最小二乘估计
参数估计值
a ˆ84.699,8b ˆ8.1 92
拟合效果图
2.1.2 非线性拟合
使用场合 长期趋势呈现出非线形特征
参数估计指导思想 能转换成线性模型的都转换成线性模型， 用线性最小二乘法进行参数估计 实在不能转换成线性的，就用迭代法进行 参数估计
常用非线性模型
模型
变换
对趋势平滑的要求 移动平均的期数越多，拟合趋势越平滑
对趋势反映近期变化敏感程度的要求 移动平均的期数越少，拟合趋势越敏感
例2.3:病事假人数的移动平均
时 病事假人 5项移动 时间 病事假 5项移动 时间 病事假 5项移动
间
数
平均
人数
平均
人数
平均
1.1
4
1.2
7
1.3
8
1.4
11
1.5
18
2.1
质或预测序列将来的发展
1.4 时间序列分析软件
常用软件 S-plus，Matlab，Gauss，TSP，Eviews 和SAS
推荐软件——SAS 在SAS系统中有一个专门进行计量经济与时间序列分析 的模块：SAS/ETS。SAS/ETS编程语言简洁，输出功 能强大，分析结果精确，是进行时间序列分析与预测的 理想的软件 由于SAS系统具有全球一流的数据仓库功能，因此在进 行海量数据的时间序列分析时它具有其它统计软件无可 比拟的优势
特别的当 l 1
yT li
yˆTli yTli
,l i ,l i
y ˆT1yTyT1 n yTn1
例2.3
某一观察值序列最后4期的观察值为： 5，5.5，5.8，6.2
（1）使用4期移动平均法预测 xˆT 2。
（2）求在二期预测值 xˆT 2 中 xT 前面的系
数等于多少？
（1） xˆT11 4xTxT1xT2xT355.445.86.25.6 xˆT21 4xˆT1xTxT1xT25.6545.45.85.45
描述性时序分析方法具有操作简单、直观有效 的特点，它通常是人们进行统计时序分析的第 一步。
例如
德国业余天文学家施瓦尔发现太阳黑子的活动具有11年左右的周期
1.3.2 统计时序分析 频域分析方法 时域分析方法
时域分析方法
原理
事件的发展通常都具有一定的惯性，这种惯性用统计的语言 来描述就是序列值之间存在着一定的相关关系，这种相关关 系通常具有某种统计规律。
3.1
269 357.875 5.3 284 417.000 8.1 483
3.2
214 374.875 5.4 822 427.000 8.2 320
销售额 1 5 9 13 17 21 25 29
1200 1000
800 600 400 200
0
时间
实际值 预测值
移动平均作预测
预测公式：
y ˆTl1 n(yT l 1yT l2 yT ln)
2.1
224 307.875 4.3 233 423.125 7.1 345 484.375
2.2
114 315.500 4.4 922 423.125 7.2 320 502.250
2.3
181 323.625 5.1 324 432.125 7.3 390 525.500
2.4
753 341.750 5.2 224 426.000 7.4 978 542.750
非线性拟合
模型 变换
Tt abtct2
t2 t2
参数估计方法
线性最小二乘估计
拟合模型口径
Tt 50.225 107 .09t52 2
拟合效果图
2.2 平滑法
平滑法是进行趋势分析和预测时常用的一 种方法。它是利用修匀技术，削弱短期随 机波动对序列的影响，使序列平滑化，从 而显示出长期趋势变化的规律
233
7.1
922
7.2
324
7.3
224
7.4
284
8.1
822
8.2
时间
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
销售额
352 280 295 930 345 320 390 978 483 320
时间 销售额 4项滑
y
动平均
时间 销售额 4项滑
y
动平均
时间 销售额 4项滑
y
动平均
x1,x2,,xt
随机序列和观察值序列的关系
观察值序列是随机序列的一个实现 我们研究的目的是想揭示随机时序的性质 实现的手段都是通过观察值序列的性质进行推断
1.3 时间序列分析方法简介 描述性时序分析 统计时序分析
1.3.1 描述性时序分析
通过直观的数据比较或绘图观测，寻找序列中 蕴含的发展规律，这种分析方法就称为描述性 时序分析
5
期
中 心
xt2
x t 1
xt
xt1
xt2
移
动
平 均
~ xt xt2xt 1x 5 txt1xt2
n期移动平均
~ xt 1 n(xt xt1 xtn1)
5
期
xt4
xt3
xt2
x t 1
xt
移
动
平
均
~ xt xt4xt3x 5t2xt1xt
移动平均期数确定原则
事件的发展有无周期性 以周期长度作为移动平均的间隔长度 ， 以消除周期效应的影响
5
2.2
6
2.3
7
2.4
8
3.1
9
3.2
10
销售额 年.季度
166
3.3
52
3.4
140
4.1
733
4.2
224
4.3
114
4.4
181
5.1
753
5.2
269
5.3
214
5.4
时间
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
销售额 年.季度
210
6.1
860
6.2
345
6.3
203
6.4
试用移动平均法（N=4）对第12个月的销售额进行预测。 解：N＝4，故预测值为
yˆ12y11y104 y9y8415
同时利用n期移动平均公式可得到4～12月的平滑值序列为 【312.5 390 392.5 405 402.5 405 412.5 415 418.75】
2008-8-2
Anna
37
450
5
8.6
11.0
4.3
11
12.6 6.3
7
8.2
11.6
4.4
16
12.4 6.4
10
11.8
4.5
24
12.6 6.5
18
30 25 20 15 10
5 0
时间
病事假人数
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28
实际值 预测值
例2.4
年.季度 时间
1.1
1
1.2
2
1.3
3
1.4
4
2.1
指数平滑法与滑动平均法不同，指数平滑使用已知的全部 数据来决定一特别时间序列的平滑值。
2.2.2 指数平滑法
指数平滑方法的基本思想
在实际生活中，我们会发现对大多数随机事件 而言，一般都是近期的结果对现在的影响会大 些，远期的结果对现在的影响会小些。为了更 好地反映这种影响作用，我们将考虑到时间间 隔对事件发展的影响，各期权重随时间间隔的 增大而呈指数衰减。这就是指数平滑法的基本 思想
400
350
300
250
200
150
100
0
2பைடு நூலகம்
4
6
8
10
12
加权移动平均作预测
在计算滑动平均值时，若对各序列值不作同等看待， 而是对每个序列值乘上一个加权因子，然后再作平均，则 称此为加权滑动平均，称下述预测值
y ˆtw1yt 12yt N 2 NytN
为加权滑动平均拟合值，1,2, ,N为加权因子，满足
3
2.2
8
2.3
10
2.4
13
2.5
21
3.1
6
12.4 5.1
3
12.4
3.2
9
13.2 5.2
9
11.6
9.6
3.3
13
14.6 5.3
10
10.8
9.4
3.4
17
14.2 5.4
12
10.4
9.6
3.5
28
14.0
5.5
20
9.6
10.0
4.1
4
13.6 6.1
1
9.0
10.4
4.2
8
13.4 6.2
目的
寻找出序列值之间相关关系的统计规律，并拟合出适当的数 学模型来描述这种规律，进而利用这个拟合模型预测序列未 来的走势
特点
理论基础扎实，操作步骤规范，分析结果易于解释，是时间 序列分析的主流方法
时域分析方法的分析步骤
考察观察值序列的特征 根据序列的特征选择适当的拟合模型 根据序列的观察数据确定模型的口径 检验模型，优化模型 利用拟合好的模型来推断序列其它的统计性
常用平滑方法 移动平均法 指数平滑法
2.2.1 移动平均法
基本思想
假定在一个比较短的时间间隔里，序列值之间的差 异主要是由随机波动造成的。根据这种假定，我们 可以用一定时间间隔内的平均值作为某一期的估计 值
分类