7.2 水文模型常用的数学方法
7.2.1 水文模型中的数学方程
（1）简单的一般数学方程构成的水文模型
地下水运动“达西定律”公式 v=K·J
式中，v为渗流速度，K 为渗透系数，J为水力坡度。
（2）微积分方程构成的水文模型
潜水运动的基本微分方程（二维非稳定非均质潜水Boussinesq方程）
承压水运动的基本微分方程（三维非稳定非均质承压水方程）
从系统观点出发，水文系统 包括：输入、系统状况和输出。
系统的特性可 从不同的方面 加以分类:
（1）线性与非线性 （2）时变与时不变 （3）时变与时不变 （4）确定性与不确定性
7.5 水文系统分析常用的数学方法
7.5.1 水文系统的概念
➢ 由于水文系统十分复杂，水文非线性现象比较普遍，促使人 们注意研究水文系统的非线性问题。
（2）
然后，选择适当的 系统识别准则，利 用可以观测到的原 型信息（即水文资 料）去估计模型中 的未知部分，并作 出必要的检验。
（3）
最后应用于实际或 反馈作再次改进。
水文系统识别的一般程序
7.5 水文系统分析常用的数学方法
7.5.3 水文系统识别方法
系统理论模型
概念性水文模型
水文模型类
构建了新疆博斯腾湖流域、 伊犁河流域、 额尔齐斯河流域 的概念性水文模型结构， 并进行参数识别。
遗传算法以一种群体中的所有个体 为对象，并利用随机化技术指导对一个被 编码的参数空间进行高效搜索。
遗传算法的基本运算过程如下：
（1）编码； （2）初始群体的生成； （3）适应性评估检测； （4）选择； （5）交换； （6）变异。
简单的遗传算法流程图
7.2 水文模型常用的数学方法
7.2.3 水文模型参数率定常用的数学方法
有限体积法的基本思路是：将计算区域划分为一系列不重叠的、形状规则或不规 则的单元或控制体，将待解的微分方程对每一个控制体积分，得出一组离散方程。其中 的变量定义在控制体的形心，是网格点上的因变量的数值。根据控制体内质量、动量守 恒定律列出质量、动量平衡方程，在计算出通过每个控制体边界沿法向输入输出量后， 对每个控制体分别进行质量和动量平衡计算，即可求出待求未知量。
（1）最小二乘法
举例：
一般最小二乘法原理：
一组实验观测数据（xi, yi）（i=1, 2, …, m）
在研究某一个问题时，往往通过建立一个模型来求得
x与y有线性函数关系（y=ax+b）
某些量的理论值，通过实验与观测手段可以得到其观测值。 存在偏差
由于种种原因，如模型不完全正确以及观测有误差等，理 论值与观测值会存在差距，这些差距的平方和H=∑(理论值观测值)2可以作为理论与实测符合程度的度量。
式中，H为地下水水头，h为潜水流厚度，K为渗透系数， 为潜水含水层给水度，W为源汇项 水量交换强度，t为时间，x、y、z为坐标 系, 为储水率（或释水率）
（3）分布式水文模型的构建过程将在本书第8章专门介绍
7.2 水文模型常用的数学方法
7.2.2 水文模型求解常用的数值方法
（1）有限差分法
有限差分法的基本思想是：把微分方程连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来 代替，然后用各离散格点上待求函数的差商来近似代替该点的微商，原微分方程和定解条 件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散 点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。
有限差分的 格式划分：
从精度上
一阶格式 二阶格式 高阶格式
从差分空间形式
中心格式 和风格式
从时间因子的影响
显格式 隐格式 显隐交替格式
7.2 水文模型常用的数学方法
7.2.2 水文模型求解常用的数值方法
（1）有限差分法
7.2 水文模型常用的数学方法
7.2.2 水文模型求解常用的数值方法
（1）有限差分法
条件：
D0
=
(u,
Y
)T t =1
;
In ,
= M N
*
目标： E = → M N
*
要求： E = min , 且 M N D0
式中，
7.5 水文系统分析常用的数学方法
7.5.3 水文系统识别方法
（1）
首先依据研究的问 题（水文分析、预 报，水库调度，水 资源评价等），由 水文学原理和系统 方法确定模型类。
（3）贝叶斯方法
贝叶斯方法的主要特点是： 1）在获得后验分布后，即使丢掉总体信息和样本信息，也不影响 对参数的统计推断。 2）将观察数据的不确定性和因估计和预测中的误差而引起的不确 定性有效结合起来。
7.2 水文模型常用的数学方法
7.2.4 水文模型参数灵敏度分析的数学方法
水文模型参数的灵敏度分析（Sensitivity analysis）就是研究参数变 化所引起的模型响应，是模型参数不确定分析的重要内容之一，也是 学习、研发和评价模型不可缺少的重要环节。
（3）贝叶斯方法
贝叶斯理论认为未知参数是一个随机变量，记为
它的估计值则是此随机变量的一个抽样值。
根据过去的经验，人们对参数 已积累了一些知识，服从一概率分布 h( )
贝叶斯理论观点认为获得样本X的目的是对 的先验知识进行调整，在获得
( ) 样本X后，标定出参数在给定X时的条件分布h X ，而这个条件分布就反
➢ 由于处于边界上的奇异解在线性代数方程组的系数矩阵中会有最大的 对角线主元，因此，代数方程组不会是病态的，可以减少计算误差的 积累；
➢ 离散化的误差只发生在边界，而域内函数值和其导数值是直接用解析 公式计算的。函数值和其导数值的计算精度是相同的。
7.2 水文模型常用的数学方法
7.2.3 水文模型参数率定常用的数学方法
极值分布曲线
▪ 三种形式：极值Ⅰ 型，曲线两端无限
对数Γ分布曲线
▪将Γ分布中的变数取 对数转换而得 ▪对资料要求较高
7.4 水文统计常用的数学方法
7.4.2 参数估计中的数学方法
（1）
（2）
（3）
（4）
矩估计法 适线法
利用样本矩来 估计总体矩， 用样本矩的函 数来估计总体 矩的函数
将所选的频 率曲线配适 经验点的方 法，使其拟 合最佳
权函数法
要点是权函 数类型的选 取，经推导 取正态密度 函数。
极大似然法
在参数的可 能取值范围内， 选取使似然函 数L()达到最 大的参数值， 作为参数的 估计值
7.5 水文系统分析常用的数学方法
7.5.1 水文系统的概念
水文系统是地球大气圈环境 内由相互作用和相互依赖的若干 水文要素组成的具有水循环（演 变和转换）功能的整体。
计算单元网格 的形状 •三角形网格 •四边形网格 •多边形网格
权函数的选择 •配置法 •矩量法 •最小二乘法 •伽辽金法
插值函数的 精度 •线性插值函数 •高次插值函数
单元坐标 •笛卡尔直角 坐标系 •无因次自然 坐标
7.2 水文模型常用的数学方法
7.2.2 水文模型求解常用的数值方法
（3）有限体积法
映了人们对参数的新认识。
h(
X
)
=
h(X )h(
h(X )
)
，由于 h( X )d = h(X )h( )d / h(X ) = 1
h(
X)=
h(X )h( ) h(X )h( )d
= c h(X )h( )
7.2 水文模型常用的数学方法
7.2.3 水文模型参数率定常用的数学方法
一阶差商的定义式为： f (x) = f (x + h) − f (x)
x
h
当增量h很小时，可以用差商来近似代替微商，即：
df (x) f (x) = f (x + h) − f df (x) f (x) = f (x) − f (x − h)
dx x
h
或 df (x) f (x) = f (x + h) − f (x − h)
第七章 水文数学分析方法
研究生适用教材： 现代水文学（新1版）. 中国水利水电出版社，2019
7.1 概述 7.2 水文模型常用的数学方法 7.3 水文时间序列常用的数学方法 7.4 水文统计常用的数学方法 7.5 水文系统分析常用的数学方法 7.6 水文数学分析研究进展与展望
7.1 概述
水文学中有大量的数据需要进行计算 和分析，借用了广泛的数学知识或数 学工具。
7.5.3 水文系统识别方法
水文系统识别是从水文过程的观测中，确定一个能在一定逼近
意义下与水文原型过程相匹配的数学模型。
具体地说，水文系统识别是依据水文系统的输入～输出
u,
Y
T t =1
和其他水文信息 In ，在指定的水文模型集 = M N 中确定出一个具体
的模型M ，它在数学上与原型的实际观测数据和概念相符合。
➢ 水文过程的非线性是客观存在的，其变化机理比较复杂（像 流域的调蓄关系、洪水波速的变化等），它们在整体上表现 为降雨～径流的关系不满足线性叠加原理这一特点，即水文 系统的非线性。
7.5 水文系统分析常用的数学方法
7.5.2 系统分析方法及其在水文学中的应用
系统分析方法，就是把对象放在系统中加以考察的一种方法论。 从技术方法来看，系统分析方法充分利用运筹学、概率论、信息论 以及控制论中丰富的数学语言，定量地描述对象的运动状态和规律。
dx x
2h
一阶向前差分 一阶向后差分 一阶中心差分
7.2 水文模型常用的数学方法
7.2.2 水文模型求解常用的数值方法
（1）有限差分法
有限差分法的求解过程为： ➢ 首先，将原微分方程离散化为差分方程组。 ➢ 其次，求解差分方程组。
另外，为了保证计算过程的可行和计算结果的正确， 还需从理论上分析差分方程组的性态，包括解的唯一性、 存在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性。