《平面向量》测试题一、选择题1.若三点P （1，1），A （2，-4），B （x,-9）共线，则（ ） A.x=-1B.x=3C.x=29D.x=512.与向量a=(-5,4)平行的向量是（ ）A.（-5k,4k ）B.(-k 5,-k 4)C.(-10,2)D.(5k,4k) 3.若点P 分AB 所成的比为43，则A 分BP 所成的比是（ ）A.73B. 37C.- 37D.-73 4.已知向量a 、b ，a ·b=-40，|a|=10,|b|=8，则向量a 与b 的夹角为（ ） A.60° B.-60° C.120° D.-120° 5.若|a-b|=32041-,|a|=4,|b|=5，则向量a ·b=（ ） A.103B.-103C.102D.106．(浙江)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－737.已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量（a+x ）·b 与b 垂直，则x 的值为（ ） A.323B.233C.2D.-52 8.设点P 分有向线段21P P 的比是λ，且点P 在有向线段21P P 的延长线上，则λ的取值范围是（ ） A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-∞,-21) 9.设四边形ABCD 中，有DC =21AB ，且|AD |=|BC |，则这个四边形是（ ） A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形10.将y=x+2的图像C 按a=(6,-2)平移后得C ′的解析式为（ ） A.y=x+10 B.y=x-6 C.y=x+6 D.y=x-1011.将函数y=x 2+4x+5的图像按向量a 经过一次平移后，得到y=x 2的图像，则a 等于（ ） A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,1)12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D 的坐标是（ ） A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 二、填空题13.设向量a=(2,-1)，向量b 与a 共线且b 与a 同向，b 的模为25，则b= 。
14.已知：|a|=2,|b|=2,a 与b 的夹角为45°，要使λb-a 垂直，则λ= 。
15.已知|a|=3,|b|=5，如果a ∥b ，则a ·b= 。
16.在菱形ABCD 中，（AB +AD ）·（AB -AD ）= 。
三、解答题17.如图，ABCD 是一个梯形，AB ∥CD ，且AB=2CD ，M 、N 分别是DC 、AB 的中点，已知AB =a,AD =b,试用a 、b 分别表示DC 、BC 、MN 。
18．设a ＝(－1,1)，b ＝(4,3)，c ＝(5，－2)，(1)求证a 与b 不共线，并求a 与b 的夹角的余弦值；(2)求c 在a 方向上的投影； (3)求λ1和λ2，使c ＝λ1a ＋λ2b .19.设e 1与e 2是两个单位向量，其夹角为60°，试求向量a=2e 1+e 2,b=-3e 1+2e 2的夹角θ。
20.以原点O 和A （4，2）为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，∠B=90°，求点B 的坐标和AB 。
21. 已知||2a = ||3b =,a b 与的夹角为60o, 53c a b =+, 3d a kb =+,当当实数k 为何值时，⑴c ∥d ⑵c d ⊥22.已知△ABC 顶点A （0，0），B （4，8），C （6，-4），点M 内分AB 所成的比为3，N 是AC 边上的一点，且△AMN 的面积等于△ABC 面积的一半，求N 点的坐标。
文科数学 [平面向量]单元练习题一、选择题1．(全国Ⅰ)设非零向量a 、b 、c 、满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉＝( ) A ．150 B ．120° C ．60° D ．30°2．(四川高考)设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则a －2b 等于( ) A ．(7,3) B ．(7,7) C ．(1,7) D ．(1,3)3．如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →等于( )A ．a ＋34b B.14a ＋34b C.14a ＋14b D.34a ＋14b4．(浙江)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－735．(启东)已知向量p ＝(2，x －1)，q ＝(x ，－3)，且p ⊥q ，若由x 的值构成的集合A 满足A ⊇{x |ax ＝2}，则实数a 构成的集合是( )A ．{0}B ．{23}C ．∅D ．{0，23}6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，如果2b ＝a ＋c ，B ＝30°，△ABC 的面积为32，则b 等于( ) A.1＋32 B ．1＋ 3 C.2＋32D ．2＋ 37．(银川模拟)已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与B 的距离为( ) A ．2a km B ．a km C.3a km D.2a km8．在△ABC 中，若BC →2＝AB →·BC →＋CB →·CA →＋BC →·BA →，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形 9．已知等腰△ABC 的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是( )A.32B. 3C.158D.15710．已知D 为△ABC 的边BC 的中点，在△ABC 所在平面内有一点P ，满足PA →＋BP →＋CP →＝0，设|PA →||PD →|＝λ，则λ的值为( )A ．1 B.12 C ．2 D.14二、填空题11．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，若向量λ a ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ________.12．(皖南八校联考)已知向量a 与b 的夹角为120°，若向量c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则|a ||b |＝________.13．已知向量a ＝(tan α，1)，b ＝(3，1)，α∈(0，π)，且a ∥b ，则α的值为________．14．(烟台模拟)轮船A 和轮船B 在中午12时同时离开海港O ，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h 、15 n mile/h ，则下午2时两船之间的距离是________n mile. 15．(江苏高考)满足条件AB ＝2，AC ＝2BC 的三角形ABC 的面积的最大值是________． 三、解答题16．设a ＝(－1,1)，b ＝(4,3)，c ＝(5，－2)，(1)求证a 与b 不共线，并求a 与b 的夹角的余弦值； (2)求c 在a 方向上的投影；(3)求λ1和λ2，使c ＝λ1a ＋λ2b .17．如图，已知A (2,3)，B (0,1)，C (3,0)，点D ，E 分别在AB ，AC 上，DE ∥BC ，且DE 平分△ABC 的面积，求点D 的坐标．18．(厦门模拟)已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (3,0)、B (0,3)、C (cos α，sin α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，32π. (1)若|AC →|＝|BC →|，求角α的值；(2)若AC →·BC →＝－1，求2sin 2α＋sin2α1＋tan α的值．19．(南充模拟)在△ABC 中，已知内角A ＝π3，边BC ＝23，设内角B ＝x ，周长为y .(1)求函数y ＝f (x )的解析式和定义域；(2)求y 的最大值及取得最大值时△ABC 的形状．20．(福建高考)已知向量m ＝(sin A ，cos A )，n ＝(3，－1)，m ·n ＝1，且A 为锐角． (1)求角A 的大小；(2)求函数f (x )＝cos2x ＋4cos A sin x (x ∈R)的值域．21．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C .(1)若a ＝3，b ＝4，求|CA →＋CB →|的值；(2)若C ＝π3，△ABC 的面积是3，求AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值．《平面向量》测试题参考答案1.B2.A3.C4.C5.A6.D7.D8.A9.C 10.B 11.A 12.C 13.(4,-2) 14.2 15.±15 16.0 17.[解] 连结ACDC =21AB =21a,…… AC =AD +DC = b+21a,…… BC =AC -AB = b+21a-a= b-21a,……NM =ND +DM =NA +AD +DM = b-41a,……MN =-NM =41a-b 。
……18．【解析】 (1)∵a ＝(－1,1)，b ＝(4,3)，且－1×3≠1×4，∴a 与b 不共线． 又a·b ＝－1×4＋1×3＝－1，|a |＝2，|b |＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝－152＝－210.(2)∵a·c ＝－1×5＋1×(－2)＝－7∴c 在a 方向上的投影为a·c |a |＝－72＝－72 2. (3)∵c ＝λ1a ＋λ2b ，∴(5，－2)＝λ1(－1,1)＋λ2(4,3) ＝(4λ2－λ1，λ1＋3λ2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4λ2－λ1＝5λ1＋3λ2＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－237λ2＝37.19.[解] ∵a=2e 1+e 2,∴|a|2=a 2=(2e 1+e 2)2=4e 12+4e 1·e 2+e 22=7,∴|a|=7。