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数列综合测试题

高二数学数列综合测试题一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知a ,b ,c 成等比数列,a ,m ,b 和b ,n ,c 分别成两个等差数列,则a m +cn等于 ( )A .4B .3C .2D .12.已知{a n }是等差数列,a 4=15,S 5=55,则过点P (3,a 3),Q (4,a 4)的直线斜率为 ( )A .4 B.14 C .-4 D .-143.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 6S 3=3,则S 9S 6= ( )A .2 B.73 C.83D .34.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且15S n =a n -1,则a 2等于 ( )A .-54 B.54 C.516 D.25165.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且4a 1,2a 2,a 3成等差数列,若a 1=1,则S 4=( ) A .7 B .8 C .15 D .166.若数列{a n }的通项公式为a n =n (n -1)·…·2·110n,则{a n }为 ( ) A .递增数列 B .递减数列 C .从某项后为递减 D .从某项后为递增7.等差数列{a n }的通项公式是a n =1-2n ,其前n 项和为S n ,则数列{S nn}的前11项和为( )A .-45B .-50C .-55D .-668.设数列{a n }的前n 项和为S n , 已知15a =,且12(1)(1)n n nS n n n S +=+++( n ∈N*), 则过点P(n,n a ) 和Q(n+2,2+n a )( n ∈N*)的直线的一个方向向量的坐标可以是 ( ) A .(2,21) B .(-1, -1)C .(21-, -1) D .(2,21--) 9.在等比数列{a n }中,若a 3a 5a 7a 9a 11=32,则a 29a 11的值为 ( )A .4B .2C .-2D .-410.已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,且A n B n =7n +45n +3,则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是 ( )A .2B .3C .4D .5 11.已知{a n }是递增数列,对任意的n ∈N *,都有a n =n 2+λn 恒成立,则λ的取值范围是 ( ) A .(-72,+∞) B .(0,+∞)C .(-2,+∞)D .(-3,+∞)12.已知数列{a n }满足a n +1=12+a n -a 2n ,且a 1=12,则该数列的前2 008项的和等于 ( ) A .1 506 B .3 012 C .1 004 D .2 008 二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.将答案填写在题中的横线上) 13.已知数列{a n }满足:a 1=m (m 为正整数),a n +1=⎩⎪⎨⎪⎧a n 2,当a n 为偶数时3a n +1,当a n 为奇数时,若a 6=1,则m所有可能的取值为________.14.已知数列{a n }满足a 1=12,a n =a n -1+1n 2-1(n ≥2),则{a n }的通项公式为________.15.已知等差数列{a n }的首项a 1及公差d 都是整数,前n 项和为S n (n ∈N *).若a 1>1,a 4>3,S 3≤9,则通项公式a n =________.16.下面给出一个“直角三角形数阵”: 14 12,14 34,38,316 …满足每一列的数成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,且每一行的公比相等,记第i 行第j 列的数为a ij (i ≥j ,i ,j ∈N *),则a 83=________.三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的首项a 1=1,公差d >0,且第二项,第五项,第十四项分别是等比数列{b n }的第二项,第三项,第四项. ⑴求数列{a n }与{b n }的通项公式. ⑵设数列{c n }对任意正整数n ,均有1332211+=+⋯⋯+++n nn a b c b c b c b c ,求c 1+c 2+c 3+…+c 2010的值.18.(本小题满分12分)已知数列{a n }中,其前n 项和为S n ,且n ,a n ,S n 成等差数列(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式;(2)求S n >57时n 的取值范围.19.(本小题满分12分)已知二次函数f(x)=x2-ax+a(a≠0),不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素,设数列{a n}的前n项和为S n=f(n).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设各项均不为0的数列{c n}中,满足c i·c i+1<0的正整数i的个数称作数列{c n}的变号数,令c n=1-aa n(n∈N*),求数列{c n}的变号数.20.(本小题满分12分)已知数列{a n}满足:a1=1,a2=12,且[3+(-1)n]a n+2-2a n+2[(-1)n-1]=0,n∈N*.(1)求a3,a4,a5,a6的值及数列{a n}的通项公式;(2)设b n=a2n-1·a2n,求数列{b n}的前n项和S n. 21.(本小题满分12分)已知数列{a n}的前n项和为S n,点(n,S nn)在直线y=12x+112上.数列{b n}满足b n+2-2b n+1+b n=0(n∈N*),b3=11,且其前9项和为153.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)设c n=3(2a n-11)(2b n-1),数列{c n}的前n项和为T n,求使不等式T n>k57对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值.22.(本小题满分14分)在数列{a n}中,a1=1,3a n a n-1+a n-a n-1=0(n≥2,n∈N).(1)试判断数列{1a n}是否为等差数列;(2)若λa n+1a n+1≥λ,对任意n≥2的整数恒成立,求实数λ的取值范围.数列综合测试题参考答案一、选择题CABDC DDDBD DA 二、填空题13、4,5,32 14、a n =54-2n +12n (n +1) 15、n +1 16、12三、解答题17.⑴由题意得(a 1+d )(a 1+13d )=(a 1+4d )2(d >0) 解得d =2,∴a n =2n -1,b n =3n -1.⑵当n =1时,c 1=3 当n ≥2时,∵,1n n nn a a b c -=+∴⎩⎨⎧≥⋅==-)2(32)1(31n n c n n 故132-⋅=n n c20042003220042133232323=⨯+⋯+⨯+⨯+=+⋯++∴c c c18.解:(1)∵n ,a n ,S n 成等差数列,∴S n =2a n -n ,S n -1=2a n -1-(n -1) (n ≥2), ∴a n =S n -S n -1=2a n -2a n -1-1 (n ≥2), ∴a n =2a n -1+1 (n ≥2),两边加1得a n +1=2(a n -1+1) (n ≥2), ∴a n +1a n -1+1=2 (n ≥2). 又由S n =2a n -n 得a 1=1.∴数列{a n +1}是首项为2,公比为2的等比数列,∴a n +1=2·2n -1,即数列{a n }的通项公式为a n =2n -1.(2)由(1)知,S n =2a n -n =2n +1-2-n ,∴S n +1-S n =2n +2-2-(n +1)-(2n +1-2-n )=2n +1-1>0,∴S n +1>S n ,{S n }为递增数列.由题设,S n >57,即2n +1-n >59. 又当n =5时,26-5=59,∴n >5.∴当S n >57时,n 的取值范围为n ≥6(n ∈N *).19.解:(1)由于不等式f (x )≤0的解集有且只有一个元素, ∴Δ=a 2-4a =0⇒a =4, 故f (x )=x 2-4x +4.由题S n =n 2-4n +4=(n -2)2 则n =1时,a 1=S 1=1;n ≥2时,a n =S n -S n -1=(n -2)2-(n -3)2=2n -5,故a n =⎩⎪⎨⎪⎧1 n =1,2n -5 n ≥2.(2)由题可得,c n =⎩⎪⎨⎪⎧-3 n =11-42n -5 n ≥2. 由c 1=-3,c 2=5,c 3=-3,所以i =1,i =2都满足c i ·c i +1<0,当n ≥3时,c n +1>c n ,且c 4=-13,同时1-42n -5>0⇒n ≥5,可知i =4满足c i 、c i +1<0,n ≥5时,均有c n c n +1>0.∴满足c i c i +1<0的正整数i =1,2,4,故数列{c n }的变号数为3.20.解:(1)经计算a 3=3,a 4=14,a 5=5,a 6=18.当n 为奇数时,a n +2=a n +2,即数列{a n }的奇数项成等差数列, ∴a 2n -1=a 1+(n -1)·2=2n -1.当n 为偶数时,a n +2=12a n ,即数列{a n }的偶数项成等比数列,∴a 2n =a 2·(12)n -1=(12)n .因此,数列{a n }的通项公式为a n =⎩⎪⎨⎪⎧n (n 为奇数),(12)n 2(n 为偶数).(2)∵b n =(2n -1)·(12)n ,∴S n =1·12+3·(12)2+5·(12)3+…+(2n -3)·(12)n -1+(2n -1)·(12)n , ①12S n =1·(12)2+3·(12)3+5·(12)4+…+(2n -3)·(12)n +(2n -1)·(12)n +1, ② ①②两式相减, 得12S n =1·12+2[(12)2+(12)3+…+(12)n ]-(2n -1)·(12)n +1 =12+12·[1-(12)n -1]1-12-(2n -1)·(12)n +1 =32-(2n +3)·(12)n +1. ∴S n =3-(2n +3)·(12)n .21.解:(1)由已知得S n n =12n +112,∴S n =12n 2+112n .当n ≥2时, a n =S n -S n -1 =12n 2+112n -12(n -1)2-112(n -1)=n +5; 当n =1时,a 1=S 1=6也符合上式. ∴a n =n +5.由b n +2-2b n +1+b n =0(n ∈N *)知{b n }是等差数列,由{b n }的前9项和为153,可得9(b 1+b 9)2=9b 5=153,得b 5=17,又b 3=11,∴{b n }的公差d =b 5-b 32=3,b 3=b 1+2d ,∴b 1=5, ∴b n =3n +2.(2)c n =3(2n -1)(6n +3)=12(12n -1-12n +1),∴T n =12(1-13+13-15+…+12n -1-12n +1)=12(1-12n +1). ∵n 增大,T n 增大, ∴{T n }是递增数列.∴T n ≥T 1=13.T n >k 57对一切n ∈N *都成立,只要T 1=13>k 57,∴k <19,则k max =18.22.解:(1)∵a 1≠0,∴a n ≠0,∴由已知可得1a n -1a n -1=3(n ≥2),故数列{1a n}是等差数列.(2)将a n =1b n =13n -2代入λa n +1a n +1≥λ并整理得λ(1-13n -2)≤3n +1,∴λ≤(3n +1)(3n -2)3n -3,原命题等价于该式对任意n ≥2的整数恒成立.设C n =(3n +1)(3n -2)3n -3,则C n +1-C n =(3n +1)(3n -4)3n (n -1)>0,故C n +1>C n ,∴C n 的最小值为C 2=283,∴λ的取值范围是(-∞,283].。

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