不等式解题技巧【基本知识】1、若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2、(1)若*,R b a ∈，则ab ba ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）3、0x >若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 4、，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a =b =c 时,“=”号成立；)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.5、若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注意：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”（3）熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a + 【技巧讲解】技巧一：凑项（增减项）与凑系数（利用均值不等式做题时，条件不满足时关键在于构造条件。

通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进行构造）1、 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

2、当04x <<时，求(82)y x x =-的最大值。

3、设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。

4、求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值。

5、已知0>x ,0>y ，且满足1223=+y x ，求y x lg lg +的最大值.6、已知x ，y 为正实数，且1222=+y x ，求21y x +的最大值.7 、若a 、b 、c 0>且324)(-=+++bc c b a a ,求c b a ++2的最小值 .技巧一答案：1、解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

2、解析：由40<<x 知，028>-x ，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。

注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。

当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。

评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。

3、解：∵230<<x ∴023>-x ∴2922322)23(22)23(42=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭⎫⎝⎛∈=23,043x 时等号成立。

4、解析：21(1)2(1)y x x x =+>-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-21111(1)222(1)x x x x --=+++>-3211131222(1)x x x --≥⋅⋅-312≥+52=，当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。

评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。

通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。

5、分析xy y x lg lg lg =+ , xy 是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式x y +是否定值， 而已知是x 3与y 2的和为定值12，故应先配系数，即将xy 变形为623yx ⋅，再用均值不等式.220,032lg lg lg()lg6132112lg lg 6262lg 6x y x y x y xy x y >>⋅+==⎡⎤⎡⎤+⎛⎫⎛⎫≤=⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=解： 当且仅当y x 23=，即2=x ，3=y 时，等号成立. 所以y x lg lg +的最大值是6lg .6、分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab ≤a 2＋b 22。

同时还应化简1＋y 2中y 2前面的系数为 12， x 1＋y 2＝x2·1＋y22＝ 2x ·12 ＋y 22下面将x ，12 ＋y22分别看成两个因式： x ·12 ＋y22≤x 2＋(12 ＋y 22 )22 ＝x 2＋y 22 ＋12 2 ＝34即x1＋y 2＝2 ·x 12 ＋y 22 ≤ 3427、这是一个三元式的最值问题，无法利用2a b ab +≥+b 来解决.换个思路，可考虑将2a b c ++重新组合，变成()()a b a c +++，而()()a b a c ++等于定值423-，于是就可以利用均值不等式了.2,,0,2()()2()()22423232,,31.223 2.a b c a b c a b a c a b a c a ab ac bc b c b c a a b c >++=+++≥++=+++=-=-===--++-解：由知当且仅当即时，等号成立故的最小值为技巧二： 分离或裂项1、求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。

2、求函数1+=1+2x y x x （）（）的值域.1、解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离。

当,即时,421)591y x x ≥+⨯=+（（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。

2、解：可将上式转化为所以值域为：-)22-322+3∞⋃∞（，技巧三：换元1、求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。

2、求函数522++=x x y 的最大值.3、已知正数x 、y 满足811x y+=，求2x y +的最小值。

4、已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2的最大值.2+1[1-1][1+2(x+1-1)]+11 ==12+1-3(1++21+-3+1x y x x x x x x =++（）（）（）（））1（）（）>-1+1>01+21+y +122-3<-1-+1>11+21+=-+2-1--,+1--122+3x x x x x x x x y x x ≥≤≤≥当时，（）2，此时（）当时，（）0（）（（））22此时（）（）参考答案：1、解析：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t =x ＋1，化简原式在分离求最值。

22(1)7(1+10544=5t t t t y t t t t-+-++==++）当,即t =时,4259y t t≥⨯=（当t =2即x ＝1时取“＝”号）。

评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。

即化为()(0,0)()Ay mg x B A B g x =++>>，g (x )恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。

2分析 2x t +=，进行换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来解决.222,0,2,(0)2100;120141222122=.232,24x t t x t t y t t t y t y t t t t t t t x +=≥=-=≥+==>=≤=+⋅==-则当时，当时，当且仅当，即所以时3、解法三：（三角换元法）令228sin 1cos x x x y⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则有228sin 1cos x x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 22822sin cos x y x x+=+2222228csc 2sec 8(1cot )2(1tan )108cot 2tan x x x x x x =+=+++=++22102(8cot )(2tan )x x ≥+⋅18≥，易求得12,3x y ==此时时“=”号成立，故最小值是18。

技巧四：消元（转化为函数最值，此时要注意确定变量的范围）1、已知正数x 、y 满足118=+yx ，求2x y +的最小值。

2、已知a ，b 为正实数，302=++a ab b ，求函数aby 1=的最小值.3、设x 、y 、z 为正实数，032=+-z y x ，则xzy 2的最小值是.解析： 1、解法：（消元法） 由811x y+=得8x y x =-，由00088xy x x x >⇒>>⇒>-又则2x y +22(8)1616162(8)108888x x x x x x x x x x -+=+=+=++=-++----1018≥=。

当且仅当1688x x -=-即12,3x y ==此时时“=”号成立，故此函数最小值是18。

2、法一：a ＝30－2b b ＋1 ， ab ＝30－2b b ＋1 ·b ＝－2 b 2＋30bb ＋1由a ＞0得，0＜b ＜15令t ＝b +1，1＜t ＜16，ab ＝－2t 2＋34t －31t ＝－2（t ＋16t ）＋34∵t ＋16t≥2t ·16t＝8∴ ab ≤18 ∴ y ≥ 118当且仅当t ＝4，即b ＝3，a ＝6时，等号成立。

3、分析 本题也是三元式的最值问题.由题意得32x zy +=，则可对2y xz 进行消元，用,x z 表示，即变为二元式，然后可利用均值不等式解决问题.22223,0,,29666=3,443,,=33.x zx z y y x z xz xz xz xz xz xzyx z x y z y xz +>=+++≥====解：由可得当且仅当即时，取“”.故的最小值为技巧五：整体代换(条件不等式) 1：已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值。

2、已知正数x 、y 满足811x y+=，求2x y +的最小值。

1．错解．．：0,0x y >>，且191x y +=，∴()1912x y x y x y ⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭故 ()min 12x y += 。