数学八年级上册 全等三角形单元培优测试卷一、八年级数学轴对称三角形填空题(难)1.如图,已知正六边形 ABCDEF 的边长是 5,点 P 是 AD 上的一动点,则 PE+PF 的最小值是_____.【答案】10【解析】利用正多边形的性质,可得点B 关于AD 对称的点为点E ,连接BE 交AD 于P 点,那么有PB=PF ,PE+PF=BE 最小,根据正六边形的性质可知三角形APB 是等边三角形,因此可知BE 的长为10,即PE+PF 的最小值为10.故答案为10.2.如图,ABC 中,ABC=45∠︒,CD AB ⊥于D ,BE 平分ABC ∠,且BE AC ⊥于E ,与CD 相交于点F ,H 是BC 边的中点,连接DH 与BE 相交于点G ,下列结论:BF=AC ①;A=67.5∠︒②;DG=DF ③;ADGE GHCE S S =四边形四边形④,其中正确的有__________(填序号).【答案】①②③【解析】【分析】只要证明△BDF≌△CDA,△BAC是等腰三角形,∠DGF=∠DFG=67.5°,即可判断①②③正确,作GM⊥BD于M,只要证明GH<DG即可判断④错误.【详解】解:∵CD⊥AB,BE⊥AC,∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°,∴∠A+∠ABE=90°,∠ABE+∠DFB=90°,∴∠A=∠DFB,∵∠ABC=45°,∠BDC=90°,∴∠DCB=90°−45°=45°=∠DBC,∴BD=DC,在△BDF和△CDA中,∠BDF=∠CDA,∠A=∠DFB,BD=CD,∴△BDF≌△CDA(AAS),∴BF=AC,故①正确.∵∠ABE=∠EBC=22.5°,BE⊥AC,∴∠A=∠BCA=67.5°,故②正确,∵BE平分∠ABC,∠ABC=45°,∴∠ABE=∠CBE=22.5°,∵∠BDF=∠BHG=90°,∴∠BGH=∠BFD=67.5°,∴∠DGF=∠DFG=67.5°,∴DG=DF,故③正确.作GM⊥AB于M.如图所示:∵∠GBM=∠GBH,GH⊥BC,∴GH=GM<DG,∴S△DGB>S△GHB,∵S△ABE=S△BCE,∴S四边形ADGE<S四边形GHCE.故④错误,故答案为:①②③.【点睛】此题是三角形综合题,考查了等腰三角形的性质,直角三角形的性质,全等三角形的性质和判定,三角形的面积等知识点的综合运用,第五个问题难度比较大,添加辅助线是解题关键,属于中考选择题中的压轴题.3.如图,点P是∠AOB内任意一点,OP=5,M,N分别是射线OA和OB上的动点,若△PMN周长的最小值为5,则∠AOB的度数为_____.【答案】30°.【解析】【分析】如图:分别作点P关于OB、AO的对称点P'、P'',分别连OP'、O P''、P' P''交OB、OA于M、N,则可证明此时△PMN周长的最小,由轴对称性,可证明△P'O P''为等边三角形,∠AOB=12∠P'O P''=30°.【详解】解:如图:分别作点P关于OB、AO的对称点P'、P'',分别连OP'、O 、P' 交OB、OA于M、N,由轴对称△PMN周长等于PN+NM+MP=P'N+NM+MP"=P'P"∴由两点之间线段最短可知,此时△PMN周长的最小∴P'P"=5由对称OP=OP'=OP"=5∴△P'OP"为等边三角形∴∠P'OP"=60∵∠P'OB=∠POB,∠P"OA=∠POA∴∠AOB=12∠P'O P''=30°.故答案为30°.【点睛】本题是动点问题的几何探究题,考查最短路径问题,应用了轴对称图形性质和等边三角形性质.4.如图,1AB A B =,1112A B A A =,2223A B A A =,3334A B A A =,…,当2n ≥,70A ∠=︒时,11n n n A A B --∠=__________.【答案】1702n -︒ 【解析】【分析】先根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出121B A A ∠,232B A A ∠及343B A A ∠的度数,再找出规律即可得出11n n n A A B --∠的度数.【详解】解:∵在1ABA ∆中,70A ∠=︒,1AB A B =∴170BA A A ∠==︒∠∵1112A A A B =,1BA A ∠是121A A B ∆的外角∴12111211703522B A A A B A BA A ︒∠=∠===︒∠ 同理可得,2321217017.542B A A BA A ︒∠===︒∠,343131708.7582B A A BA A ︒∠===︒∠ ∴111702n n n n A A B ---︒∠=. 故答案为:1702n -︒ 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质,根据特殊情况找出规律是解题关键.5.如图,在直角坐标系中,点()8,8B -,点()2,0C -,若动点P 从坐标原点出发,沿y 轴正方向匀速运动,运动速度为1/cm s ,设点P 运动时间为t 秒,当BCP ∆是以BC 为腰的等腰三角形时,直接写出t 的所有值__________________.【答案】2秒或46秒或14秒【解析】【分析】分两种情况:PC 为腰或BP 为腰.分别作出符合条件的图形,计算出OP 的长度,即可求出t 的值.【详解】解:如图所示,过点B 作BD ⊥x 轴于点D ,作BE ⊥y 轴于点E ,分别以点B 和点C 为圆心,以BC 长为半径画弧交y 轴正半轴于点F ,点H 和点G∵点B (-8,8),点C (-2,0),∴DC=6cm ,BD=8cm ,由勾股定理得:BC=10cm∴在直角三角形COG 中,OC=2cm ,CG=BC=10cm ,∴2210246(cm)-=,当点P 运动到点F 或点H 时,BE=8cm ,BH=BF=10cm ,∴EF=EH=6cm∴OP=OF=8-6=2(cm )或OP=OH=8+6=14(cm ),故答案为:2秒,6秒或14秒.【点睛】本题综合考查了勾股定理和等腰三角形在平面直角坐标系中的应用,通过作图找出要求的点的位置,利用勾股定理来求解是本题的关键.6.如图,在ABC ∆和DBC ∆中,40A ∠=,2AB AC ==,140BDC ∠=,BD CD =,以点D 为顶点作70MDN ∠=,两边分别交,AB AC 于点,M N ,连接MN ,则AMN ∆的周长为_______.【答案】4【解析】【分析】延长AB至F,使BF=CN,连接DF,通过证明△BDF≌△CDN,及△DMN≌△DMF,从而得出MN=MF,△AMN的周长等于AB+AC的长.【详解】延长AB至F,使BF=CN,连接DF.∵BD=CD,且∠BDC=140°,∴∠BCD=∠DBC=20°.∵∠A=40°,AB=AC=2,∴∠ABC=∠ACB=70°,∴∠DBA=∠DCA=90°.在Rt△BDF和Rt△CND中,∵BF=CN,∠DBA=∠DCA,DB=DC,∴△BDF≌△CDN,∴∠BDF=∠CDN,DF=DN.∵∠MDN=70°,∴∠BDM+∠CDN=70°,∴∠BDM+∠BDF=70°,∴∠FDM=70°=∠MDN.∵DF=DN,∠FDM=∠MDN,DM=DM,∴△DMN≌△DMF,∴MN=MF,∴△AMN的周长是:AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=4.故答案为:4.【点睛】本题主要利用等腰三角形的性质来证明三角形全等,构造全等三角形是解答本题的关键.7.在△ABC 中,∠ACB=90º,D、E 分别在 AC、AB 边上,把△ADE 沿 DE 翻折得到△FDE,点 F 恰好落在 BC 边上,若△CFD 与△BFE 都是等腰三角形,则∠BAC 的度数为_________.【答案】45°或60°【解析】【分析】根据题意画出图形,设∠BAC的度数为x,则∠B=90°-x,∠EFB =135°-x,∠BEF=2x-45°,当△BFE 都是等腰三角形,分三种情况讨论,即可求解.【详解】∵∠ACB=90º,△CFD是等腰三角形,∴∠CDF=∠CFD=45°,设∠BAC的度数为x,∴∠B=90°-x,∵△ADE 沿 DE 翻折得到△FDE,点 F 恰好落在 BC 边上,∴∠DFE=∠BAC=x,∴∠EFB=180°-45°-x=135°-x,∵∠ADE=∠FDE,∴∠ADE=(180°-45°)÷2=67.5°,∴∠AED=180°-∠ADE-∠BAC=180°-67.5° -x=112.5°-x,∴∠DEF=∠AED=112.5°-x,∴∠BEF=180°-∠AED-∠DEF=180°-(112.5°-x)-(112.5°-x)=2x-45°,∵△BFE 都是等腰三角形,分三种情况讨论:①当FE=FB时,如图1,则∠BEF=∠B,∴90-x=2x-45,解得:x=45;②当BF=BE时,则∠EFB=∠BEF,∴135-x=2x-45,解得:x=60,③当EB=EF时,如图2,则∠B=∠EFB,∴135-x=90-x,无解,∴这种情况不存在.综上所述:∠BAC 的度数为:45°或60°.故答案是:45°或60°.图1 图2【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质定理,用代数式表示角度,并进行分类讨论,是解题的关键.8.如图,在△ABC中,AB=BC=8,AO=BO,点M是射线CO上的一个动点,∠AOC=60°,则当△ABM为直角三角形时,AM的长为______.【答案】或4【解析】【分析】分三种情况讨论:①当M在AB下方且∠AMB=90°时,②当M在AB上方且∠AMB=90°时,③当∠ABM=90°时,分别根据含30°直角三角形的性质、直角三角形斜边的中线的性质或勾股定理,进行计算求解即可.【详解】如图1,当∠AMB=90°时,∵O是AB的中点,AB=8,∴OM=OB=4,又∵∠AOC=∠BOM=60°,∴△BOM是等边三角形,∴BM=BO=4,∴Rt△ABM中,AM如图2,当∠AMB=90°时,∵O是AB的中点,AB=8,∴OM=OA=4,又∵∠AOC=60°,∴△AOM是等边三角形,∴AM=AO=4;如图3,当∠ABM=90°时,∵∠BOM=∠AOC=60°,∴∠BMO=30°,∴MO=2BO=2×4=8,∴Rt△BOM中,BM=∴Rt△ABM中,AM综上所述,当△ABM为直角三角形时,AM的长为4.故答案为或4.9.如图:在ABC ∆中,D ,E 为边AB 上的两个点,且BD BC =,AE AC =,若108ACB ∠=︒,则DCE ∠的大小为______.【答案】036【解析】【分析】根据三角形内角和求出∠A+∠B,再根据AC=AE,BC=BD ,用∠A 表示∠AEC,用∠B 表示∠BDC,然后根据内角和求出∠DCE 的度数.【详解】∵∠ACB=1080,∴∠A+∠B=1800-1080=720,∵AC=AE,BC=BD,∴∠ACE=∠AEC,∠BCD=∠BDC,∴01(180)2AEC A ∠=-∠01902A =-∠ 01(180)2BDCB ∠=-∠=01902B -∠ ∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=1800,∴0180DCE CDE CED ∠=-∠-∠= 00011180(90)(90)22A B --∠--∠ =1122A B ∠+∠ =1()2A B ∠+∠ =360【点睛】此题考察等腰三角形的性质,注意两条等边所在三角形,依此判断对应的两个底角相等.10.如图,在边长为6的菱形ABCD 中,∠DAB=60°,E 是AB 的中点,F 是AC 上一个动点,则EF+BF 的最小值是________ .【答案】33【解析】试题解析:∵在菱形ABCD 中,AC 与BD 互相垂直平分,∴点B 、D 关于AC 对称,连接ED ,则ED 就是所求的EF+BF 的最小值的线段,∵E 为AB 的中点,∠DAB=60°,∴DE ⊥AB ,∴22AD AE -2263-3∴EF+BF 的最小值为3.二、八年级数学轴对称三角形选择题(难)11.如图,等腰 Rt △ABC 中,∠BAC =90°,AD ⊥BC 于D ,∠ABC 的平分线分别交 AC ,AD 于E ,F ,点M 为 EF 的中点,AM 的延长线交 BC 于N ,连接 DM ,NF ,EN .下列结论:①△AFE 为等腰三角形;②△BDF ≌△ADN ;③NF 所在的直线垂直平分AB ;④DM 平分∠BMN ;⑤AE =EN =NC ;⑥AE BN EC BC=.其中正确结论的个数是( )A .2个B .3个C .4个D .5个【答案】D【解析】【分析】 ①由等腰三角形的性质得∠BAD=∠CAD=∠C=45°,再根据三角形外角性质得∠AEF=∠CBE+∠C=22.5°+45°=67.5°,∠AFE=∠FBA+∠BAF=22.5°+45°=67.5°,则得到∠AEF=∠AFE ,可判断△AEF 为等腰三角形,于是可对①进行判断;求出BD=AD ,∠DBF=∠DAN ,∠BDF=∠ADN ,证△DFB ≌△DAN ,由题意可得BF>BD=AD,所以BF ≠AF,所以点F 不在线段AB 的垂直平分线上,所以③不正确,由∠ADB=∠AMB=90°, 可知A 、B 、D 、M 四点共圆, 可求出∠ABM=∠ADM=22.5°,继而可得∠DMN=∠DAN+∠ADM=22.5°+22.5°=45°, 即可求出DM 平分∠BMN ,所以④正确;根据全等三角形的性质可得△AFB ≌△CAN , 继而可得AE=CN ,根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定可得△ENC 是等腰直角三角形,继而可得AE=CN=EN ,所以⑤正确;根据等腰三角形的判定可得△BAN 是等腰三角形,可得BD=AB ,继而可得22BD BC A BC B ==,由⑤可得22AE EN EC EC ==所以⑥正确. 【详解】解:∵等腰Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AD ⊥BC ,∴∠BAD=∠CAD=∠C=45°,∵BE 平分∠ABC ,∴∠ABE=∠CBE=12∠ABC=22.5°, ∴∠AEF=∠CBE+∠C=22.5°+45°=67.5°,∠AFE=∠FBA+∠BAF=22.5°+45°=67.5° ∴∠AEF=∠AFE ,∴△AEF 为等腰三角形,所以①正确;∵∠BAC=90°,AC=AB ,AD ⊥BC ,∴∠ABC=∠C=45°,AD=BD=CD ,∠ADN=∠ADB=90°,∴∠BAD=45°=∠CAD ,∵BE 平分∠ABC ,∴∠ABE=∠CBE= 12∠ABC=22.5°, ∴∠BFD=∠AEB=90°-22.5°=67.5°,∴AFE=∠BFD=∠AEB=67.5°,∴AF=AE ,AM ⊥BE ,∴∠AMF=∠AME=90°,∴∠DAN=90°-67.5°=22.5°=∠MBN,在△FBD和△NAD中,∠FBD=∠DAN ,BD=AD ,∠BDF=∠ADN ,∴△FBD≌△NAD,所以②正确;因为BF>BD=AD,所以BF AF,所以点F不在线段AB的垂直平分线上,所以③不正确∵∠ADB=∠AMB=90°,∴A、B、D、M四点共圆,∴∠ABM=∠ADM=22.5°,∴∠DMN=∠DAN+∠ADM=22.5°+22.5°=45°,∴DM平分∠BMN ,所以④正确;在△AFB和△CNA中,∠BAF=∠C=45°,AB=AC, ∠ABF=∠CAN=22.5°,∴△AFB≌△CAN(ASA),∴AF=CN,∵AF=AE,∴AE=CN,∵AE=AF,FM=EM,∴AM⊥EF,∴∠BMA=∠BMN=90°,∵BM=BM,∠MBA=∠MBN,∴△MBA≌△MBN,∴AM=MN,∴BE垂直平分线段AN,∴AB=BN,EA=EN,∵BE=BE,∴△ABE≌△NBE,∴∠ENB=∠EAB=90°,∴EN⊥NC.∴△ENC是等腰直角三角形,∴AE=CN=EN,所以⑤正确;∵AF=FN,所以∠FAN =∠FNA,因为∠BAD =∠FND=45°,所以∠FAN+ ∠BAD =∠FNA+∠FND,所以∠BAN =∠BNA,所以AB=BN,所以22BDBCABCB==,由⑤可知,△ENC是等腰直角三角形,AE=CN=EN,∴2 AE ENEC EC==,所以AE BNEC BC=,所以⑥正确,故选D.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质,三角形外角性质,三角形内角和定理,直角三角形斜质的应用,能正确证明推出两个三角形全等是解此题的关键.12.如图,已知一条线段的长度为a,作边长为a的等边三角形的方法是:①画射线AM;②连结AC、BC;③分别以A、B为圆心,以a的长为半径作圆弧,两弧交于点C;④在射线AM上截取AB=a;以上画法正确的顺序是()A.①②③④B.①④③②C.①④②③D.②①④③【答案】B【解析】【分析】根据尺规作等边三角形的过程逐项判断即可解答.【详解】解:已知一条线段的长度为a,作边长为a的等边三角形的方法是:①画射线AM;②在射线AM上截取AB=a;③分别以A、B为圆心,以a的长为半径作圆弧,两弧交于点C;④连结AC、BC.△ABC即为所求作的三角形.故选答案为B.【点睛】本题考查了尺规作图和等边三角形的性质,解决本题的关键是理解等边三角形的作图过程.13.如图,ABC ∆中,60BAC ∠=︒,BAC ∠的平分线AD 与边BC 的垂直平分线MD 相交于点D ,DE AB ⊥交AB 的延长线于点E ,DF AC ⊥于点F ,现有下列结论:①DE DF =;②DE DF AD +=;③DM 平分EDF ∠;④2AB AC AE +=,其中正确的是( )A .①②B .①②③C .①②④D .①②③④【答案】C【解析】【分析】 ①由角平分线的性质可知①正确;②由题意可知∠EAD=∠FAD=30°,故此可知ED=12AD ,DF=12AD ,从而可证明②正确;③若DM 平分∠EDF ,则∠EDM=90°,从而得到∠ABC 为直角三角形,条件不足,不能确定,故③错误;④连接BD 、DC ,然后证明△EBD ≌△DFC ,从而得到BE=FC ,从而可证明④.【详解】解:如图所示:连接BD 、DC .①∵AD 平分∠BAC ,DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,∴ED=DF .∴①正确.②∵∠EAC=60°,AD 平分∠BAC ,∴∠EAD=∠FAD=30°.∵DE ⊥AB ,∴∠AED=90°.∵∠AED=90°,∠EAD=30°,∴ED=12AD . 同理:DF=12AD . ∴DE+DF=AD .∴②正确. ③由题意可知:∠EDA=∠ADF=60°.假设MD 平分∠EDF ,则∠ADM=30°.则∠EDM=90°,又∵∠E=∠BMD=90°,∴∠EBM=90°.∴∠ABC=90°.∵∠ABC 是否等于90°不知道,∴不能判定MD 平分∠EDF ,故③错误.④∵DM 是BC 的垂直平分线,∴DB=DC .在Rt △BED 和Rt △CFD 中DE DF BD DC⎧⎨⎩==, ∴Rt △BED ≌Rt △CFD .∴BE=FC .∴AB+AC=AE-BE+AF+FC又∵AE=AF ,BE=FC ,∴AB+AC=2AE .故④正确.综上所述,①②④正确,故选:C .【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质,掌握本题的辅助线的作法是解题的关键.14.如图,在四边形ABCD 中,AB AC =,60ABD ∠=,75ADB ∠=,30BDC ∠=,则DBC ∠=( )°A.15 B.18 C.20 D.25【答案】A【解析】【分析】延长BD到M使得DM=DC,由△ADM≌△ADC,得AM=AC=AB,得△AMB是等边三角形,得∠ACD=∠M=60°,再求出∠BAO即可解决问题.【详解】如图,延长BD到M使得DM=DC.∵∠ADB=75°,∴∠ADM=180°﹣∠ADB=105°.∵∠ADB=75°,∠BDC=30°,∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=105°,∴∠ADM=∠ADC.在△ADM和△ADC中,∵AD ADADM ADC DM DC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ADM≌△ADC,∴AM=AC.∵AC=AB,∴AM=AC=AB,∠ABC=∠ACB.∵∠ABD=60°,∴△AMB是等边三角形,∴∠M=∠DCA=60°.∵∠DOC=∠AOB,∠DCO=∠ABO=60°,∴∠BAO=∠ODC=30°.∵∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°,∴30°+2(60°+∠CBD)=180°,∴∠CBD=15°.故选:A.【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识,解决问题的关键是添加辅助线构造全等三角形,题目有一定难度.15.如图,四边形ABCD中,∠C=,∠B=∠D=,E,F分别是BC,DC上的点,当△AEF的周长最小时,∠EAF的度数为().A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】【详解】作点A关于直线BC和直线CD的对称点G和H,连接GH,交BC、CD于点E、F,连接AE、AF,则此时△AEF的周长最小,由四边形的内角和为360°可知,∠BAD=360°-90°-90°-50°=130°,即∠1+∠2+∠3=130°①,由作图可知,∠1=∠G,∠3=∠H,△AGH的内角和为180°,则2(∠1+∠3)+ ∠2=180°②,又①②联立方程组,解得∠2=80°.故选D.考点:轴对称的应用;路径最短问题.16.如图,已知正方形ABCD,顶点A(1,3)、B(1,1)、C(3,1).规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折,再向左平移1个单位”为一次变换,如此这样,连续经过2014次变换后,正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为()A.(-2012,2)B.(-2012,-2)C.(-2013,-2)D.(-2013,2)【答案】A【解析】试题分析:首先由正方形ABCD,顶点A(1,3)、B(1,1)、C(3,1),然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的对角线交点M的对应点的坐标,即可得规律:第n次变换后的点M的对应点的为:当n为奇数时为(2-n,-2),当n为偶数时为(2-n,2),继而求得把正方形ABCD连续经过2014次这样的变换得到正方形ABCD的对角线交点M的坐标.试题解析:∵正方形ABCD,顶点A(1,3)、B(1,1)、C(3,1).∴对角线交点M的坐标为(2,2),根据题意得:第1次变换后的点M的对应点的坐标为(2-1,-2),即(1,-2),第2次变换后的点M的对应点的坐标为:(2-2,2),即(0,2),第3次变换后的点M的对应点的坐标为(2-3,-2),即(-1,-2),第n次变换后的点M的对应点的为:当n为奇数时为(2-n,-2),当n为偶数时为(2-n,2),∴连续经过2014次变换后,正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为(-2012,2).故选A.考点:1.翻折变换(折叠问题);2.正方形的性质;3.坐标与图形变化-平移.17.如图,P为∠AOB内一定点,M、N分别是射线OA、OB上一点,当△PMN周长最小时,∠MPN=110°,则∠AOB=()A.35°B.40°C.45°D.50°【答案】A【解析】【分析】作P关于OA,OB的对称点P1,P2.连接OP1,OP2.则当M,N是P1P2与OA,OB的交点时,△PMN的周长最短,根据对称的性质可以证得:∠OP1M=∠OPM=50°,OP1=OP2=OP,根据等腰三角形的性质求解.【详解】作P关于OA,OB的对称点P1,P2.连接OP1,OP2.则当M,N是P1P2与OA,OB的交点时,△PMN的周长最短,连接P1O、P2O,∵PP 1关于OA 对称,∠MPN=110°∴∠P 1OP=2∠MOP ,OP 1=OP ,P 1M=PM ,∠OP 1M=∠OPM , 同理可得:∠P 2OP=2∠NOP ,OP=OP 2, ∴∠P 1OP 2=∠P 1OP+∠P 2OP=2(∠MOP+∠NOP )=2∠AOB ,OP 1=OP 2=OP ,∴△P 1OP 2是等腰三角形.∴∠OP 2N=∠OP 1M ,∴∠P 1OP 2=180°-110°=70°,∴∠AOB=35°,故选A .【点睛】考查了对称的性质,解题关键是正确作出图形和证明△P 1OP 2是等腰三角形是.18.如图,已知,点A (0,0)、B (43,0)、C (0,4),在△ABC 内依次作等边三角形,使一边在x 轴上,另一个顶点在BC 边上,作出的等边三角形分别是第1个△AA 1B 1,第2个△B 1A 2B 2,第3个△B 2A 3B 3,…则第2017个等边三角形的边长等于( )A .201532 B .201632 C .2017327 D .201932【答案】A【解析】【分析】【详解】根据锐角三函数的性质,由OB=3OC=1,可得∠OCB=90°,然后根据等边三角形的性质,可知∠A 1AB=60°,进而可得∠CAA 1=30°,∠CA 1O=90°,因此可推导出∠A 2A 1B=30°,同理得到∠CA 2B 1=∠CA 3B 2=∠CA 4B 3=90°,∠A 2A 1B=∠A 3A 2B 2=∠A 4A 3B 3=30°,故可得后一个等边三角形的边长等于前一个等边三角形的边长的一半,即OA 1=OCcos ∠CAA 1=3B 1A 2=1232⨯2017个等边三角形的边长为:201713()432⨯=.故选A.【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质,属于规律型题目,解题关键是仔细审图,得出:后一个等边三角形的边长等于前一个等边三角形的边长的一半.19.如图,已知AD为△ABC的高线,AD=BC,以AB为底边作等腰Rt△ABE,连接ED,EC,延长CE交AD于F点,下列结论:①△ADE≌△BCE;②CE⊥DE;③BD=AF;④S△BDE=S△ACE,其中正确的有()A.①③B.①②④C.①②③④D.①③④【答案】C【解析】【分析】①易证∠CBE=∠DAE,即可求证:△ADE≌△BCE;②根据①结论可得∠AEC=∠DEB,即可求得∠AED=∠BEG,即可解题;③证明△AEF≌△BED即可;④易证△FDC是等腰直角三角形,则CE=EF,S△AEF=S△ACE,由△AEF≌△BED,可知S△BDE=S△ACE,所以S△BDE=S△ACE.【详解】①∵AD为△ABC的高线,∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°.∵Rt△ABE是等腰直角三角形,∴∠ABE=∠BAE=∠BAD+∠DAE=45°,AE=BE,∴∠CBE+∠BAD=45°,∴∠DAE=∠CBE.在△DAE和△CBE中,∵AE BEDAE CBEAD BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ADE≌△BCE(SAS);故①正确;②∵△ADE≌△BCE,∴∠EDA=∠ECB.∵∠ADE+∠EDC=90°,∴∠EDC+∠ECB=90°,∴∠DEC=90°,∴CE⊥DE;故②正确;③∵∠BDE=∠ADB+∠ADE,∠AFE=∠ADC+∠ECD,∴∠BDE=∠AFE.∵∠BED+∠BEF=∠AEF+∠BEF=90°,∴∠BED=∠AEF.在△AEF和△BED中,∵BDE AFEBED AEFAE BE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△AEF≌△BED(AAS),∴BD=AF;故③正确;④∵AD=BC,BD=AF,∴CD=DF.∵AD⊥BC,∴△FDC是等腰直角三角形.∵DE⊥CE,∴EF=CE,∴S△AEF=S△ACE.∵△AEF≌△BED,∴S△AEF=S△BED,∴S△BDE=S△ACE.故④正确.故选C.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质,本题中求证△BFE≌△CDE是解题的关键.20.如图,在平面直角坐标系中,A(1,2),B(3,2),连接AB,点P是x轴上的一个动点,连接AP、BP,当△ABP的周长最小时,对应的点P的坐标和△ABP的最小周长分别为( )A.(1,0),224+ B.(3,0),224+ C.(2,0), 25D.(2,0),252+【答案】D【解析】作A关于x轴的对称点N(1,-2),连接BN与x轴的交点即为点P的位置,此时△ABP的周长最小.设直线BN的解析式为y kx b=+,∵N(1,-2),B(3,2),∴2 32k bk b+=-⎧⎨+=⎩,解得24k b =⎧⎨=-⎩, ∴24y x =-,当0y =时,240x -=,解得,2x =,∴点P 的坐标为(2,0);∵A (1,2),B (3,2),∴AB //x 轴,∵AN ⊥x 轴,∴AB ⊥x 轴,在Rt △ABC 中,AB =2,AN =4,由勾股定理得,BN ==∵AP =NP ,∴△ABP 的周长最小值为:AB +BP +AP =AB +BP +PN =AB +BN 故选D.点睛:本题考查最短路径问题.利用轴对称作出点P 的位置是解题的关键.。