2013年全国大学生数学竞赛练习题（一）
1.(第一届全国大学生数学竞赛初赛题)求极限2lim ()0
e x x nx e e e x n x +++→ 2.(第二届初赛题)设22(1)(1)...(1),n n x a a a =+++其中1a <,求lim n n x →∞
. 3.(第一届决赛题)设()f x 在1x =点附近有定义，且在1x =
点可导,(1)0,(1)2f f '==,求220(sin cos )lim tan x f x x x x x
→++. 4.(第二届决赛题)设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数, 且()(0),0,(0)f f f '''均不为0,证明:存在唯一一组实数123,,k k k ，使得 ()()()()1232
0230lim 0h k f h k f h k f h f h →++-=。

5.设()f x 在0x =的某邻域内有二阶导数， 且1
0()lim 13x x f x x x →⎡
⎤++=⎢⎥⎣⎦
,试求(0)f ,(0)f ',(0)f '' 6. (1)若函数()f x 在x 附近有连续的二阶导数，
且()0f x ''≠，则∃θ由中值定理，,使得：0
()=()(),lim ;h f x h f x hf x h →'+++θθ求 (2)若函数()f x 在x 附近有连续的非零n+1阶导数, 则0n ∃θ≠,使得:()()=()()+(),!n n n h f x h f x hf x f x h n θ'+++
+0lim n h θ→求。

7.()lim[lim cos (!)]n m n f x m x π→∞→∞=求函数
(x R ∈)的表达式
8. (刘丛志题)
当0x →时，估计无穷小量()f x 关于x 的阶.
9.求()lim (1)(0)k k n n n k →∞+-> 10.(刘丛志题)设
()lim 20131n n
n n αββ=→∞--,求,αβ的值。

11. (刘丛志题)求lim sin n ⎛
⎝→∞
12.证明:lim sin n n →∞∃ 13.0110,0,(),lim 2n n
n n n
a a
a a a a a +→∞>>=+设求 14.设(1n n a
b =+,其中,n n a b 为正整数,求lim
n n n a b →∞. 15.(1)证明:(斯托尔兹定理) 12n +++lim lim n n n a a a a a a n
→∞→∞=若=，则 (2)设11(0,1),(1)n n n x x x x +∈=-,试利用斯托尔兹定理证明lim 1n n nx →∞=
(3)(第三届初赛题)若存在正整数p ,使得lim )n p n n a a λ+→∞-=（,试利用斯托尔兹定理证明lim n n a n p λ→∞=。