3.利用反比例函数解决实际问题第1题. （2007安徽课改，4分）一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E ”图案，如图所示．设小矩形的长、宽分别为x y ，，剪去部分的面积为20，若210x ≤≤，则y 与x 的函数图象是（ ）答案：A第2题. ．(2007安徽芜湖课改，5分)在对物体做功一定的情况下，力F (牛)与此物体在力的方向上移动的距离s (米)成反比例函数关系，其图象如图所示，P (5，1)在图象上，则当力达到10牛时，物体在力的方向上移动的距离 是 米． 答案：0．5第3题. （2007广东梅州课改，3分）近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y 与镜片焦距x 之间的函数关系式为 ． 答案：100y x=第4题. （2007甘肃陇南非课改，3分）你吃过兰州拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度у（cm ）是面条粗细（横截面积）x （cm 2）的反比例函数，假设其图象如图所示，则у与x 的函数关系式为__________ ．答案：128y x=，x >0第5题. （2007广东茂名课改，4分） 已知某村今年的荔枝总产量是p 吨（p 是常数），设该村荔枝的人均产量为y （吨），人口总数为x （人），则y 与x 之间的函数图象是（ ）xA ．xB ．xC ．xD ．12 12A ．B ．C ．答案：D第6题. （2007广西南宁课改，3分）已知甲、乙两地相距s （km ），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t （h ）与行驶速度v （km/h ）的函数关系图象大致是（ ）答案：C第7题. （2007黑龙江佳木斯课改，3分）在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量m 的某种气体，当改变容积v 时，气体的密度ρ也随之改变，ρ与v 在一定范围内满足mvρ=，当7kg m =时，它的函数图象是（ ）答案：D第8题. （2007湖北十堰课改，3分）根据物理学家波义耳1662年的研究结果：在温度不变的情况下，气球内气体的压强()a p p 与它的体积3()v m 的乘积是一个常数k ，即pv k =（k 为常数，0k >），下列图象能正确反映p 与v 之间函数关系的是（ ）答案：Ｃ第9题. （2007吉林长春课改，7分）如图，在平面直角坐标系中，A 为y 轴正半轴上一点，过A 作x 轴的平行线，交函数2(0)y x x =-<的图象于B，交函数6(0)y x x=>的图象于C ，过C 作y 轴的平行线交BD 的延长线于D ．A ．B ．C ．D ． A ． ) B ． ) C ． )D ． ) Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．（1）如果点A 的坐标为(02)，，求线段AB 与线段CA 的长度之比．（3分） （2）如果点A 的坐标为(0)a ，，求线段AB 与线段CA 的长度之比．（3分） （3）在（2）的条件下，四边形AODC 的面积与 ．（1分）答案：（1）(02)A ，，BC x ∥轴，(12)B ∴-，，(32)C ，．1AB ∴=，3CA =．∴线段AB 与线段CA 的长度之比为13．（2）(0)A a ，，BC x ∥轴，2B a a ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，，6C a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．2AB a ∴=，6CA a=． ∴线段AB 与线段CA 的长度之比为13．（3）15． 7分第10题. （2007江苏常州课改，10分）已知(1)A m -，与(2B m +，是反比例函数ky x=图象上的两个点．（1）求k 的值；（2）若点(10)C -，，则在反比例函数ky x=图象上是否存在点D ，使得以A B C D ，，，四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．y答案：解：（1）由(1)2(33)m m -=+，得m=-k =．（2）如图1，作BE x ⊥轴，E 为垂足，则3CE =，BE =BC =，因此30BCE =∠．由于点C 与点A 的横坐标相同，因此CA x ⊥轴，从而120ACB =∠． 当AC 为底时，由于过点B 且平行于AC 的直线与双曲线只有一个公共点B ， 故不符题意．当BC 为底时，过点A 作BC 的平行线，交双曲线于点D ， 过点A D ，分别作x 轴，y 轴的平行线，交于点F ．由于30DAF =∠，设11(0)DF m m=>，则1AF =，12AD m =，由点(1A --，，得点11(1)D m --，．因此11(1)(23)m --+=解之得1m =10m =舍去），因此点63D ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，． 此时AD =的长度不等，故四边形ADBC 是梯形．如图2，当AB 为底时，过点C 作AB 的平行线，与双曲线在第一象限内的交点为D ． 由于AC BC =，因此30CAB =∠，从而150ACD =∠．作DH x ⊥轴，H 为垂足， 则60DCH =∠，设22(0)CH m m =>，则2DH =，22CD m =由点(10)C -，，得点22(1)D m -+， 因此22(1)3m m -+=．解之得22m =（21m =-舍去），因此点(1D ． 此时4CD =，与AB 的长度不相等，故四边形ABDC 是梯形．图1图2如图3，当过点C 作AB 的平行线，与双曲线在第三象限内的交点为D 时，同理可得，点(2D -，，四边形ABCD 是梯形．综上所述，函数y =D ，使得以A B C D ，，，四点为顶点的四边形为梯形，点D 的坐标为：63D ⎛ ⎝⎭，或(1D或(2D --，．第11题. （2007江苏连云港课改，4分）小明家离学校1.5km ，小明步行上学需min x ，那么小明步行速度(m /min)y 可以表示为1500y x=；水平地面上重1500N 的物体，与地面的接触面积为2m x ，那么该物体对地面压强2(/m )y N 可以表示为1500y x =；，函数关系式1500y x=还可以表示许多不同情境中变量之间的关系，请你再列举1．例．：．答案：体积为 1 5003cm 的圆柱底面积为2cm x ，那么圆柱的高(cm)y 可以表示为1500y x=（其它列举正确均可）；第12题. （2007辽宁12市课改，10分）某服装厂承揽一项生产夏凉小衫1600件的任务，计划用t 天完成． （1）写出每天生产夏凉小衫w （件）与生产时间t （天）（t ＞4）之间的函数关系式;（2）由于气温提前升高，商家与服装厂商议调整计划，决定提前4天交货，那么服装厂每天要多做多少件夏凉小衫才能完成任务？答案：解：（1） 1600w t=（2） 160016004t t--16001600(4)(4)t t t t --=-图3264006400()(4)4t t t t--=．或答：每天多做)4(6400-t t （或t t 464002-）件夏凉小衫才能完成任务．第13题. （2007内蒙呼和浩特课改，7分）如图，已知反比例函数12k y x=的图象与一次函数2y k x b =+的图象交于A B ，两点，(1)A n ，，122B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． （1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）在x 轴上是否存在点P ，使AOP △为等腰三角形？若存在，请你直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．答案：解：（1）∵点122B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，在反比例函数12k y x =图象上， 12122k -=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭∴ 12k =∴ ∴反比例函数的解析式为1y x=．又(1)A n ∵，在反比例函数图象上，11n =∴ 1n =∴A ∴点坐标为(11)，． ∴一次函数2y k x b =+的图象经过点1(11)22A B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，， 221122k b k b +=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩∴ 221k b =⎧⎨=-⎩∴ ∴一次函数的解析式为21y x =-．（2）存在符合条件的点P可求出点P的坐标为((20)(10) 7分第14题. （2007宁夏课改，3分）某农场的粮食总产量为1500吨，设该农场人数为x 人，平均每人占有粮食数为y 吨，则y 与x 之间的函数图象大致是（ ）答案：B第15题. （2007山东滨州课改，12分）如图-1所示，在ABC △中，2AB AC ==，90A =∠，O 为BC 的中点，动点E 在BA 边上自由移动，动点F 在AC 边上自由移动．（1）点E F ，的移动过程中，OEF △是否能成为45EOF =∠的等腰三角形？若能，请指出OEF △为等腰三角形时动点E F ，的位置．若不能，请说明理由．（2）当45EOF =∠时，设BE x =，CF y =，求y 与x 之间的函数解析式，写出x 的取值范围． （3）在满足（2）中的条件时，若以O 为圆心的圆与AB 相切（如图12-2），试探究直线EF 与O 的位置关系，并证明你的结论．答案：解：如图，A ．B ．C ．D ．图-1图-2A EFO CB A EFOCB（图－1） （图－2）（1）点E F ，移动的过程中，OEF △能成为45EOF ∠=°的等腰三角形． 此时点E F ，的位置分别是：①E 是BA 的中点，F 与A 重合．②BE CF ==E 与A 重合，F 是AC 的中点．（2）在OEB △和FOC △中，135EOB FOC ∠+∠=°，135EOB OEB ∠+∠=°， FOC OEB ∠=∠∴． 又B C ∠=∠∵，OEB FOC ∴△∽△．BE BOCO CF=∴． BE x =∵，CF y =，OB OC === 2(12)y x x=∴≤≤．（3）EF 与O 相切． OEB FOC ∵△∽△， BE OECO OF =∴． BE OEBO OF =∴． 即BE BO OE OF=． 又45B EOF ∠=∠=∵°， BEO OEF ∴△∽△． BEO OEF ∠=∠∴．∴点O 到AB 和EF 的距离相等． AB ∵与O 相切，∴点O 到EF 的距离等于O 的半径． EF ∴与O 相切．第16题. （2007山东济南课改，9分）已知：如图，O 为平面直角坐标系的原点，半径为1的B 经过点O ，且与x y ，轴分交于点A C ，，点A的坐标为()，AC 的延长线与B 的切线OD 交于点D ．（1）求OC 的长和CAO ∠的度数； （2）求过D 点的反比例函数的表达式．答案：解：（1）90AOC =∠，AC ∴是B 的直径，2AC ∴=又点A的坐标为(，OA ∴=1OC ∴===1sin 2OC CAO AC ∴==∠，30CAO ∴=∠ （2）如图，连接OB ，过点D 作DE x ⊥轴于点EOD 为B 的切线，OB OD ∴⊥，90BOD ∴=∠AB OB =，30AOB OAB ∴==∠∠，3090120AOD AOB BOD ∴=+=+=∠∠∠，在AOD △中，1801203030ODA OAD =--==∠∠OD OA ∴==在Rt DOE △中，18012060DOE =-=∠1cos 6022OE OD OD ∴===，3sin 602ED OD ==∴点D 的坐标为32⎫⎪⎪⎝⎭，设过D点的反比例函数的表达式为ky x=3224k ∴==y ∴=9分第17题. (2007山东青岛课改,3分)某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压(kPa)P 是气体体积3(m )V 的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于120kPa 时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（ ）A ．不小于35m 4 B ．小于35m 4C ．不小于34m 5D ．小于34m 5P 3)答案：C第18题. （2007山西课改，3分）已知圆柱的侧面积是220πcm ，若圆柱底面半径为cm r ，高为cm h ，则h 关于r 的函数图象大致是（ ）答案：Ａ第19题. (2007上海非课改，12分)如图，在直角坐标平面内，函数my x=（0x >，m 是常数）的图象经过(14)A ，，()B a b ，，其中1a >．过点A 作x 轴垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴垂线，垂足为D ，连结AD ，DC ，CB ．（1）若ABD △的面积为4，求点B 的坐标； （2）求证：DC AB ∥；（3）当AD BC =时，求直线AB 的函数解析式．答案：（1）解：函数(0my x x=>，m 是常数）图象经过(14)A ，，4m ∴=．设BD AC ，交于点E ，据题意，可得B 点的坐标为4a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，D 点的坐标为40a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，E 点的坐标为41a ⎛⎫⎪⎝⎭，，1a >，DB a ∴=，44AE a=-．A ． Ｂ．Ｃ．Ｄ．由ABD △的面积为4，即14442a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得3a =，∴点B 的坐标为433⎛⎫ ⎪⎝⎭，．（2）证明：据题意，点C 的坐标为(10)，，1DE =，1a >，易得4EC a=，1BE a =-， 111BE a a DE -∴==-，4414AE a a CEa-==-．BE AEDE CE ∴=． DC AB ∴∥．（3）解：DC AB ∥，∴当AD BC =时，有两种情况： ①当AD BC ∥时，四边形ADCB 是平行四边形，由（2）得，1BE AEa DE CE==-，11a ∴-=，得2a =．∴点B 的坐标是（2，2）．设直线AB 的函数解析式为y kx b =+，把点A B ，的坐标代入，得422k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得26.k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AB 的函数解析式是26y x =-+．②当AD 与BC 所在直线不平行时，四边形ADCB 是等腰梯形， 则BD AC =，4a ∴=，∴点B 的坐标是（4，1）．设直线AB 的函数解析式为y kx b =+，把点A B ，的坐标代入，得414.k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得15k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AB 的函数解析式是5y x =-+．综上所述，所求直线AB 的函数解析式是26y x =-+或5y x =-+．第20题. （2007四川成都课改，8分）如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象交于(21)(1)A B n -，，，两点．（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；（2）求AOB △的面积．答案：解：（1）∵点(21)A -，在反比例函数my x=的图象上， (2)12m =-⨯=-∴．∴反比例函数的表达式为2y x=-．∵点(1)B n ，也在反比例函数2y x =-的图象上，2n =-∴，即(12)B -，． 把点(21)A -，，点(12)B -，代入一次函数y kx b =+中，得212k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，，解得11k b =-⎧⎨=-⎩，． ∴一次函数的表达式为1y x =--．（2）在1y x =--中，当0y =时，得1x =-．∴直线1y x =--与x 轴的交点为(10)C -，．∵线段OC 将AOB △分成AOC △和BOC △，1113111212222AOB AOC BOC S S S =+=⨯⨯+⨯⨯=+=△△△∴． 2分第21题. (2007四川乐山课改,9分)如图，反比例函数ky x=的图象与一次函数y mx b =+的图象交于(13)A ，，(1)B n -，两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象回答：当x 取何值时，反比例函数的值大于一次 函数的值．答案：解：（1）(13)A ，在ky x =的图象上，3k ∴=，3y x∴=又(1)B n -，在3y x=的图象上， 3n ∴=-，即(31)B --，313m bm b =+⎧⎨-=-+⎩， 解得：1m =，2b =，反比例函数的解析式为3y x=， 一次函数的解析式为2y x =+，7分（2）从图象上可知，当3x <-或01x <<时， 反比例函数的值大于一次函数的值．第22题. （2007浙江义乌课改，8分）2006义乌市经济继续保持平稳较快的增长态势，全市实现生产总值103.520610⨯元，已知全市生产总值＝全市户籍人口×全市人均生产产值，设义乌市2006年户籍人口为ｘ（人），人均生产产值为ｙ（元）． （1）求ｙ关于ｘ的函数关系式； （2）2006年义乌市户籍人口为706 684人，求2006年义乌市人均生产产值（单位：元，结果精确到个位）：若按2006年全年美元对人民币的平均汇率计（1美元＝7.96元人民币），义乌市2006年人均生产产值是否已跨越6000美元大关？答案：．解：（1）103.520610y x⨯=（x 为正整数）．（x 范围不写不扣分）（2）2006年全市人均生产产值=103.52061049819706684⨯≈（元）∵4981960007.96>∴我市2006年人均生产产值已成功跨越6000美元大关（1分）第23题. （2007重庆 ，4分）如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，点P 在BC 边上运动，连接DP ，过点A 作AE DP ⊥，垂足为E ．设D P x =，AE y =，则能反映y 与x 之间函数关系的大致图象是（ ）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：C第24题. （2007甘肃庆阳课改，3分）矩形面积为26cm ，长为cm x ，那么这个矩形的宽(cm)y 与长(cm)x 的函数关系为 ．答案：6(0)y x x=>第25题. （2007江苏盐城课改，9分）如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O 左侧固定位置B 处悬挂重物A ，在中点O 右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点O 的距离x （cm ），观察弹簧秤的示数y （Ｎ）的变化情况．实验数据记录如下：（1）把上表中()x y ，中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点并观察所得的 图象，猜测y 与x 之间的函数关系，并求出函数关系式； （2）当弹簧杆的示数为24N 时，弹簧秤与O 点的距离是多少cm ？随着弹簧秤与O 点的距离不断减小，弹簧秤上的示数将发生怎样的变化？答案：解：（1）画图略由图象猜测y 与x 之间的函数关系为反比例函数∴设(0)ky k x=≠把1030x y ==，代入得：300k =300y x=∴将其余各点代入验证均适合 （不交代其余各点是否符合扣1分） y ∴与x 的函数关系式为：300y x=（2）把24y =代入300y x=得：12.5x = ∴当弹簧秤的示数为24N 时，弹簧秤与O 点的距离是12.5cm随着弹簧秤与O 点的距离不断减小，弹簧秤上的示数不断增大． 9分第26题. （2007广东佛山课改，3分）若r 为圆柱底面的半径，h 为圆柱的高. 当圆柱的侧面积一定时，则h 与r 之间函数关系的图象大致是( ).答案：B第27题. （2007湖南衡阳课改，3分）若矩形的面积为10，矩形的长为x ，宽为y ，则y 关于x 的函数图像大致是（ ）答案：D第28题. (2007广东课改，7分)如图，在直角坐标系xOy 中，一次函数1y k x b =+的图像与反比例函数2k y x=的图像交于(14)A ，，(3)B m ，两点． （1）求一次函数的解析式； （2）求AOB △的面积．答案：解：（1）点(14)A ，在反比例函数2k y x =的图像上，所以2144k xy ==⨯=，故有4y x=． 因为(3)B m ，也在4y x=的图象上， 所以43m =，即点B 的坐标为433B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，一次函数1y k x b =+过(14)A ，，433B ⎛⎫⎪⎝⎭，两点，所以114433k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，，Ａ． Ｂ．Ｃ．Ｄ．x解得143163k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，所以所求一次函数的解析式为41633y x =-+．（2）解法一：过点A 作x 轴的垂线，交BO 于点F ． 因为433B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以直线BO 对应的正比例函数解析式为49y x =，当1x =时，49y =，即点F 的坐标为419F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 所以432499AF =-=，所以AOB OAF ORF S S S =+△△△132132161(31)29293=⨯⨯+⨯-⨯=， 即AOB △的面积为163．解法二：过点A 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为A '，A ''，过点B 作x 轴的垂线，垂足为B '． 则AOB OAA OBB OA AA A ABB S S S S S ''''''''=+--△△△矩形梯形14114144(31)14323223⎛⎫=⨯+⨯+⨯--⨯⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭163=，即AOB △的面积为163．解法三：过A B ，分别作x y ，轴的垂线，垂足分别为E F ，．由(14)A ，，433B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，得(04)E ，，(30)F ，．设过AB 的直线l 分别交两坐标轴于C D ，两点． 由过AB 的直线l 表达式为41633y x =-+，得(40)C ，，1603D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 由AOB COD AOD BOC S S S S =--△△△△， 得111222AOB S OC OD AE OD OC BF =⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯△142=⨯⨯16311614161423233-⨯⨯-⨯⨯=． 7分x第29题. （2007湖南衡阳课改，3分）若矩形的面积为10，矩形的长为x ，宽为y ，则y 关于x 的函数图像大致是（ ）答案：D第30题. (2007广东课改，7分)如图，在直角坐标系xOy 中，一次函数1y k x b =+的图像与反比例函数2k y x=的图像交于(14)A ，，(3)B m ，两点． （1）求一次函数的解析式；（2）求AOB △的面积．答案：解：（1）点(14)A ，在反比例函数2k y x =的图像上，所以2144k xy ==⨯=，故有4y x=． 因为(3)B m ，也在4y x=的图象上， 所以43m =，即点B 的坐标为433B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 一次函数1y k x b =+过(14)A ，，433B ⎛⎫⎪⎝⎭，两点，所以114433k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，，解得143163k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，所以所求一次函数的解析式为41633y x =-+．（2）解法一：过点A 作x 轴的垂线，交BO 于点F ． 因为433B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以直线BO 对应的正比例函数解析式为49y x =，Ａ． Ｂ．Ｃ．Ｄ．xx当1x =时，49y =，即点F 的坐标为419F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 所以432499AF =-=， 所以AOB OAF ORF S S S =+△△△132132161(31)29293=⨯⨯+⨯-⨯=， 即AOB △的面积为163．解法二：过点A 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为A '，A ''，过点B 作x 轴的垂线，垂足为B '． 则AOB OAA OBB OA AA A ABB S S S S S ''''''''=+--△△△矩形梯形14114144(31)14323223⎛⎫=⨯+⨯+⨯--⨯⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭163=，即AOB △的面积为163． 解法三：过A B ，分别作x y ，轴的垂线，垂足分别为E F ，．由(14)A ，，433B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，得(04)E ，，(30)F ，． 设过AB 的直线l 分别交两坐标轴于C D ，两点． 由过AB 的直线l 表达式为41633y x =-+，得(40)C ，，1603D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 由AOB COD AOD BOC S S S S =--△△△△， 得111222AOB S OC OD AE OD OC BF =⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯△ 142=⨯⨯16311614161423233-⨯⨯-⨯⨯=．。