高等数学一第6章课后习题详解课后习题全解习题6-2★ 1．求由曲线xy =与直线x y =所围图形的面积。

知识点：平面图形的面积思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1∵所围区域D 表达为X-型：⎩⎨⎧<<<<x y x x 10， （或D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<yx y y 210）∴⎰-=10)(dx x x S D61)2132(1223=-=x x （⎰=-=1261)(dy y y S D） ★ 2．求在区间[0，π/2]上，曲线x y sin =与直线0=x 、1=y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解：见图6-2-2∵所围区域D 表达为X-型：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<1sin 20y x x π， （或D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<y x y arcsin 010） ∴12)cos ()sin 1(2020-=+=-=⎰πππx x dx x S D（ 12arcsin 1-==⎰πydy S D）★★3．求由曲线x y =2与42+-=x y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为Y-型时解法较简单，所以用Y-型做 解：见图6-2-3∵两条曲线的交点：⎩⎨⎧±==⇒⎩⎨⎧+-==22422y x x y x y ，∴所围区域D 表达为Y-型：⎩⎨⎧-<<<<-22422yx y y ，∴2316)324()4(2232222=-=--=--⎰y y dy y y S D（由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为：2316)324(2)4(223222=-=--=⎰y y dy y y S D ）★★4．求由曲线2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<y x y y 210，∴34322)2(22102311=⨯=-==⎰y dy y y S S D D（若用X-型做，则第一象限内所围区域=1D b a D D Y ，其中a D ：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<22410x y x x ，b D ：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<14212y x x ；∴12212201422[()(1)]443D D x x S S x dx dx ==-+-=⎰⎰）★★5．求由曲线xy 1=与直线x y =及2=x 所围图形的面积 知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为X-型,解法较简单，所以用X-型做 解：见图6-2-5∵两条曲线xy =和x y =的交点为（1，1）、（-1，-1），又这两条线和2=x 分别交于 )21,2(、2) ,2( ∴所围区域D 表达为X-型：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<x y xx 121，∴22211113((ln )ln 222DS x dx x x x =-=-=-⎰★★★6．抛物线x y 22=分圆822=+y x 的面积为两部分，求这两部分的面积知识点：平面图形面积思路：所围图形关于X 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-6，设阴影部分的面积为1D S ，剩余面积为2D S∵两条曲线x y 22=、822=+y x 的交于(2,2)±（舍去4-=x 的解），∴所围区域1D 表达为Y-型：⎪⎩⎪⎨⎧-<<<<-228222y x y y ；又图形关于x 轴对称，∴342)342(2)68(2)28(220320220221+=-+=--=--=⎰⎰ππy y dy y y S D（其中222cos 18cos 22cos 22844sin 2222+=+=⨯=-⎰⎰⎰=πππdt ttdt t dyy ty ） ∴34634282-=--=πππDS ★★★7．求由曲线x e y =、x e y -=与直线1=x 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为X-型时，解法较简单，所以用X-型做 解：见图6-2-7∵两条曲线x e y =和x e y -=的交点为（0，1），又这两条线和1=x 分别交于) ,1(e 和) ,1(1-e∴所围区域D 表达为X-型：⎩⎨⎧<<<<-x x ey e x 10，∴2)()(1110-+=+=-=---⎰e e e e dx e e S x x x x D★★★8．求由曲线x y ln =与直线a y ln =及b y ln =所围图形的面积)0(>>a b知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为Y-型时，解法较简单，所以用Y-型做 解：见图6-2-8∵在x ln的定义域范围内所围区域D ：⎩⎨⎧<<<<yex by a 0ln ln ， ∴a b e dy e S b ayba y D-===⎰ln ln ln ln★★★★9．求通过（0，0），（1，2）的抛物线，要求它具有以下性质：（1）它的对称轴平行于y 轴，且向下弯；（2）它与x 轴所围图形面积最小知识点：平面图形面积和求最值思路：首先根据给出的条件建立含参变量的抛物线方程，再求最值时的参变量解：由于抛物线的对称轴平行于y 轴，又过（0，0），所以可设抛物线方程为bx ax y +=2，（由于下弯，所以0<a），将（1，2）代入bx ax y +=2，得到2=+b a ，因此x a ax y )2(2-+=该抛物线和X 轴的交点为0=x 和aa x 2-=， ∴所围区域D ：2200(2)a x ay ax a x-⎧<<⎪⎨⎪<<+-⎩∴232232026)2()223(])2([a a x a x a dx x a ax S aa a a D-=-+=-+=--⎰)4()2(61)]2()2()2(3[61)(233322+-=-⨯-+-⨯='---a a a a a a a a S D得到唯一极值点：4-=a ，∴所求抛物线为：x x y 642+-=★★★★10．求位于曲线x e y =下方，该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形的面积知识点：切线方程和平面图形面积思路：先求切线方程，再作出所求区域图形，然后根据图形特点，选择积分区域表达类型解：x e y =⇒xe y ='，∴在任一点0x x =处的切线方程为)(000x x e e y x x -=-而过（0，0）的切线方程就为：)1(-=-x e e y ，即ex y =所求图形区域为21D D D Y =,见图6-2-10X-型下的1D ：⎩⎨⎧<<<<∞-x e y x 00，2D ：⎩⎨⎧<<<<xe y ex x 1∴222)(1211e e e x eedx ex e dx e S x x x D=-=-=-+=∞-∞-⎰⎰ ★★★11．求由曲线θcos 2a r =所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：作图可知该曲线是半径为a 、圆心（0 ,a ）的圆在极坐标系下的表达式，可直接求得面积为2a π，也可选择极坐标求面积的方法做。

解：∵作图6-1-11ra图6-1-11 a2图6-2-12θ3sin a r =r6/π1D)cos 2(2θ+=a ra 6a 4a 3知所求图形区域D ：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<-θπθπcos 2022a r∴2222222)2sin 2121(2)cos 2(21a a d a S D πθθθθππππ=+==--⎰★★★12．求三叶玫瑰线θ3sin a r =的面积S知识点：平面图形面积思路： 三叶玫瑰由三瓣面积相等的叶片组成图6-2-12中所画是三叶玫瑰中的一叶， 而一叶图形又关于6πθ=对称，因此选择其中一叶的一半区域1D 求其面积解：∵1D ：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<θπθ3cos 060a r∴26026241)6sin 6121(3)3cos (21661a a d a S S D Dπθθθθππ=+===⎰ ★★★13．求由曲线)cos 2(2θ+=a r 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：作图可知该曲线围成的图形关于极轴对称，因此选择其中一半区域1D 求其面积解：∵1D ：⎩⎨⎧+<<<<)cos 2(200θπθa r∴12220141122[2(2cos3)]4[4(sin 3sin 6)1823212D D S S a d a a ππθθπθθθπ==+=+++=⎰★★★14．求对数螺线θρae =)(πθπ≤≤-及射线πθ=所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：作图可知该曲线围成的图形是由θρae =，θ从π-到π一段曲线及射线πθ=所围，由此可确定θ、ρ的范围解：∵所围区域D ：⎩⎨⎧<<<<-θρπθπae∴)(4212)(21222222ππππθππθθ----=⨯==⎰e e a e a d ae S D★★★★15．求由曲线θcos 3=r 及θcos 1+=r 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：作图可知两条闭围线围成的图形由三部分组成，其中一部分为两图形重叠部分D ，而D 又关于极轴对称，设θ在（0，2π）内的曲线和极轴围成的半个D 为1D 区域解：两条曲线θcos 3=r 、θcos 1+=r 交于3πθ±=处，因此分割区域b a D D D +=1，其中a D ：⎪⎩⎪⎨⎧+<<<<θπθcos 1030r ，b D ：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<θπθπcos 3023r122320332031122[(1cos )(3cos )]223191152[(2sin sin 2)(sin 2)]23422644D D S S d d ππππππθθθθππθθθπ==++=⨯+++⨯+=⎰⎰★★★16．求由曲线θsin 2=r及θ2cos 2=r 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：作图可知两条闭围线围成的图形由三部分组成，其中一部分为两图形重叠部分D ，而D 又关于射线2πθ=对称，设两条曲线在（0，2π）围成的半个D 为1D 区域解：两条曲线θsin 2=r 、θ2cos 2=r 交于6πθ=及65πθ=因此分割区域b a D D D +=1，其中a D ：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<θπθsin 2060r ，b D ：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<θπθπ2cos 026r236)2sin 412sin 41621(2]2cos 21)sin 2(21[22266026621-=+-⨯=+==⎰⎰πθθπθθθθππππππd d S S D D（和书后答案不同）★★★17．求由摆线)sin (t t a x -=，)cos 1(t a y -=)20(π≤≤t 及x 轴所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：在直角坐标系下作图可知所围图形的x 、y 变化范围，先求出直角坐标系下积分表达式，再将积分变量代换成t解：∵所围区域D ：⎩⎨⎧<<<<)(020x y y ax π，（)(x y y =为摆线）∴20()aDS y x dx π=⎰，作代换)sin (t t a x -=，则222022203223)cos 1(])sin ([)cos 1(a a dt t a t t a d t a S Dππππ=⨯=-=--=⎰⎰ 习题6-31． 求下列平面图形分别绕x 轴、y 轴旋转产生的立体体积：★(1)．曲线x y =与直线1=x 、4=x 、0=y 所围成的图形；知识点：旋转体体积思路：作出平面图形（或求出该平面区域的x 、y 范围），代入相应的公式。