是曲线的起始位置有所变动，如（b）所示。
图114(a) 1, 1时不同m值的f (t)
图114(b)m 2, 1时不同 (位置)的f (t)
图1-14（a）可见，因为位置参数δ（=1）相同，所以曲线起 始位置相同。
图114(b)形状参数m 2,尺度
22
参数 1时不同位置参数 的
概率密度函数f (t)曲线。
习 题 一 答 案-----------------------------------（35）
2
第三节 常用失效分布
产品的失效分布是指其失效概率密度函数或累积失效 概率函数，它与可靠性特征量有关密切的关系。
研究产品失效分布函数的目的，是为了根据产品失效分 布求出产品可靠度、失效率和寿命特征量。
即使不知道产品具体的分布函数，如果已知失效分布的 类型，也可以通过对分布的参数估计值求得某些可靠性特征 量的估计值。
图114(a) 1, 1时不 同m(形状)的f (t)
图114(b)m 2, 1时不 同 (位置)的f (t)
图114(c)m 2, 0时 不同(尺度)的f (t)
图1-14（a）所示为尺度参数η=1（曲线分布宽度）和 14 位置参数δ=1时，形状参数m不同时的曲线分布图。由图可 见形状参数数值越大，曲线越陡峭，f(t)值越大。
指数分布有一个重要特性，即产品工作了t0 时间后，它11 再工作 t 小时的可靠度与已工作过的时间 t0 无关（无记忆 性），而只与时间 t 的长短有关。
根据条件概率
R(t0
t)
P(T
t0
t
T
t0 )
P(T
t0 t,T P(T t0 )
t0 )
P(T t0 t) P(T t0 )
R(t0 t) R(t0 )
26
F(t)
1
e dt t
-
(t - )2 2 2
2 -
(1- 29)
正态分布的累积失效概率函
数 F（t）的图形如图1-19所示
若令z t - 代入式（1- 29）,则可得到标
准化正态分布的累积失效概率函数为
F (t) (z) 1
z -1z2
e 2 dz (1 - 30)
2 -
正态分布的累积失效概率函数 F（t）
f(t)曲线由δ=0时的位置向右平移|δ|的距离。此时，可将
δ称为最小保证寿命。
（3）尺度参数η
23
通常将η称为真尺 度参数，当形状参数
m 值及位置参数δ 值
固定不变。
尺度参数η值不同
时威尔布分布的失效概
率密度f(t)曲线的高度
及宽度均不相同,见图
1-14（c）所示。
图114(c)m 2, 0时不同(尺度)的f (t)
1. 指数分布的失效概率密度函数 f（t）
4
f (t) e-t (t 0)
(1 -17)
式中 λ—指数分布的失效率，为一常数。
指数分布的失效概 率密度函数f（t）的图形 如图1—10所示。
2.指数分布的累积失效概率函数 F（t）
t
F(t) f (t)dt t etdt 1 et (t 0) 0
由图1-14（c）可见，m = 2、δ= 0 时不同尺度参数η
值的失效概率密度曲线。当η值增大时，f(t)的高度变小而
宽度变大。故把η 称为尺度参数。
返回1
三、正态分布
24
正态分布在数理统计学中是一个最基本的分布，在可靠
性技术中也经常用到它，如材料强度、磨损寿命、疲劳失效、
同一批晶体管放大倍数的波动或寿命波动等等都可看作或近
第一章 可 靠 性 概 论(2)
1
第三节 常用失效分布------------------------------（2） 一、指数分布-------------------------（3） 二、威布尔分布----------------------（12） 三、正态分布-------------------------（24） 四、对数正态分布-------------------（30）
图114(c)m 2, 0时不同(尺度)的f (t)
2. 威布尔分布的累积失效概率函数 F（t）
17
-( t-δ )m
F(t) 1 e ( t;m, 0) (1- 25)
图1—15所 示为尺度参数
η=1，位置参数
δ=1时，形状参 数m不同的累积 失效概率函数F （t）的图形。
3.威布尔分布的可靠度函数 R（t）
从图1-14（b）可以看出：
① 当δ<0 时，产品开始 工作时就已失效了，即这些元
件在贮存期已经失效。曲线由
δ= 0 时的位置向左平移 |δ| 的
距离。
图114(b)m 2, 1时不同 (位置)的f (t)
② 当δ= 0时，f(t)曲线为二参数威布尔分布。
③当δ>0时，表示这些元件在起始时间δ内不会失效，
(1- 22)
7. 指数分布的中位寿命 T0.5
10
将 r = 0.5 代入式（1—22）可得：
T0.5
-
1
ln
0.5
1
ln
2
0.693 1
0.693
即
T0.5
0.693 1
0.693
（1- 23）
8. 指数分布的特征寿命 Te-1
r
e1
代入式（1- 22）Tr
-
1
ln
r得
Te-1
-
1
ln
e-1
1
因此，在可靠性理论中，研究产品的失效分布 类型是一个十分重要的问题。
一、指数分布
3
在可靠性理论中，指数分布是最基本、最常用的分布，适
合于失效率λ(t)为常数的情况。
指数分布不但在电子元器件偶然失效期普遍使用，而且 在复杂系统和整机方面以及机械技术的可靠性领域也得到广 泛地使用。
指数分布一般记为
T ~ E()
似看作正态分布。
在电子元器件可靠性的计算中，正态分布主要应用于元
件耗损和工作时间延长而引起的失效分布，用来预测或估计 可靠度有足够的精确性。
由概率论可知，只要某个随机变量是由大量相互独立、 微小的随机因素的总和所构成，而且每一个随机因素对总和
的影响都很均匀、都很微小，那么，就可认定这个随机变量
近似地服从正态分布。
值可查附表1求得（见下页）。
图1-19正态分布的累积 失效概率函数
27 摘自附表1正态分布表
3.正态分布的可靠度函数 R（t）
28
R(t)
1
e dt
-

(t- 2
)
2
2
2 t
(1- 31)
正态分布的可靠度 函数R（t）图形如 图1-20所示。
图1-20正态分布的可靠度函数R（t）
4. 正态分布的失效率函数λ(t ）
累积失效概率函 数F（t）的图形如 图1—11所示。
可证，当累积失效概
率函数F（t）=0.632时，
t = θ(平均寿命)。
5
(1-18)
3.指数分布的可靠度函数R（t）
R(t) 1 F (t) e-λt (t 0)
可靠度函数R（t） 的图形如图1-12所示。
可证，当可靠度函数 R（t）=0.368时，
图1-22对数正态分布的失效概率密度函数
2. 对数正态分布的累积失效概率函数F (t )
32
t
F(t)
1
(lnt )2
e 2 2 dt
0 t 2
(1- 34)
对数正态分布的累积 失效概率函数F (t )的图形 如图1-23所示。
0
图1-23 对数正态分布的 累积失效概率函数
3. 对数正态分布的可靠度函数R（t）
t = θ(平均寿命)。
6
(1 -19)
4. 指数分布的失效率函数λ(t)
7
(t) 常数
（1- 20）
指数分布的失效率函数的图形如图1－13所示。
5. 指数分布的平均寿命θ（MTTF或MTBF）
8
对可修产品一般用MTBF 表示平均寿命θ，称“平均无
故障工作时间”
对可不修产品一般用MTTF 表示平均寿命θ，称“失效 前的平均工作时间”
18
-( t-δ )m
R(t) e ( t;m, 0)
(1- 26)
图1—16所示为
尺度参数η=1，位置
参数δ=1时，形状参 数m不同的可靠度函 数R(t)的图形。
4.威布尔分布的失效率函数 λ(t)
19
(t)
m
t
m1
(
t; m,
0)
(1- 27)
图1—17所示 为位置参数δ≠0时， 形状参数m不同失 效率函数 λ(t) 的图 形。
e-(t0 t) et0
e-t0 et
e-t0
e-t
R(t) P(T
t)
返回1
二、威布尔分布
12
威布尔分布在可靠性理论中是适用范围较广的一种 分布。
它能全面地描述浴盆失效率曲线的各个阶段。当威 布尔分布中的参数不同时，它可以蜕化为指数分布、瑞 利分布和正态分布。
大量实践说明，凡是因为某一局部失效或故障所引 起的全局机能停止运行的元件、器件、设备、系统等的 寿命服从威布尔分布；特别在研究金属材料的疲劳寿命， 如疲劳失效、轴承失效都服从威布尔分布。：
)2
tt
(1- 36)
对数正态分布的 失效率函数λ（t）的 图形如图1-25所示。
返回1
图1-25 对数正态分布的失效率函数
间单调下降；
正态分布
② 当m =1时，f(t)曲线为指数分布；
③ 当m>1时，f(t)曲线随时间增加