§1.2 力的合成与分解
一、力的合成
1．合力与分力．
如果一个力产生的效果和其他几个力同时作用产生的 效果 相同，那么这个力就叫做那几个力的 合力 ， 那几个力就叫做这个力的 分力． 合力与分力是 等效替代 关系．
2．共点力． 多个力都作用在物体的 同一点，或者它们的延长线交 于 同一点，则这几个力称为共点力．
图1－2－15
解析：对球受力分析如图1－2－16所示，受重力G、墙对 球的支持力F′N1和板对球的支持力F′N2而平衡．作出F′N1 和F′N2的合力F，它与G等大反向．
当板BC逐渐放至水平的过程中，F′N1的方向不变，大 小逐渐减小，F′N2的方向发生变化，大小也逐渐减小；如图 所示，由牛顿第三定律可知：FN1＝F′N1，FN2＝F′N2，故选 项B正确．
例如：图1－2－5中所示三角架，在O点所挂重物的重力 可分解为如图1－2－6(a)所示的拉AO的力F1和压OB的力F2， F1、F2、G构成平行四边形，F1＝G/sinα，F2＝Gcotα.对O点及 重物整体受力分析如图1－2－6(b)所示，受重力G，AO对O点 的拉力F3，BO对O点的支持力F4.因三角架平衡，G、F3、F4三 个力合力为零，其中某个力必定与余下的两个力的合力等值 反向，如图F3、F4的合力与G等大反向，故F3＝G/sinα，F4＝ Gcotα.
二、力的分解
1．力的分解：求一个力分的力 的过程，力的分解与力的合 成互为 逆运算．
2．遵从原则： 平行四边形定则．
3．矢量运算法则．
(1)平行四边形定则．
(2)三角形定则：把两个矢量的 首尾 顺次连接起来， 第一个矢量的首到第二个矢量的尾的有向线段 为合矢量．
特别提示：(1)合力不一大定于分力；
挡板A、B所受压力之比：FF1′1 ＝GGtsainnθθ＝co1sθ， G
斜面受两小球压力之比：FF2′2 ＝Gccoossθθ＝co1s2θ.
答案：co1sθ
1 cos2θ
图1－2－8
方法总结：按力的作用效果分解力，其关键是根据力的实际效果 确定两个分力的方向，并画出力的平行四边形，将其转化为一个根据 已知边角关系求解的几何问题，其基本思路可表示为：
答案：C
题型一 按力的实际作用效果分解力 【例1】 如图1－2－7所示，光滑斜面的倾角为θ，有两 个相同的小球，分别用光滑挡板A、B挡住，挡板A沿竖直方 向，挡板B垂直于斜面，则两挡板受到小球压力的大小之比为 ________，斜面受到两个小球压力大小之比为__________．
图1－2－7
解析：球1重力分解如图1－2－8(a)所示，F1＝Gtanθ，F2＝ coGsθ；球2重力分解如图1－2－8(b)所示，F1′＝Gsinθ，F2′＝Gcosθ.
图1－2－4
2. 建立平面直角坐标系的原则． 要尽量少分解未知矢量，使问题解答简便．
在求解多个力的合力时，正交分解法比矢量合成法更简 单，正交分解法是在牛顿运动定律中使用更普遍的一种重要 方法．
3．正交分解的实质是将矢量运算转化为代数运算．
疑难点三．力的分解图和物体的受力分析图的区别是什 么？
名师在线：力的分解图的研究对象是某个力，研究此力 可分解成怎样的力．由合力、分力一定能组成平行四边 形．物体受力分析图的研究对象是某个物体，图中示意出该 物体受到了怎样的外力，它们不存在合力、分力的关系．
图1－2究 对 象 ， 受 力 分 析 如 图 1 － 2 － 12 所
示．以C点为坐标原点，沿水平方向和竖直方向建立平面直
角坐标系．沿x轴方向有
FBsin45°－FAsin30°＝0， 沿y轴方向有 FAcos30°＋FBcos45°－G＝0， 联立两方程解得 绳AC对物体的拉力FA＝100( 3－1) N. 绳BC对物体的拉力FB＝50 2( 3－1) N. 答案：100( 3－1)N 50 2( 3－1)N
解析：图设1－两2－分9力为F1、F2，画出图的1平－行2－四10边形如图1－2－ 10所示．
由图可知：F1＝taFnα＝tanG30°，
F2＝siFnα＝sinG30°，
得FF12＝tsainn3300°°＝cos30°＝
3 2.
因为AB、AC能承受的最大作用力之比为
F1m F2m
＝
2 1
000 000
图1－2－5
图1－2－6
易错点一 不理解合力与分力的等效替代关系导致出错．
自我诊断1 重力为G的物体静止在倾角为α的斜面上，将 重力G分解为垂直斜面向下的力F1和平行斜面向下的力F2，那 么( )
A．F1就是物体对斜面的压力 B．物体对斜面的压力方向与F1方向相同，大小为Gcosα C．F2就是物体受到的静摩擦力 D．物体受到重力、斜面对物体的支持力、静摩擦力、 F1和F2共五个力的作用
C．F1－F2≤F≤F1＋F2
时最D小解．为析F1F：21－－共FF222点≤. 的F2≤两F个12＋力F合22 成，同向时最大为F1＋F2，反向 答案：C
3．物体在斜面上保持静止状态，下列说法错误的是( ) A．重力可分解为沿斜面向下的力与对斜面的压力 B．重力沿斜面向下的分力与斜面对物体的静摩擦力相平衡 C．物体对斜面的压力与斜面对物体的支持力是一对平衡力 D．重力垂直于斜面方向的分力与斜面对物体的支持力相平 衡
答案：B
易错点二 审题不认真导致出错
自我诊断2 质量为m的物体沿倾角为θ的固定斜面匀速下 滑， 则斜面对物体的作用力为( )
A．mgsinθ，方向沿斜面向上 B．mgcosθ，方向垂直斜面向上 C．mg，方向竖直向上 D．mgsinθ，方向沿斜面向下
解析：由于物体在斜面上匀速下滑，即m所受的合力为 零，又因为m受到重力、斜面对它的支持力以及斜面给它的 摩擦力，这三个力的合力为零，即必有斜面对它的支持力以 及斜面对它的摩擦力的合力与它的重力大小相等、方向相 反．所以斜面对物体作用力大小应为mg，方向竖直向上．
(2)合力与它的分力是力的效果上的一种 关系而不是力的本质上的替代．
等效替代
1．关于两个大小不变的共点力与其合力的关系，下列说 法正确的是( )
A．合力大小随两力夹角增大而增大 B．合力的大小一定大于分力中最大者 C．两个分力夹角小于180°时，合力大小随夹角减小而 增大
D．合力的大小不能小于分力中最小者
|F1－F1F＋2|F2，≤F方≤F向1＋与F2F. 1、F2的方向都相同，即合力F的范围
(2)三个或三个以上力的合力最大值是各力大小的代数和， 最小值可能为零，也可能不为零：若其中最大的力F1小于或 等于其余力的代数和F′，则合力F的最小值Fmin＝0；若其中 最大的力F1大于其余力的代数和F′，则合力F的最小值Fmin＝ F1－F′.
F1的水平分力：F1x＝F1cos60°＝100 N， F1的竖直分力：F1y＝F1sin60°＝100 3 N. 在x轴上二力平衡，地面对人的摩擦力Ff＝F1x＝100 N. 在y轴上三力平衡，地面对人的支持力FN＝G－F1y＝(500－100 3) N＝100(5－ 3) N＝326.8 N.
3．力的合成． 求几个力的合力 叫做力的合成．
4．平行四边形定则． 它的对以角表线示表F1、示F2的有合力向线的段大为小邻和边方作向，如图平1行－四2－边形1所示，．
图1－2－1 5．关于合力范围的确定．
(1)二力合成时，若F1、F2大小确定，则二力的夹角θ越小， 合较力大大．越 的分力方当向θ相＝同180；°当时θ，＝合0°力时最，小合，力F＝最|大F1－，FF2＝| ， 方 向 与
解析：合力与分力是一种等效替代关系，以本题为例，所谓
“等效”是指两分力F1和F2共同作用产生的效果与真实力G(合力) 产生的效果相同；所谓“替代”是指在分析和处理问题时，如果
用了两分力F1和F2，就不能再用真实力G，否则力就多了，要对物 体进行受力分析时，只分析物体实际受到的力，故D选项错误．
某几个真实力的合力或某一真实力的分力，是为了研究问题
图1－2－2 A．只要知道另一个分力的方向就可得到确定的两个分 力 B．只要知道F1的大小，就可得到确定的两个分力 C．如果知道另一个分力的大小，一定可以得到唯一确 定的两个分力 D．另一个分力的最小值是Fsinθ 答案：ABD
疑难点一．用力的矢量三角形定则分析力最小的规律． 名师在线：1.当已知合力F的大小、方向及一个分力F1的 方向时，另一个分力F2最小的条件是：两个分力垂直，如图1 －2－3(a)．最小的分力F2＝Fsinα.
实际 分析力的 确定分 作出平行 数学计算 问题 作―用―效→果 力方向 四―边―→形 求分力
创新预测1 如图1－2－9所示，用一个轻质三角支架悬挂重物，已知 AB杆所能承受的最大压力为2 000 N．AC绳所能承受的最大 拉力为1 000 N，α＝30°，为不使支架断裂，求悬挂的重物 应满足的条件．
＝2＞
3 2
，当
悬挂物重力增加时，对AC绳的拉力将先达到最大值，所以为不使三角
架断裂，计算中应以AC绳中拉力达到最大值为依据，即取F2＝F2m＝1 000 N，于是得悬挂物的重力应满足的条件为Gm≤F2sin 30°＝500 N.
答案：Gm ≤500 N
题型二 正交分解法的应用
【例2】 如图1－2－11所示，用绳AC和BC吊起一重100 N 的物体，两绳AC、BC与竖直方向的夹角分别为30°和45°. 求绳AC和BC对物体的拉力的大小．
答案：326.8 N 100 N
题型三 图解法分析力的变化问题
【例3】 如图1－2－15所示，把球夹在竖直墙面AC和木 板BC之间，不计摩擦，球对墙面的压力为FN1，球对板的压力 为FN2，在将板BC逐渐放至水平的过程中，下列说法中正确的 是( )
A．FN1和FN2都增大 B．FN1和FN2都减小 C．FN1增大，FN2减小 D．FN1减小，FN2增大
解析：在斜面上保持静止的物体，其重力可分解为沿斜面向 下的力和垂直于斜面的力，这个垂直于斜面的力并不是物体对斜 面的压力，两者的作用点不同，力的性质也不同．只不过是两者 的大小相等，方向相同而已．