图示
b
7.1.3 向量的线性运算
向量的线性运算
向
向
向
量
量
量
的
的
的
加
减
数
法
法
乘
运
运
运
算
算
算
加法运算
三角形法则
图示
A
运
算
法 则
平等四边行法则
C B
ABBCAC
图示 D
A
C ABADAC
B
减法运算
三角形法则
C
图示
运
A
算
法 则 平等四边行法则
图示 D
A
ABACCB
B
C
ABADDB
B
数乘运算
一个向量 a 与一个实数 的乘积. 记作 a
表 达 方 式 图示 向量的模
代数法
用带有箭头的小写字母
a,b ,c, 表示
或用黑体字母,,, 表示.
几何法
用始点为A 终点为B 的有向线段 AB 表示
A
B 记作向量AB(或 a ， )
AB (或 a， ) (注：模长是标量)
两个基本向量
零向量
模长为零的向量.
(方向是任意的)
记作 0
单位向量 模长为1的向量. (方向未做规定) 记作 e
具有相同的长度单位,这三条轴分
别叫做x 轴(横轴)、 y 轴(纵轴)、 z 轴(竖轴),统称坐标轴.
通常把x 轴和y 轴配置在水平面上,而z 轴则是铅
垂线.它们的正向通常符合右手法则,即以右手握
住z 轴,当右手的四个手指从正向x 轴以90度转向 正向y 轴时,大拇指的指向就是z 轴的正方向.
这样的三条坐标轴就构成了一个空间直角坐标系
例题
已 知 AB 的 C顶点 A(1， 分 2， 3)， 别 B(3， 4 是 ， 5)，
C(2， 4， 7)， 求 AB 的 C面积.
解：
根据向量积的定义，可知ABC的面积为
SABC
1 2
AB
AC sin A
1 2
AB AC.
由于AB 2，2，2，AC 1，2，4，所以
i jk
AB AC 2 2 2 4i 6 j 2k
aziax bz bx
az jax bz bx
ayk by
坐标法
设 a a x ， a y ， a z， b b x ， b y ， b z，则：
a b a b y y a b z z ， a b x x a b z z ， a b x x a b y y
8e1
向量的坐标
在 同为空向向间的量直单a 角位的坐向分标量解系式i、 O；x a j y、 z 中ka ，.x ， 则取a 称与y ， Oa xa 轴za 、x 称i O 为ya 轴向y 、 j 量 O的a zz 轴坐k
标式.
向量线性运算规律
分解式
a b a x b x i a y b y j a z b z k
想一想 如 CD 果 5a 四 3Ab， B 边 那 C 中 形 A D 么 A， B B aC 是 2D b什 ， BC 么 4a样 b， 的四
已 1 a 知 b a 2 3 向 ， 1 ， 2 a 量 2 ， b b b 1 ， 2 ， 3 1 ,2 试 a b 求 2a b 下
定义 任数意量两,记个作向a量ba,,即ba 的b 数 量a 积(b 或c 内积 o )( a 是 ， 一s b 个).
数量积的运算方法
定义法
a b a b c o ( a ， s b )
坐标法
设 a a x ， a y ， a z， b b x ， b y ， b z，则 a b a xb x a yb y a zb z
引例 设O为一根杠L杆的支点，F力作用于这
杠杆上点 P, F与OP的夹角为 ,力F对支
点O的力矩是一向M量,它的模为
M OQF OPF sin
O Q
P
F L
向量积
定 义 给定两 a 和 b 个 ,a 和 b 的 向 向量 量 (或积 外 )仍积 是 向记 量a 作 ,b ,其大 a 小 b a 为 b si n(a ， b ),其 方向规 a 和 b 定 都为 垂 且 a ,与 b 直 ,a b , 构成右
a ( a x ) i ( a y ) j ( a z ) k ( 为常数)
坐标式
a b a x b x ， a y b y ， a z b z
a a x ， a y ， a z (为常数)
练习
1.已知两点M1 (0，1，2) 和M2 (1， -1，0),试用坐
第7章 向量代数与空间解析几何
知识目标
了解二次曲面的标准方程；
理解空间直角坐标系、向量的概念；
会判断平面与平面、直线与直线以及 直线与平面间的关系；
掌握向量的线性运算、向量平行和垂 直的条件、几种常见的曲面方程；
熟练掌握两点间的距离公式、平面与 直线的各种方程.
能力目标
通过几何问题代数化，培养学生的抽 象思维能力、逻辑推理能力和空间想 象能力.
注 数乘运算后的结果仍是一个向量.
若有 a a a 0成立,则称向量a0为原向量 a 同方向的
单位向量.
定理 向存量在不a 全与为向零量的b实平数行(和或共,线使)得的充a 要条b 件 是0 .：
例题
已求知：2 a a e 3 1 b 2 c e 2 . 3 e 3 ， b 2 e 1 3 e 2 e 3 ， c 1 e 2 3 e 3 ， 3
2 结 a 合 b a b 律
3 分 ( a b ) 配 c a c b c 律
向量的混合积
设 aax， ay， az， bbx， by， bz， ccx， cy， cz,
则它们的混合积为：
ax ay az
abcbx by bz cx cy cz
向量的三种关系
相等向量 记作
模长相等,方向相同的两个向量. ab
注 与始点、终点位置无关；
图示
向量可以在空间中任意平移. a
b
相反向量 记作 注
图示
模长相等,方向相反的向量.
a a a
a a
平行向量 方向相同或相反的非零向量.
记作
a//b
注 零向量与任何向量都平行.
平行向量又可称作共线向量. a
124
于是SABC
1 2
4i 6 j 2k
14
向量积的性质
（ 1 ） a a 0
（ 2 ） 两 a ， b ， 个 则 a / b /a 向 b 0 量
向量积的运算律
对于 a ， b ， 任 c 及 意 ， 实 向 则 数 量 满
1 反交 a b b 换 a 律
向量积模的几何意义 以a， b为邻边的平等 面四 积边 . 形的
右手系规则图示
a
b
ab
注 是 ： a 0 到 ， b 的 角
向量积的运算方法
分设 解a 式a 法x iay j azk ， b bxiby jbzk ， 则：
i abax
bx
j ay by
k a bzz a by y
3 分 ( a b ) 配 c a c b c 律
例题
设 a 2 ， b 3 ， (a ， b )， 求 (a b )(a b )
与 (a b )(a b ).
3
解：( a b ) ( a b ) a a b b a 2 b 2 5
因为 ababco s(a， b)23cos3
所以 (ab)(ab)aa2abbb3
a22abb222233219
向量夹角余弦公式
两个co非 s(a零 ， a， b向 )b夹量 a角 b 的余弦公式为： ab
axbx ayby azbz
ax2ay2az2 bx2by2bz2
7.2.2 向量的向量积
解：
2 a 3 b c
2 e 1 2 e 2 3 e 3 3 2 e 1 3 e 2 e 3 1 e 2 3 e 3 3
2 e 1 6 e 1 4 e 2 9 e 2 1 e 2 6 e 3 3 e 3 3 3 e 3
它们之间的距离为d = |M1M2|. 过点 M1 、M2 各作三个平面分别垂直 z 于三个坐标轴,形成如图的长方体. z2
d 2 M1M2 2
M1Q2QM 22
（△M1QM2 是直角三角形） M 1P2PQ 2Q2 M 2
z1 M1
P
（△M1PQ都是直角三角形）
x1
M 1 P 2P M 2 2Q2M 2 x2
x
O M1 P
( x 2 x 1 ) 2 ( y 2 y 1 ) 2 ( z 2 z 1 ) 2
M2
Q y1
y2 y
M2 (Q )
两点间距离公式：
d M 1 M 2 x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1 2
特别地，点 M ( x , y , z) 与原点O ( 0 , 0 , 0 ) 的距离：
德育目标
借助数形结合的思想，将研究问题的 不同方法进行联结，提高学生的综合 素质与人文素养.
7.1 空间向量及其线性运算
了解空间向量的概念,掌握空间向 量的基本定理及其意义,建立空间 直角坐标系，以向量为工具,利用 空间向量的坐标和相关运算解决 空间中的几何问题.
7.1.1 空间直角坐标系
过空间一个定点O,作三条相互垂直 的数轴,它们都以O 为原点且一般
Oxyz ,点O 叫做坐标原点(或原点).
八封限
每两个坐标轴确定的平面称为坐标
平面,简称为坐标面.x 轴与y 轴所 确定的坐标面称为xOy面,类似地, 有yOz面,zOx面.