第二章 分式与分式方程
一. 分式概念：一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 可以表示成B A 的形式。
如果B 中含有字母，那么称B
A 为分式，其中A 成为分式的分子，
B 称为分式的分母。
且B ≠0。
二.分式有无意义的条件：1. 有意义：分母B ≠0，与分子无关； 2. 无意义：分母B=0，与分子无关；
三. 分式的值为零的条件： 1. 分子等于零；2. 分母B ≠0，两者缺一不可。
四. 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
即
M B M A B A ⋅⋅= )0(≠÷÷=M M B M A B A 五. 分式的变形：
（一）约分:根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母中的公因式约去，这种变形称为分式的约分。
约分的结果必须是整式或最简分式。
（二）最简分式(分子和分母没有公因式的分式称为最简分式)。
（三）通分:根据分式的基本性质，异分母分式可以化为同分母的分式，这种变形称为分式的通分。
注：约分和通分是一种互逆的分式变形，在进行变形之前，要先将分式的分子和分母进行因式分解.
知识链接：整数指数幂运算性质
（1）a m a n =a
m+n （m ，n 是正整数)； （2）(a m )n =a mn （m ，n 是正整数）； （3）(ab)
n =a n b n （n 是正整数）； （4）a m ÷a n =a m-n （a ≠0，m ，n 是正整数，ｍ＞ｎ）； （5）n b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n b
a （n 是正整数）； （6）n a -=n a 1（a ≠0，n 是正整数）；特别地，当a ≠0时，a 0=1．
十. 分式的混合运算：式中有乘方、除法运算，应先算乘方，再算除法，最后算加减.
十一. 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
十二. 分式方程（组）的解法。
1、解分式方程（组）的指导思想
2. 分式方程的增根与无解
增根不是分式方程的根，是能使最简公分母为零，且满足分式方程去分母后转化成整式方程的根。
所以解分式方程时要验根，把整式方程的根代入最简公分母，若使最简公分母为零，则是原方程的增根，必须舍去；若不能使最简公分母为零，则是原方程的根。
分式方程无解，包括两种情况：一是解分式方程产生增根时无解；二是将分式方程转化为整式方程，此整式方程无解，此时分式方程也无解。
十三. 分式方程的应用——列分式方程（组）解应用题（培养理论联系实际和分析问题，解决问题的能力）
基本步骤：（1）审—审清题意，弄清已知量和未知量；（2）找—找出等量关系；
（3）设—设未知数；（4）列—列出分式方程；（5）解—解这个方程；
（6）验—检验，既要检验所求的解是不是所列分式方程的解，又要检验所求得的解是否符
合实际问题的要求；（7）答—写出答案。
分类介绍一些应用题
（1）追及问题：在解“追及问题”时，常需依时间列方程来解决问题。
某校师生到距学校20千米的公路旁植树，甲班师生骑自行车先走，45分钟后，乙班的师生乘汽车出发，结果两班学生同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍，求两种车的速度各是多少？
（2）相向而行问题：解“相向而行问题”时，也需要依时间列方程解之。
甲、乙两人分别从相距20千米的A、B两地以相同的速度同时相向而行，相遇后，二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来多走1千米，结果到达B地后乙还需30分钟才能到达A地，求乙每小时走多少千米。
（3）合作工程问题：常常把全部工作看成1，也常需依时间列方程来解应用题。
工作量=工作效率×工作时间 ①甲、乙两个小组合修一台机器，2小时完成。
已知甲小组单独修需要3小时，求乙组单独修需几小时？ ②要定期完成一件工程，甲单独做正好按期完成，乙单独做要超期3天才能完成，现甲乙合作2天，余下的由乙单独做，刚好按期完成，求甲乙单独做全部工程所需天数。
注：本题的关键在于寻找工作量。
甲的工作量为：甲的工作效率×甲的工作时间，即2×x 1；乙的工作量为：乙的工作效率×乙的工作时间即：2×31+x +3
2+-x x 或者可分析为乙从头至尾都在工作，则它的工作时间即为甲单做工作时间x ，乙的工作量也为3+x x ，则可直接列方程为x 2+3
+x x =1 ③打印一份稿件，甲打30分钟后由乙继续再打25分钟就完成。
第二次再打这份稿件，乙打30分钟后由甲继续再打24分钟就完成。
问甲、乙二人单独打这份稿件各需多少分钟。
（4）流速问题： 流速问题是特殊的行程问题，较一般行程问题特殊在速度的合成上。
船航行于相距32千米的两个码头之间，逆水比顺水多用12小时，若水流速度比船在静水中的速度少2千米/时，求水流速度及船在静水中速度。
（5）整数问题： ①一个两位数的十位数字是6，若将十位数字与个位数字对调，那么所得的两位数与原来两位数的比是4：7，求原来的两位数。
②一个分数的分子和分母各加上1，得
31，各减去1得41，求这个分数。