定义 由函数)(u f y =和)(x g u =所构成的函数)]([x g f y =称为复合函数，其中)(u f y =通常称为外层函数，)(x g u =称为内层函数。

求上述复合函数)]([x g f y =的单调区间，我们一般可以按照下面这几个步骤来进行：
（1） 写出构成原复合函数的外层函数)(u f y =和内层函数)(x g u =；
（2） 求外层函数)(u f y =的单调区间（包括增区间和减区间）B A 、等；
（3） 令内层函数A x g u ∈=)(，求出x 的取值范围M ；
（4） 若集合M 是内层函数)(x g u =的一个单调区间，则M 便是原复合函数
)]([x g f y =的一个单调区间；
若M 不是内层函数)(x g u =的一个单调区间，则需把M 划分成内层函数)(x g u =的若干个单调子区间，这些单调子区间便分别是原复合函数)]([x g f y =的单调区间；
（5） 根据复合函数“同增异减”的复合原则，分别指出原复合函数)]([x g f y =在集合M 或这些单调子区间的增减性；
（6） 令内层函数B x g u ∈=)(，同理，重复上述（3）、（4）、（5）步骤。

若外层函数)(u f y =还有更多的单调区间C 、D ，则同步骤（6）类似，不断地重复上述步骤。

（7） 设单调函数)(x f y =为外层函数，)(x g y =为内层函数
（8） (1) 若)(x f y =增，)(x g y =增，则))((x g f y =增.
（9） (2) 若)(x f y =增，)(x g y =减，则))((x g f y =减.
（10） (3) 若)(x f y =减，)(x g y =减，则))((x g f y =增.
（11） (4) 若)(x f y =减，)(x g y =增，则))((x g f y =减.
（12） 结论：同曾异减
（13） 例1. 求函数222
)(-+=x x x f 的单调区间.
（14） 解题过程：
（15） 外层函数：t y 2=
（16） 内层函数：22-+=x x t （17） 内层函数的单调增区间：],2
1[+∞-∈x （18） 内层函数的单调减区间：]2
1,[--∞∈x （19） 由于外层函数为增函数 （20） 所以，复合函数的增区间为：],2
1[+∞-∈x （21） 复合函数的减区间为： ]2
1,[--∞∈x （22） 求函数)23(log 221x x y --=的单调区间.
（23） 解 原函数是由外层函数u y 2
1log =和内层函数223x x u --=复合而成的； （24） 易知),0(+∞是外层函数u y 2
1log =的单调减区间； （25） 令0232>--=x x u ，解得x 的取值范围为)1,3(-；
（26） 解题过程：
（27） 外层函数：t y 2log =
（28） 内层函数：22-+=x x t
（29） 022>-+=x x t
（30） 由图知：
（31） 内层函数的单调增区间：],1[+∞∈x
（32） 内层函数的单调减区间：]2,[--∞∈x
（33） 由于外层函数为增函数
（34） 所以，复合函数的增区间为：],1[+∞∈x
（35） 复合函数的减区间为：]2,[--∞∈x 结合二次函数的图象可知)1,3(-不的一个单调区间，但可以把区间)1,3(-划分成内层函数的两个单调子区间]1,3(--和
)1,1[-，其中]1,3(--是其单调增区间，)1,1[-是其单调减区间；
于是由复合函数“同增异减”的复合原则可知，]1,3(--是原函数的单调减区间，
)1,1[-是原函数的单调增区间。

例2.求函数)2(log )(22-+=x x x f 的单调区间.
解题过程：
外层函数：t y 2log =
内层函数：22-+=x x t
022>-+=x x t
由图知：
内层函数的单调增区间：],1[+∞∈x
内层函数的单调减区间：]2,[--∞∈x
由于外层函数为增函数
所以，复合函数的增区间为：],1[+∞∈x
复合函数的减区间为：]2,[--∞∈x。