初二(下)数学竞赛辅导班讲义(勾股定理)
班级________学号____姓名________
一、选择题：
1．如图，已知图中的小方格都是边长为1的正方形，那么四边形ABCD 的面积是( ) A ．25
B ．12.5
C ．9
D ．8.5
2．如图，AB ⊥CD 于B ，△ABD 和△BCE 都是等腰直角三角形，如果CD ＝17，BE ＝5，那么AC 的长为( )
A ．12
B ．7
C ．5
D ．13
3．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边
AB 上，且与AE 重合，则CD 等于( ) A ．2cm
B ．3cm
C ．4cm
D ．5cm
4．如图，△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝7，BC ＝24，三角形内有一点P 到各边的距离相等，则这个距离是( ) A ．1
B ．3
C ．4
D ．5
二、填空题：
5．直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为__________．
6．在△ABC 中，∠C ＝90°，斜边AB 的垂直平分线交BC 于D ，垂足是E ．如果BC ＝32cm ，AE ＝20cm ，则AC 的
长度为__________cm ，DE 的长度为__________cm ．
7．如图，直线l 上依次摆放着七个正方形，且斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，其余四个正放置的正方
形的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝_________．
8．将一副三角板按照图①摆放，则A 1和A 2的面积之比为A 1:A 2＝__________；若将这幅三角板按照图②摆放，则S 1和S 2的面积之比为S 1:S 2＝__________．
9．在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，BC 边上的高AD ＝12，那么△ABC 的周长为_________． 10．已知：每一个正方形的边长都为为1．
⑴ 如图①，可以计算出正方形的对角线长为2，则如图②中两个并排成的矩形的对角线的长为__________，那么n 个时的矩形的对角线的长为__________；
⑵ 若把③，④两图拼成如下“L ”形，过C 作直线交DE 于A ，交DF 于B ．若DB ＝5
3，则DA 的长度为__________．
E
A B
C D
(第2题图)
D C B A
(第1题图)
A
C B
E
D
(第3题图)
C
(第4题图)
图①
图② 图③
图④
图⑤
(第10题图)
B
A
D
C
F 1
2
3
l
S 3 S 2
S 1
S 4
(第7题)
A 1 A 2 (第8题图①)
S 2
S 1
(第8题图②)
三、解答题：
11．已知：如图，点是长方形中的一点，且P A ＝1，PB ＝2，PC ＝3．试求PD 的长．
12．如图，A ，B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC ＝10千米，BD ＝30千米，且CD ＝30千米，
现在要在河边建一自来水厂，向A ，B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？
13．如图，某沿海开放城市A 接到台风警报，在该市正南方向100 km 的B 处有一台风中心，沿BC 方向以20 km /h
的速度向D 移动，已知城市A 到BC 的距离AD ＝60 km ，那么台风中心经过多长时间从B 点移到D 点？如果在距台风中心30 km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？
14．△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．
⑴ 如图①，若∠C ＝90°，根据勾股定理有a 2＋b 2＝c 2；
⑵ 如图②，③，若△ABC 不是直角三角形，那么请你类比勾股定理，猜想a 2＋b 2与c 2之间的关系．
A B C
D c b B
A c b C
B
A A
B
C a b
c 图①
图②
图③
l
D C A
P
15．设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以正方形ABCD 的对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以第二个正
方形的对角线AF 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去……．
⑴ 已知正方形ABCD 的边长a 1＝1cm ，依上述方法所作的正方形的边长依次为a 2，a 3，a 4，……，a n ，请分别求出a 2，a 3，a 4的值． ⑵ 根据上述规律写出第n 个正方形的边长a n 的表达式．
16．如图，现在有一个长方体，它的底面中长为3厘米，宽为4厘米，这个长方体的高为12厘米．现有一只蚂蚁要
沿着长方体的表面从点M 处爬行到点N 处．试求这只蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米．
17．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 点在BC 上，∠DAE ＝45°．
求证：BD 2＋CE 2＝DE 2．
J I H G F E D C A N D
C B A
〖参考答案〗
1．B；2．D；3．B；4．B；
5．24；6．24，15；7．4；8．23:3，(3－3):2；9．42或32；10．⑴5，n2＋1，⑵2.5；
11．6(提示：过点P分别作长方形两边的平行线，然后利用勾股定理)；
12．作点A关于直线l的对称点A′，连结A′B，交l于P，点P即为所求，此时P A＋PB＝P A′＋PB＝A′B＝50，∴50×3＝150(万元)；
13．接到警报后2.5小时内撤离可以脱离危险；
14．提示：分别在图②和图③中过点A作AD⊥BC于D，然后利用勾股定理可得图②中有a2＋b2＞c2，图③中有a2＋b2＜c2；
15．⑴a1＝1，a2＝2，a3＝2，a4＝22，⑵a n＝(2)n－1；
16．193．提示：本题一共有三条最近路线，分别是193，241，265．
17．提示：过点B作BF⊥BC，且使得BF＝CE，连结AF，DF，然后证明△ADF≌△ADE．。