初中数学鲁教版八年级上册第四章4图形变化的简单应用练习题一、选择题1.如图，在4×4正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影，若再从图中标序号的小正方形中选一个涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形，那么不符合条件的小正方形是()A. ①B. ②C. ③D. ④2.经过平移或旋转不可能将甲图案变成乙图案的是()A. B. C. D.3.下列各项中，不是由平移设计的是()A. B. C. D.4.如图，在3×3的正方形网格中，有三个小正方形己经涂成灰色，若再任意涂灰1个白色的小正方形(每个白色的小正方形被涂成灰色的可能性相同)，使新构成灰色部分的图形是轴对称图形的概率是()A. 19B. 16C. 29D. 135.以如图的右边缘所在直线为轴将该图案向右翻折后，再绕中心旋转180°，所得到的图形是()A. B. C. D.6.如图正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有()种．A. 4B. 5C. 6D. 77.如图是5个小正方形纸片拼成的图形，现将其中一个小正方形纸片平移，使它与原图中剩下的小正方形纸片有一条或两条边重合后拼成一个轴对称图形，在拼出的所有不同位置的轴对称图形中，全等的图形共有()A. 0对B. 1对C. 2对D. 3对8.小军同学在网格纸上将某些图形进行平移操作，他发现平移前后的两个图形所组成的图形可以是轴对称图形.如图所示，现在他将正方形ABCD从当前位置开始进行一次平移操作，平移后的正方形的顶点也在格点上，则使平移前后的两个正方形组成轴对称图形的平移方向有()A. 3个B. 4个C. 5个D. 无数个9.下列图案中，含有旋转变换的有()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个10.在玩俄罗斯方块游戏时，底部己有的图形如图所示，接下去出现如下哪个形状时，通过旋转变换后能与已有图形拼成一个中心对称图形()A. B. C. D.二、填空题11.如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形(图1)拼出来的图形的总长度是______(结果用含a，b代数式表示)．12.如图所示，第1个图案是由黑白两种颜色的六边形地面砖组成的，第2个，第3个图案可以看成是由第1个图案经过平移而得，那么第n个图案中白色六边形地面砖的数量为______(代数式需要简化)．13.如图所示的图案，可以看成是由字母“Y”绕中心每次旋转______度构成的．14.如图所示的美丽图案，可以看作是由一个三角形绕旋转中心旋转____次，每次旋转____度形成的．15.如图，香港特别行政区区徽由五个相同的花瓣组成，它是以一个花瓣为“基本图案”通过连续四次旋转所组成，这四次旋转中，旋转角度最小是____度．三、解答题16.图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影：(1)使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．(2)使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．(请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形)17.已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形(√2OA<OM=ON)，∠AOB=∠MON=290°．(1)如图1：连AM，BN，求证：△AOM≌△BON；(2)若将△MON绕点O顺时针旋转，①如图2，当点N恰好在AB边上时，求证：BN2+AN2=2ON2；②当点A，M，N在同一条直线上时，若OB=4，ON=3，请直接写出线段BN的长．18.[探索发现](1)如图①，△ABC与△ADE为等腰三角形，且两顶角∠ABC=∠ADE，连接BD与CE，则△ABD与△ACE的关系是______；[操作探究](2)在△ABC中，AB=AC=3，∠BAC=100°，D是BC的中点，在线段AD上任取一点P，连接PB，将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°，点B的对应点是点E，连接BE，得到△BPE，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．请你探究，当点E在直线AD上时，如图②所示，连接CE，判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由．[拓展应用](3)在(2)的应用下，请在图③中画出△BPE，使得点E在直线AD的右侧，连接CE，试求出点P在线段AD上运动时，AE的最小值．19.已知：如图，等边△AOB的边长为4，点C为OA中点．(1)如图1，将OC绕点O顺时针旋转，使点C落到OB边的点D处，设旋转角为α(0<α≤360°).则此时α=______；此时△COD是______三角形(填特殊三角形的名称)．(2)如图2，固定等边△AOB不动，将(1)中得到的△OCD绕点O逆时针旋转，连接AC，BD，设旋转角为β(0°<β≤360°)．①求证：AC=BD；②当旋转角β为何值时，OC//AB，并说明理由；③当A、C、D三点共线时，直接写出线段BD的长．答案和解析1.【答案】A【解析】[分析]根据轴对称图形的定义进行设计即可．此题主要考查了轴对称图形的设计，正确把握轴对称图形的定义是解题关键．[详解]解：有3个使之成为轴对称图形分别为：②，③，④．故选A．2.【答案】C【解析】解：A、B、D通过旋转或平移，和乙图各点对应，均正确；C、经过平移或旋转变换不可能将甲图案变成乙，故错误．故选：C．根据平移和旋转的性质进行选择，平移不改变图形的大小和形状，旋转改变图形的方向，可以作出选择．本题考查了平移和旋转的性质，属于基础题，关键是掌握几何变换不改变图形的大小．3.【答案】D【解析】解：根据平移的性质可知：A、B、C选项的图案都是由平移设计的，D选项的图案是由旋转设计的．故选：D．根据确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案．通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩．本题考查了利用平移设计图案，解决本题的关键是掌握平移的性质：平移按一定的方向移动一定的距离．4.【答案】D【解析】解：如图所示：当1，2两个分别涂成灰色，新构成灰色部分的图形是轴对称图形，故新构成灰色部分的图形是轴对称图形的概率是：26=13．故选：D．直接利用轴对称图形的性质分析得出答案．此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．5.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形，利用中心对称旋转180度后重合得出是解题关键．首先根据轴对称的性质得出翻折后图形，再利用中心对称图形的概念得出即可．【解答】解：以图的右边缘所在的直线为轴将该图形向右翻转180°后，黑圆在右上角，再按顺时针方向旋转180°，黑圆在左下角．故选A．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查了利用轴对称设计图案的知识，关键是掌握好轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称的概念作答，如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．【解答】解：选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，选择的位置有以下几种：1处，2处，3处，4处，5处，选择的位置共有5处．故选B．7.【答案】B【解析】解：如图所示：在拼出的所有不同位置的轴对称图形中，全等的图形共有1对，故选：B．将其中一个小正方形纸片平移，使它与原图中剩下的小正方形纸片有一条或两条边重合后拼成一个轴对称图形，进而得出结论．本题主要考查了利用平移设计图案，确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案．通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩．8.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了利用轴对称设计图案以及平移的性质，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键，直接利用平移的性质结合轴对称图形的性质得出答案．【解答】解：如图所示，正方形ABCD可以向上，向下，向右以及沿射线AC或BD方向平移，平移后的两个正方形组成轴对称图形．故选C．9.【答案】B【解析】解：根据旋转的含义可知：选项中给出的4个图都可以通过旋转得到，其中第3个也可以利用平移得到；故选：B．根据利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素(①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度)设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案，进而判断得出即可．本题是考查运用旋转设计图案，根据旋转图形的特点得出是解题关键．10.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了利用旋转设计图案，正确掌握中心对称图形的性质是解题关键．直接利用中心对称图形的定义结合图形的旋转变换得出答案．【解答】解：如图所示：只有选项D可以与已知图形组成中心对称图形．故选：D．11.【答案】a+8b【解析】解：由图可得，拼出来的图形的总长度=9a−8(a−b)=a+8b．故答案为：a+8b．用9个这样的图形的总长减去拼接时的重叠部分，即可得到拼出来的图形的总长度．本题主要考查了利用轴对称设计图案，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．12.【答案】4n+2【解析】解：∵第一个图案中，有白色的是6个，后边是依次多4个．∴第n个图案中，是6+4(n−1)=4n+2．故答案为：4n+2．观察图形可知，第一个黑色地面砖由六个白色地面砖包围，再每增加一个黑色地面砖就要增加四个白色地面砖．本题考查利用平移设计图形，主要培养学生的观察能力和空间想象能力，解题的关键是发现规律：在第一个图案的基础上，多一个图案，多4块白色地砖．13.【答案】36【解析】解：根据图形可得：这是一个由字母“Y”绕着中心连续旋转9次，每次旋转36度角形成的图案．故答案为：36．如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度(小于360°)后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．利用基本图形和旋转次数，即可得到旋转的角度．本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．14.【答案】7；45【解析】【分析】本题主要考查利用旋转设计图案，关键是掌握把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．利用旋转中的三个要素(①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度)设计图案，进而判断出基本图形和旋转次数与角度．【解答】解：如图所示的美丽图案，可以看作是由一个三角形绕旋转中心旋转7次，每次旋转45度形成的，故答案为：7；45．15.【答案】72【解析】【分析】本题把旋转的性质和一个周角是360°结合求解．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．注意结合图形解题的思想．根据旋转的性质和周角是360°求解即可．【解答】解：观察图形可知，中心角是由五个相同的角组成，∴旋转角度是360°÷5=72°，∴这四次旋转中，旋转角度最小是72°．故答案为72．16.【答案】解：(1)如图1所示：6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形；(2)如图2所示：6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．【解析】(1)直接利用轴对称图形的性质分析得出答案；(2)直接利用中心对称图形的性质分析得出答案．此题主要考查了中心对称图形以及轴对称图形，正确把握相关定义是解题关键．17.【答案】(1)证明：如图1中，∵∠AOB=∠MON=90°，∴∠AOM=∠BON，∵AO=BO，OM=ON，∴△AOM≌△BON(SAS)．(2)①证明：如图2中，连接AM ．同法可证△AOM≌△BON ，∴AM =BN ，∠OAM =∠B =45°，∵∠OAB =∠B =45°，∴∠MAN =∠OAM +∠OAB =90°，∴MN 2=AN 2+AM 2，∵△MON 是等腰直角三角形，∴MN 2=2ON 2，∴NB 2+AN 2=2ON 2．②如图3−1中，设OA 交BN 于J ，过点O 作OH ⊥MN 于H ．∵△AOM≌△BON ，∴AM =BN ，∴∠ANJ =∠JOB =90°，∵OM =ON =3，∠OMN =90°，OH ⊥MN ， ∴MN =3√2，MH =HN═OH =3√22， ∴AH =√OA 2−OH 2=(3√22)=√462， ∴BN =AM =MH +AH =√46+3√22．如图3−2中，同法可证AM=BN=√46−3√22．【解析】(1)根据SAS证明三角形全等即可．(2)②连接AM，证明AM=BN，∠MAN=90°，利用勾股定理解决问题即可．②分两种情形分别画出图形求解即可．本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．18.【答案】相似【解析】解：(1)如图①中，∵△ABC与△ACE为等腰三角形，且两顶角∠ABC=∠ADE，∴BA=BC，DA=DE，∴∠BAC=∠DAE，∴△BAC∽△DAE，∴BADA =ACAE，∴ABAC =ADAE，∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD∽△CAE．故答案为：相似．(2)如图2中，结论：AB//EC．理由：∵∠BPE=80°，PB=PE，∴∠PEB=∠PBE=50°，∵AB=AC，BD=DC，∴AD⊥BC，∴∠BDE=90°，∴∠EBD=90°−50°=40°，∵AE垂直平分线段BC，∴EB=EC，∴∠ECB=∠EBC=40°，∵AB=AC，∠BAC=100°，∴∠ABC=∠ACB=40°，∴∠ABC=∠ECB，∴AB//EC．故答案为50，AB//EC．(2)如图3中，以P为圆心，PB为半径作⊙P．∵AD垂直平分线段BC，∴PB=PC，∠BPE=40°，∴∠BCE=12∵∠ABC=40°，∴AB//EC．如图4中，作AH⊥CE于H，∵点E在射线CE上运动，点P在线段AD上运动，∴当点P运动到与点A重合时，AE的值最小，此时AE的最小值=AB=3．(1)结论：相似．先判断出△BAC∽△DAE，即可得出结论．(2)利用等腰三角形的性质证明∠ABC=40°，∠ECB=40°，推出∠ABC=∠ECB即可．(3)如图3中，以P为圆心，PB为半径作⊙P.利用圆周角定理证明∠BCE=∠BPE=40°，推出AB//CE，因为点E在射线CE上运动，点P在线段AD上运动，所以当点P运动到与点A重合时，AE的值最小，此时AE的最小值=AB=3．本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，平行线的判定，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．19.【答案】60°等边【解析】解：(1)如图1，∵△AOB是等边三角形，∴AO=BO=AB，∠AOB=60°，∵将OC绕点O顺时针旋转，使点C落到OB边的点D处，∴OC=OD，∠COD=∠AOB=60°=α，∴△COD是等边三角形，故答案为：60°，等边；(2)①∵△COD是等边三角形，∴OC=OD，∠COD=∠AOB=60°，∴∠AOC=∠BOD，又∵AO=BO，∴△AOC≌△BOD(SAS)，∴AC=BD；②如图2，当点C在点O的上方时，若OC//AB，∴∠AOC=∠OAB=60°=β，如图2−1，当点C在点O的下方时，若OC//AB，∴∠ABO=∠BOC=60°，∴β=360°−60°=300°，综上所述：β=60°或300°；③如图3，当点D在线段AC上时，过点O作OE⊥AC于E，∵等边△AOB的边长为4，点C为OA中点，∴AO=AB=OB=4，OC=OD=CD=2，∵∠AOB=∠COD=60°，∴∠AOC=∠BOD，∴△AOC≌△BOD(SAS)，∴AC=BD，∵OE⊥CD，OC=OD，∴CE=DE=1，∴OE=√OC2−CE2=√4−1=√3，∴AE=√AO2−OE2=√16−3=√13，∴AC=AE+CE=1+√13=BD；如图4，当点C在线段AD上时，过点O作OF⊥AD于F，同理可求DF=CF=1，AF=√13，∴AC=BD=√13−1，综上所述：BD=√13+1或√13−1．(1)由旋转的性质可得OC=OD，∠COD=∠AOB=60°=α，可证△COD是等边三角形；(2)①由“SAS”可证△AOC≌△BOD，可得AC=BD；②分两种情况讨论，由平行线的性质和旋转的性质可求解；③分两种情况讨论，由勾股定理可求解．本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．。