必修1 第二章 基本初等函数（I）
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2.已知－1≤x≤2，求函数 f(x)＝3 ＋2·3x＋1－9x 的值域．
解析： f(x)＝3＋2·3x＋1－9x＝－(3x)2＋6·3x＋3. 令 3x＝t， 则 y＝－t2＋6t＋3＝－(t－3)2＋12. ∵－1≤x≤2，∴13≤t≤9. ∴当 t＝3，即 x＝1 时，y 取得最大值 12； 当 t＝9，即 x＝2 时，y 取得最小值－24， 即 f(x)的最大值为 12，最小值为－24. ∴函数 f(x)的值域为[－24,12]．
)
A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．(0,1)
解析： 定义域为 R.设 u＝1－x，y＝12u， ∵u＝1－x 在 R 上为减函数，
又∵y＝12u 在(－∞，＋∞)上为减函数，
∴y＝121－x 在(－∞，＋∞)上是增函数，故选
A.
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[解题过程] (1)∵x－1≠0，∴x≠1， ∴函数 y＝3x－1 1的定义域为{x|x≠1}， 又∵x－1 1≠0，∴y≠30＝1. ∴函数的值域为{y|y>0 且 y≠1}， (2)函数的定义域为 R ∵x2－4x＝(x－2)2－4≥－4， y＝12x 在 R 上是减函数 ∴0<12x2－4x≤12－4＝16. ∴函数的值域为(0,16]．
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4.已知函数 f(x)＝2x＋1 1，则 y＝f(x) 在(－∞，＋∞)上是( ) A．单调递减函数且无最小值 B．单调递减函数且有最小值 C．单调递增函数且无最大值 D．单调递增函数且有最大值
必修1 第二章 基本初等函数（I）
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解析： 函数定义域为 R， 设 y＝u＋1 1，u＝2x，易知 u＝2x 是增函数， 而 y＝u＋1 1在(－1，＋∞)上是减函数． ∴y＝2x＋1 1在 R 上是减函数，无最小值，故选 A.
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(2)函数的定义域为{x|x≠0}． 设 y＝u－1 1，u＝0.2x.易知 u＝0.2x 为减函数．
而根据 y＝u－1 1的图象可以得到， 在区间(－∞，1)与(1，＋∞)上，y 关于 u 均为 减函数． ∴在(－∞，0)上，原函数为增函数；在(0，＋ ∞)上，原函数也为增函数．
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3.函数 y＝13|x|的图象有什么特征？ 你能根据图象指出其值域和单调区间吗？
解析： 因为|x|＝
x
x≥0
－x
x<0 .
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故当 x>0 时，函数为 y＝13x； 当 x<0 时，函数为 y＝13－x＝3x， 其图象由 y＝13x(x≥0)和 y＝3x(x<0)的图象合并 而成．
答案： A
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与指数函数有关的综合问题 已知 f(x)＝1100xx－＋1100－－xx， (1)判断函数 f(x)的奇偶性； (2)证明 f(x)是定义域内的增函数； (3)求 f(x)的值域．
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[策略点睛] (1)直接利用奇偶性定义进行判断． (2)欲直接利用单调性定义进行证明，则变形时 较为复杂，故可先将 f(x)化简，然后用定义判断．
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[题后感悟] 对于y＝af(x)这类函数， (1)定义域是指只要使f(x)有意义的x的取值范围 (2)值域问题，应分以下两步求解： ①由定义域求出u＝f(x)的值域； ②利用指数函数y＝au的单调性求得此函数的值 域．
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1．函数 f(x)＝ 1－2x的定义域是( )
A．(－∞，0]
B．[0，＋∞)
C．(－∞，0)
D．(－∞，＋∞)
解析： 要使函数有意义，
则1－2x≥0，即2x≤1， ∴x≤0.故选A. 答案： A
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2．函数 y＝121－x 的单调递增区间为(
解析： (1)由2x－1≠0，得x≠0， ∴函数定义域为{x|x≠0，x∈R}； (2)在定义域内任取x，则－x在定义域内
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f(－x)＝(2－x1－1＋12)(－x) ＝－(1－2x2x＋12)x＝－211＋－22xx·x ＝222xx＋－11·x， 而 f(x)＝(2x－1 1＋12)x＝222xx＋－11·x， ∴f(－x)＝f(x)． ∴函数 f(x)为偶函数．
利用复合函数的单调规律求之.
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[解题过程] (1)设y＝au，u＝x2＋2x－3. 由u＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4知，u在(－∞，－ 1]上为减函数，在[－1，＋∞)上为增函数． 根据y＝au的单调性，当a>1时，y关于u为增函 数；
当0<a<1时，y关于u为减函数． ∴当a>1时，原函数的增区间为[－1，＋∞)， 减区间为(－∞，－1]； 当0<a<1时，原函数的增区间为(－∞，－1]， 减区间为[－1，＋∞)．
答案： A
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3．设23－2x>0.53x－4，则x的取值范围是 ________． 解析： 23－2x>0.53x－4 ⇒23－2x>24－3x ⇒3－2x>4－3x
⇒x>1. 答案： {x|x>1}
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4．函数 f(x)＝ax(a>0，且 a≠1)在区间[1,2]上的 最大值比最小值大a2，求 a 的值． 解析： 当 a>1 时，f(x)＝ax 为增函数，在 x∈ [1,2]上， f(x)最大＝f(2)＝a2，f(x)最小＝f(1)＝a， ∴a2－a＝a2，即 a(2a－3)＝0， ∴a＝0(舍)或 a＝32>1，∴a＝32.
必修1 第二章 基本初等函数（I）
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3．若a>b>1，当x>0时，函数y＝ax图象在y＝ bx图象的上方；当x<0时，函数y＝ax图象在y ＝bx图象的下方； 若1>a>b>0，当x>0时，函数y＝ax图象在y＝bx 图象的上方；当x<0时，函数y＝ax图象在y＝ bx图象的下方． 函数y＝ax(a>0，且a≠1)和y＝a－x(a>0，且a≠1) 的图象关于_y_轴__对称．
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复合函数y＝af(x)单调性的确定： 当a>1时，单调区间与f(x)的单调区间_相__同__； 当0<a<1时，f(x)的单调增区间是y的单调_减__区__ _间__．f(x)的单调减区间是y的单调_增__区__间__．
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(3)将 f(x)化简可变为 f(x)＝1－1022x＋1，故把 102x 看成一个整体，进行换元再求值域．
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必修1 第二章 基本初等函数（I）
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5.已知 f(x)＝(2x－1 1＋12)x. (1)求函数的定义域； (2)判断 f(x)的奇偶性； (3)求证：f(x)>0.
第2课时 指数函数及其性质的应用
必修1 第二章 基本初等函数（I）
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1.理解指数函数的单调性 与底数a的关系，能运用 指数函数的单调性解决一 些问题.
1.指数函数单调性在 比较大小，解不等式 及求最值中的应 用．(点)
必修1 第二章 基本初等函数（I）
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1．函数y＝ax(a>0，且a≠1)的定义域是R，值域 是_(0_，__＋__∞__)． 若a>1，则当x＝0时，y_＝_1；当x>0时，y>1；当 x<0时，y_<_1. 若0<a<1，则当x＝0时，y_＝_1；当x>0时，y<1， 当x<0时，y_>_1. 2．a>1时，函数y＝ax在R上是_增__函__数__． 0<a<1时，函数y＝ax在R上是_减__函__数__．
而 y＝13x(x>0)和 y＝3x(x<0)的图象关于 y 轴对 称， 所以原函数图象关于 y 轴对称． 由图象可知值域是(0,1]，递增区间是(－∞，0]， 递减区间是[0，＋∞)．
必修1 第二章 基本初等函数（I）
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与指数函数有关的单调性问题 求下列函数的单调区间： (1)y＝ax2＋2x－3； (2)y＝0.2x1－1.
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与指数函数有关的定义域、值域问题 求下列函数的定义域与值域： (1)y＝3x－1 1；(2)y＝12x2－4x.
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由题目可获取以下主要信息：①所给函数与指 数函数有关；②定义域是使函数式有意义的自 变量的取值集合，③值域是函数值的集合，依 据定义域和函数的单调性求解.
必修1 第二章 基本初等函数（I）
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与指数函数有关的图象问题 利用函数 f(x)＝12x 的图象，作出下列各 函数的图象： (1)f(x－1)；(2)－f(x)；(3)f(－x)．
作出 f(x)＝12x 的图象―→明确 f(x)与 f(x－ 1)，－f(x)，f(－x)图象间的关系利 变―用 换――图 规→象 律分 别得出图象．
必修1 第二章 基本初等函数（I）
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[解题过程] 函数定义域为R. 令2x＝t(t>0)，则y＝4x＋2x＋1＋1＝t2＋2t＋1＝ (t＋1)2. ∵t>0，∴t＋1>1，∴(t＋1)2>1，∴y>1， ∴值域为{y|y>1，y∈R}．