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第十二章全等三角形
、结构梳理
丰富的生活情境 T t 应用
f 全等三角形
全等
图形
全等三角形特征
全等三角形条件
画三角形
二、知识梳理
(一)概念梳理
1 .全等图形
定义：两个能够完全重合的图形称为全等图形，全等图形的形状和大小都相同•例如图 1中的两个图 形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图 2中的两个图形面积相同，但形状不
同，也不是全等图形.
2.全等三角形
这是学好全等三角形的基础.根据全等形定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.完全重合 “也”也
形象、直观地反映了这一点. 有两层含义：(1)图形的形状相同；(2)图形的大小相等. 符号 表示图形形状相同，“=”表示图形大小相等.
(二)性质与判定梳理
1. 全等图形性质： 全等多边形的对应边、对应角分别相等. 全等三角形
的对应边、对应角分别相等.
2. 全等三角形的判定
这是学好全等三角形的关键.只给定一个条件或两个条件画三角形时, 只要有三个条件对应相等就可以，于是判定两个三角形全等的方法有:
(1) (2) (3) (4) Ξ½ 都不能保证所画出的三角形全等,
三边对应相等的两个三角形全等，简记为： SSS ；
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为： 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为： 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为： 若是直角三角形，则还有斜边、直角边公理( HL )。
由此可以看出，判断三角形全等，无论用哪一条件, 都要有三个元素对应相等，且其中至少要有一对应边相等.
(5)注意判定三角形全等的基本思路
从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素(其 中至少一个元素是边) 对应相等，这样就可以利用题目中的已知边 (角)去迅速准确地确定要补充的边 不致盲目地而能有目标地完善三角形全等的条件.从而得到判定两个三角形全等的思路有： ASA ;
AAS ;
SAS . （角）, 海阔凭鱼跃，天高任鸟飞!
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海阔凭鱼跃，天高任鸟飞! 图6 (2)
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找夹角SAS
已知两边
找另一边SSS
'边为角的对边T找任一角T AAS
■找这条边上的另一角T ASA 边就是角的一条边找这条边上的对角＞ AAS
I找该角的另一边T SAS
（6）学会辨认全等三角形的对应元素
辨认全等三角形的对应元素最有效的方法是，先找出全等三角形的对应顶点，再确定对应角和对应
边，如已知厶ABC也EFD ,这种记法意味着A与E、B与F、C与D对应，则三角形的边AB与EF、BC 与FD、AC与ED对应，对应边所夹的角就是对应角，此外，还有如下规律：（1）全等三角形的公共边是
对应边，公共角是对应角，对顶角是对应角；（2）全等三角形的两个对应角所夹的边是对应边，两条对应
边所夹的角是对应角•
（三）基本图形梳理
注意组成全等三角形的基本图形，全等图形都是由图形的平移、旋转、轴对称等图形变换而得到的，所以全等三角形的基本图形大致有以下几种：
1.平移型如图3,下面几种图形属于平移型：它们可看成有对
应边在一直线上移动所构成的，故该对应边的相等关系一般可由同一
直线上的线段和或差而得到.
三角形的对应顶点.
3.旋转型如图5,下面几种图形属于旋转型：它们可看成是
以三角形的某一顶点为中心旋转
所构成的，故一般有一对相等的角隐含在
对顶角、某些角的和或差中.
三、易混、易错点剖析
1 .探索两个三角形全等时，要注意两个特例
（1）三边对应相等的两个三角形全等，但三角对应相等的两个三角形
不一定全等；如图6 （1）中的两个三角形的每个
角都是600,但这两个三角形显然不全等；
（2）两边和其中一边的对角对应相等的两个
三角形不一定全等，如图 6 （2）,中的△ ABC和厶ABD中,
虽然有AB=AB , AC=AD , ∠ B= ∠ B,但它们显然不全等.
已知两角
:找两角的夹边T ASA
:找任一边T AAS
已知一边一角
2 .对称型如图4,下面几种图形属于对称型:
它们的特征是可沿某一直线对折，直线两旁的部分能完全重合（轴对称图形）,重合的顶点就是全等
图5
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2 •在判定三角形全等时，还要注意的问题
在判定三角形全等时，应做到以下几点：
(1)根据已知条件与结论认真分析图形；
(2)准确无误的确定每个三角形的六个元素；
(3)根据已知条件，确定对应元素，即找出相等的角或边;
(4)对照判定方法，看看还需什么条件两个三角形就全等;
(5)想办法找出所需的条件来.
四、例题：
例1.如图7 (1) , E F分别是四边形ABCD的边BA DC延长线上的点，AB∕∕CD, AD//BC,且AE=CF
EF 交AD于G 交BC于H.
；(不添加任
(1)________________________________ 图中的全等三角形有__ 对，
它们分别是_____________________________
何辅助线)
(2)请在(1)问中选出一对你认为全等的三角形进行证明.
我选择的是：_______________________ .
解：(1) 2,A AEG≤^ CFH^n△BEHDFG
(2)如求证明：△ AEG≤A CFH
证明：在平行四边形ABCD中，有∠ BAG∠ HCD
所以∠ EAG=180—∠ BAG=180—∠ HCD∠ FCH
又因BA// DC 所以∠ E=∠ F.又因AE=CF 所以△ AEG^A CFH 点评：本
题简单地考察学生对图形的识别能力以及证明能力，主要是根据全等三角
形的判定条件去寻找，然后再作出证明.
例2 .如图8,在厶ABD^n△ ACE中，有下列四个等式：
①AB=AC0AD=AE Q)仁∠巧BD=CE.
请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，
写出一个真命题(要求写出已知，求证及证明过程)
(提示：答案不唯一).
点评：本题是条件组装题，答案不唯一，它重点考查学生的
创新意识和能力，四个命题进行组合，有六种情况，这六种情况中有的是假命
题，请同学们注意分辨.
例3 .如图9,点E在AB上，AC=AD ,
请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明。
所添条件为___________ ,
你得到的一对全等三角形是L 二.
(提示：可选择CE=DE> CAB- DAB、BC = BD等条件中的一个。
- - A
可得到∙IACE三ADE或二ACB三ADB ,证明过程略).
例4 .如图10, AB=CD=EP AD=EB BE⊥ DE,垂足为E.
(1) 求证：△ ABD≤A EDB
(2) 只需添加一个条件，即___________ ,可使四边形ABCE为矩形.
请加以证明.
提示：(1)证明略
(2)添加AB// CD 或添加AD=BC或BE=BC或∠ A= ∠ ADC或∠ ADC=90 或∠ A=∠ C 或∠ C=90°或∠ ABD∠ BDC 或∠ A=∠ ABC或∠ ADB∠ DBC或∠ ABC=90 等.证明略.
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海阔凭鱼跃，天高任鸟飞!
海阔凭鱼跃，天高任鸟飞! 图6 (2)
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