH-M模型 – AR-GARCH模型 – ……
背景
• ARCH模型（autoregessive conditonally heteroscedastic，ARCH），即自回归条件异方差模 型，它是金融市场中广泛应用的一种特殊非线性模 型。
• 如果这一假定不满足，即：随机误差项具有不同 的方差，则称线性回归模型存在异方差性。
异方差的定义
• 回归模型的随机扰动项ui在不同的观测值中的方差 不等于一个常数，即Var(ui)= 常数（i=1，2，…，n ），或者Var（ ui ）不等于 Var（ uj ）（I, j=1，2， …，n），这时我们就称随机扰动项ui具有异方差 性（Heteroskedasticity）。
0,i 0, j 0
• 参数有界
p
q
i j 1
i 1
j 1
定义t
at2
2 t
,即
2 t
at2
。
t
把
2 t i
a2 t i
t-i (i
0,
, s)代入(*)式，
于是GARCH模型变成
m ax(m,s)
s
at2 0
(i i )at2i t jt j ,
i 1
j 1
可以验证{t}是一个鞅差序列（即：Et 0，Cov(t ,t-j) 0）.
第八章 条件异方差模型
1. 异方差 2. 条件异方差 3. 条件异方差的检验
1.异方差
• 异方差性（heteroscedasticity ）是相对于同方差而 言的。
• 为了保证回归参数估计量具有良好的统计性质， 经典线性回归模型的一个重要假定：总体回归函 数中的随机误差项满足同方差性，即它们都有相 同的方差。
方差齐性变换
• 使用场合
– 序列显示出显著的异方差性，且方差与均值之间具有
某种函数关系
2 t
h(t )
其中：h() 是某个已知函数
• 处理思路
– 尝试寻找一个转换函数g() ，使得经转换后的变量满足
方差齐性
Var[g(xt )] 2
2.条件异方差
实际意义
➢ 主要解决时间序列波动率的建模方法问题。 ➢ 期权交易中，波动率是标的资产收益率的条件标准
这里，对i m,i 0;对j s，i 0。
系数i
必须满足
i
一些正则性条件以保证at的无条件方差有限，
同时它的条件方差是随时间变化的。
GARCH 模型的其他形式
• 模型结构
t
ht et
ht
p
ihti
q
j
2 t
j
i 1
j 1
et ~ WN (0,1)
GARCH模型的约束条件