力的合成与分解一、力的合成1．合力与分力（1）定义：如果一个力的作用效果跟几个力共同作用的效果相同，这一个力就叫那几个力的合力，那几个力就叫这个力的分力。

（2）逻辑关系：合力和分力是一种等效替代关系。

2．共点力：作用在物体上的力的作用线或作用线的反向延长线交于一点的力。

3．力的合成的运算法则（ 1）平行四边形定则：求两个互成角度的共点力 F1 、F2 的合力，可以用表示F1 、F2 的有向线段为邻边作平行四边形，平行四边形的对角线（在两个有向线段F1、F2 之间）就表示合力的大小和方向，如图甲所示。

（2）三角形定则：求两个互成角度的共点力F1、F2的合力，可以把表示 F1、F2 的线段首尾顺次相接地画出，把 F1、F2 的另外两端连接起来，则此连线就表示合力的大小和方向，如图乙所示。

4．力的合成方法及合力范围的确定（1）共点力合成的方法①作图法②计算法：根据平行四边形定则作出示意图，然后利用解三角形的方法求出合力。

（2）合力范围的确定①两个共点力的合力范围： | F1–F2|≤F≤F1+F2，即两个力的大小不变时，其合力随夹角的增大而减小。

当两个力反向时，合力最小，为| F1–F2| ；当两个力同向时，合力最大，为F1+F2。

②三个共点力的合成范围A．最大值：三个力同向时，其合力最大，为F max=F1+F2+F3。

B．最小值：以这三个力的大小为边，如果能组成封闭的三角形，则其合力的最小值为零，即F min=0；如果不能，则合力的最小值的大小等于最大的一个力减去另外两个力和的绝对值，即 F min =F1–| F2+F3| （ F1为三个力中最大的力）。

（3）解答共点力的合成问题时的两点注意①合成力时，要正确理解合力与分力的大小关系。

合力与分力的大小关系要视情况而定，不能形成合力总大于分力的思维定势。

②三个共点力合成时，其合力的最小值不一定等于两个较小力的和与第三个较大的力之差。

二、力的分解1．概念：求一个力的分力的过程。

2．遵循的原则：平行四边形定则或三角形定则。

3．力的分解方法（1）力的效果分解法①根据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向；②再根据两个实际分力的方向画出平行四边形；③最后由平行四边形和数学知识求出两个力的大小。

（2）按问题的需要进行分解①已知合力 F和两个分力的方向，可以唯一地作出力的平行四边形，对力 F 进行分解，其解是唯一的。

②已知合力 F和一个分力的大小与方向，力 F 的分解也是唯一的。

③已知一个分力 F1的方向和另一个分力 F2 的大小，对力 F 进行分解，则有三种可能（ F1 与 F 的夹角为θ）。

如图所示：A．F2<Fsin θ时无解。

B． F2=Fsin θ或 F2≥F时有一组解。

C． Fsin θ<F2<F时有两组解。

4．下表是高中阶段常见的按效果分解力的情形。

重力分解为使球压紧挡板的分力F1=mg tan α 和使球压紧斜面的分力mgF2=重力分解为使球压紧竖直墙壁的分力F1=mgtan α和使球拉紧悬线的分力mgF2=cos小球重力分解为使物体拉紧 AO 线的分力 F2 和使物体拉紧 BO线的分力 F1，大小都为 F1=F2= mg2sinF 拉力分解为拉伸 AB的分力 F1=Ftan α和压缩 BC 的分力 F2= cos 5．正交分解法1）定义：将已知力按互相垂直的两个方向进行分解的方法。

2）建立坐标轴的原一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分分解力为原则（即尽量多的力在坐标轴上）；在动力学中，以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系。

F1、F2、F3 ·，求合力 F 时，可把各力沿相互垂直的x 轴、 y 轴分解，如图所示。

x 轴上的合力： F x=F x1+F x2+F x3+ · y 轴上的合力： F y=F y1+F y2+F y3+ · 合力大小：FFx2 Fy26．力的效果分解法、正交分解法、合成法都是常见的解题方法一般情况下，物体只受三个力的情形下，力的效果分解法、合成法解题较为简单，在三角形中找几何关系，利用几何关系或三角形相似求解；而物体受三个以上力的情况多用正交分解3）分解方法：物体受到多个作用力合力方向：与 x 轴夹角为θ，则tanF y法，但也要视题目具体情况而定。

（1）力的正交分解是在物体受三个或三个以上的共点力作用下求合力的一种方法，目的是为了更方便地求合力，将矢量运算转化为代数运算。

（ 2）一般情况下，应用正交分解法建立坐标系时，应尽量使所求量（或未知量）“落”在坐标轴上，这样解方程较简单。

三、矢量和标量（1）矢量：既有大小又有方向的量。

相加时遵循平行四边形定则。

（2）标量：只有大小没有方向的量。

求和时按算术法则相加。

题型分类深度解析【例1】一物体受到三个共面共点力 F1、 F2、 F3 的作用，三力的矢量关系如图所示（小方格边长相等），则下列说法正确的是A．三力的合力有最大值 F1+F2+F3，方向不确定B．三力的合力有唯一值 3F3，方向与 F3 同向C．三力的合力有唯一值 2F3，方向与 F3 同向D．由题给条件无法求出合力大小【参考答案】 B【详细解析】考查力的平行四边形定则。

对于给定的三个共点力，其大小、方向均确定，则合力的大小唯一、方向确定，排除AC；根据图表，可先作出 F1、F2的合力，不难发现 F1、 F2的合力方向与 F3同向，大小等于 2F3，根据几何关系可求出合力大小等于3F3，B 对。

变式练习1．三个共点力大小分别是 F1、F2、F3，关于它们的合力 F 的大小，下列说法中正确的是A． F 大小的取值范围一定是0≤F≤F1+F2+F3B． F至少比 F1、 F2、 F3 中的某一个大C．若 F1:F2:F3=3:6:8 ，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零D．若 F1:F2:F3=3:6:2，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零分解的【答案】 C2．两个共点力 F1与 F2的合力大小为 6 N，则 F1与 F2 的大小可能是A．F1=2 N，F2=9 N B．F1=4 N， F2=8 NC． F1=1 N，F2=8 N D．F1=2 N， F2=1 N【答案】 B【解析】由于合力大小为：| F1–F2| ≤F≤|F1+F2| ，可通过以下表格对选项进行分析例 2 】如图所示，质量为 M 的斜面体 A放在粗糙水平面上，用轻绳拴住质量为 m 的小球B置于斜面上，整个系统处于静止状态，已知斜面倾角及轻绳与竖直方向夹角均为θ=30°。

不计小球与斜面间的摩擦，则3A．轻绳对小球的作用力大小为 mg3B．斜面对小球的作用力大小为 2 mgC．斜面体对水平面的压力大小为(M+m)g【参考答案】 AD【详细解析】以 B 为研究对象，受力如图甲所示。

由几何关系知θ=β=30°；根据受力平衡3可得F T=F N= mg；以斜面体为研究对象，其受力如图乙所示，由受力平衡得F N1=Mg +F N′ cos3变式练习1．将物体所受重力按力的效果进行分解，下列图中错误的是答案】 C【解析】 A 项中物体重力分解为垂直于斜面使物体压紧斜面的分力 G 1 和沿斜面向下使物体向下滑的分力 G 2；B 项中物体的重力分解为沿两条细绳使细绳张紧的分力 G 1 和 G 2，A 、B项图均画得正确。

C 项中物体的重力应分解为垂直于两接触面使物体压紧两接触面的分力G 1和 G 2，故 C 项图画错。

D 项中物体的重力分解为水平向左压紧墙的分力 G 1和沿绳向下使绳张紧的分力 G 2，故 D 项图画得正确。

2．如图所示，将力 F 分解为 F 1和 F 2两个分力，已知 F 1的大小和 F 2与 F 之间的夹角α，且 α为 锐角，则A ．当 F 1>Fsin α时，一定有两解B ．当 F 1=Fsin α时，有唯一解C ．当 F 1<Fsin α时，无解D ．当 Fsin α<F 1<F 时，一定有两解【答案】 BCD1θ=Mg+ mg ，F =F ′ 3 si θn = 3 mg ，故 BC 两选项AD 选项正确。

3．如图所示，斜劈静止在水平地面上，有一物体沿斜劈表面向下运动，重力做的功与克服力做的功相等。

则下列判断中正确的是A．物体可能加速下滑B．物体可能受三个力作用，且合力为零C．斜劈受到地面的摩擦力方向一定水平向左D．撤去 F 后斜劈一定受到地面的摩擦力【答案】 B【解析】对物体受力分析如图。

由重力做的功与克服力 F 做的功相等可知，重力的分力 G1=F1，若斜劈表面光滑，则物体匀速运动，若斜劈表面粗糙，则物体减速运动，故 A错误，B 正确。

若 F N 与 F f 的合力方向竖直向上，则斜劈与地面间无摩擦力， C 错误。

撤去 F 后，若 F N 与F f的合力方向竖直向上，则斜劈与地面间无摩擦力，故 D 错误。

4．一个底面粗糙、质量为M 的劈放在粗糙的水平面上，劈的斜面光滑且与水平面成30 °角；现用一端固定的轻绳系一质量为m 的小球，小球放在斜面上，小球静止时轻绳与竖直方向的夹角也为 30°，如图所示，试求：1）当劈静止时绳子的拉力大小。

2）当劈静止时地面对劈的摩擦力的大小。

答案】（ 1） T 3mg （ 2） f 3 mg （3） k 3m3 6 6M 3m解析】（1）以小球为研究对象，受力分析如图所示，对T和 mg进行正交分解。

由物体的平衡条件可知： T cos 30 =mg sin 30得： T 3mg（2）以劈和小球整体为研究对象，整体受力情况如图所示由物体平衡条件可得： f T cos60 = 3mg6（ 3）为使整个系统静止，要求f kF N T cos 60而 F N Tsin 60 (M m)g【例 3】 关于矢量和标量，下列说法中正确的是A ．标量只有正值，矢量可以取负值B ．标量和矢量无根本区别C ．标量和矢量，一个有大小无方向、另一个有大小也有方向D ．当物体做单方向的直线运动时，标量路程和矢量位移是一回事【参考答案】 C【详细解析】 标量只有大小没有方向，但有正负之分。

矢量可以用符号表示方向，故 A 错 误；矢量与标量有两大区别：一是矢量有方向，标量没有方向；二是运算法则不同，矢量运算 遵守平行四边形定则，标量运算遵守代数加减法则，故 B 错误， C 正确；当物体做单向直线运 动时，标量与矢量大小相等，但两者不是一回事，故 D 错误。

变式练习1．物理量有矢量和标量，下列描述正确的是A ．位移是矢量B ．力是标量C ．功是矢量D ．速度是标量【答案】 A【解析】 位移是既有大小又有方向的量，是矢量，故 A 正确；力是既有大小又有方向的量， 是矢量，故 B 错误；功是只有大小没有方向的量，是标量，故 C 错误。