证明：(1)如图所示，取B1D1的中点O1，连接CO1， A1O1，
由于多面体ABCD-A1B1C1D1是四棱柱， 所以A1O1∥OC，A1O1＝OC. 因此四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1O∥O1C. 又O1C⊂平面B1CD1，A1O⊄平面B1CD1， 所以A1O∥平面B1CD1.
(2)因为AC⊥BD，E，M分别为AD，OD的中点， 所以EM⊥BD. 又A1E⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， 所以A1E⊥BD. 因为B1D1∥BD，所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1. 又A1E，EM⊂平面A1EM，A1E∩EM＝E， 所以B1D1⊥平面A1EM. 又B1D1⊂平面B1CD1， 所以平面A1EM⊥平面B1CD1.
求证：(1)PE⊥BC； (2)平面PAB⊥平面PCD； (3)EF∥平面PCD.
证明：(1)因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥ AD.
因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD. 所以PE⊥BC.
(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD. 又因为平面PAD⊥平面ABCD，所以AB⊥平面 PAD， 所以AB⊥PD. 又因为PA⊥PD，且AB∩PA＝A， 所以PD⊥平面PAB. 由PD⊂平面PCD，得平面PAB⊥平面PCD. (3)取PC中点G，连接FG，DG.
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1.批评对作品的意义不言而喻。好的 批评如 同灯光 ，指引 着作品 从暗处 走向前 台。近 些年的 诗歌批 评中， 不乏这 样的经 典或中 肯之作 。
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2.但与此同时，诗歌批评庸俗化的趋 势越来 越明显 ，不少 诗歌批 评为了 应酬需 要，违 心而作 ，学术 含量可 疑，甚 至堕落 为诗人 小圈子 里击鼓 传花的 游戏道 具。这 类批评 对诗歌 创作来 说类同 饮鸩止 渴，还 不如索 性没有 的好。
断；二是结合长方体模型或实际空间位置(如课桌、教室) 做出判断，要注意定理应用准确、考虑问题全面细致．
3．不要忽略异面直线所成的角的范围 求异面直线所成的角的时候，要注意它的取值范围 是(0°，90°]． 两异面直线所成的角转化为一个三角形的内角时， 容易忽略这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的 角，也可能等于其补角．
专题3 空间角的计算 空间角包括异面直线所成角、线面角、二面角，常 以选择、填空、解答题形式考查，难度中档以上．主要 考查转化思想与空间想象能力． [例3] 如图所示，正方体的棱长为1， B′C∩BC′＝O，求： (1)AO与A′C′所成角的度数； (2)AO与平面ABCD所成角的正切值； (3)平面AOB与平面AOC所成角的度数．
确．垂直于同一条直线的两条直线可能相交、平行或异
面，③不正确．④正确．
答案：B
专题2 平行和垂直的判定证明 线线、线面、面面的平行与垂直的判定和性质是本 章的重点．线线、线面、面面垂直的判定与性质之间并 非孤立的，可以相互转化，可以利用这些判定和性质解 决相关平行与垂直的证明等线、面问题．在高考中，常 以解答题形式出现，其中线面平行和垂直是重中之重． [例2] (2018·北京卷)如图，在四棱锥P-ABCD中， 底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD， PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．
因为四边形ABCD是平行四边形， 所以O是BD的中点，所以OF∥PD. 又OF⊄平面PMD，PD⊂平面PMD，所以OF∥平面 PMD. 又AM 12PB，所以PF MA. 所以四边形AFPM是平行四边形，所以AF∥PM. 又AF⊄平面PMD，PM⊂平面PMD， 所以AF∥平面PMD. 又AF∩OF＝F，AF⊂平面AFC，OF⊂平面AFC， 所以平面AFC∥平面PMD.
[变式训练] 如图所示，四边形ABCD是 平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB， PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平 面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不 存在，请说明理由．
解：当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD. 证明如下：如图，连接BD和AC交于点
O，连接FO，那么PF＝12PB.
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
章末复习课 [整合·网络构建]
[警示·易错提醒] 1．不要随意推广平面几何中的结论 平面几何中有些概念和性质，推广到空间中不一定 成立．例如“过直线外一点只能作一条直线与已知直线 垂直”“垂直于同一条直线的两条直线平行”等性质在 空间中就不成立． 2．弄清楚空间点、线、面的位置关系 解决这类问题的基本思路有两个：一是逐个寻找反 例做出否定的判断或逐个进行逻辑证明做出肯定的判
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3.批评文章却写得天花乱坠，一再上 演“皇 帝的新 衣”闹 剧。这 些批评 牵强附 会、肆 意升华 ，外延 无限扩 张，乃 至另起 炉灶， 使批评 成为原 创式的 畅想， 早已失 去了与 原作品 的联系 。
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4.评庸俗化表现为概念代替文本，行 为代替 写作。 较之个 体性的 埋头创 作，不 少诗人 似乎更 喜欢混 个脸熟 ，在这 样的背 景和语 境下， 诗歌批 评基本 沦为诗 人间的 交际和 应酬。 哪怕是 纷纷攘 攘的流 派或主 义之争 ，也往 往是你 方唱罢 我登场 ，名目 噱头不 少，却 未见得 与文学 和读者 有何关 系。
[变式训练] 如图所示，平面角为锐角的二面角 α-EF-β，A∈EF，AG⊂α，∠GAE＝45°，若AG与β所成 角为30°，求二面角α-EF-β的大小．
解：如图，作GH⊥β于点H，作HB⊥EF于点B，连 接GB.
则GB⊥EF，∠GBH是二面角的平面 角．
又∠GAH是AG与β所成的角，
设AG＝a，则GB＝ 22a，GH＝12a，
(2)如图所示，作OE⊥BC于点E，连接
AE，
因为平面BC′⊥平面ABCD，
所以OE⊥平面ABCD，
∠OAE为OA与平面ABCD所成的角．
在Rt△OAE中，OE＝12，
AE＝ 12＋122＝ 25，
所以tan∠OAE＝OAEE＝
5 5.
(3)因为OC⊥OA，OC⊥OB，所以OC⊥平面AOB. 又因为OC⊂平面AOC，所以平面AOB⊥平面AOC. 即平面AOB与平面AOC所成角的度数为90°. 归纳升华 求空间角的问题，无论哪种情况，最终都归结到两 条相交直线所成的角的问题．求空间角的解题步骤：(1) 找出这个角．(2)说明该角符合题意．(3)构造出含这个角 的三角形，解三角形，求出角．
解：(1)因为A′C′∥AC， 所以AO与A′C′所成的角就是∠OAC. 因为OC⊥OB，AB⊥平面BC′， 所以OC⊥AB且AB∩BO＝B. 所以OC⊥平面ABO. 又OA⊂平面ABO，所以OC⊥OA.
在Rt△AOC中，OC＝
2 2
，AC＝
2 ，sin∠OAC＝
OACC＝12， 所以∠OAC＝30°，即AO与A′C′所成角的度数为30°.
(3)证明三线共点问题． 证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点， 再证明第三条直线经过该点，把问题转化为证明点在直 线上的问题．
[例1] 如图所示，在空间四边形ABCD 中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别 在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶ 2，求证：
(1)E，F，G，H四点共面； (2)EG与HF的交点在直线AC上． 证明：(1)因为BG∶GC＝DH∶HC，所以GH∥BD. 又因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD. 所以EF∥GH.所以E，F，G，H四点共面．
由题设可知OC＝12AC＝2，
CM＝23BC＝4 3 2，∠ACB＝45°.
所以OM＝2 3 5， CH＝OC·MC·OsiMn ∠ACB＝455.
所以点C到平面POM的距离为4
5 5.
归纳升华 证明垂直关系时，注意面面垂直、线面垂直与线线 垂直的相互转化．一般地，面面垂直问题可转化为线面 垂直问题，线面垂直问题可转化为线线垂直问题．
[变式训练] (2017·山东卷)由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所 示．四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为 AD的中点，A1E⊥平面ABCD.
(1)证明：A1O∥平面B1CD1； (2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面 B1CD1.
连接OB，因为AB＝BC＝ 22AC， 所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝ 12AC＝2. 由OP2＋OB2＝PB2知，OP⊥OB. 由OP⊥OB，OP⊥AC知，PO⊥平面ABC. (2)解：如图所示，作CH⊥OM，垂足 为H. 又由(1)可得OP⊥CH，所以CH⊥平面 POM.
故CH的长为点C到平面POM的距离．
专题1 点、线、面的位置关系 (1)证明共面问题． 证明共面问题，一般有两种证法：一是先由某些元素 确定一个平面，再证明其余元素在这个平面内；二是先分 别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合． (2)证明三点共线问题． 证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面 的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再 证明第三个点是两个平面的公共点，当然必在两个平面的 交线上．
因为F，G分别为PB，PC的中点，
所以FG∥BC，FG＝12BC.
因为ABCD为矩形，且E为AD的中点， 所以DE∥BC，DE＝12BC.所以DE∥FG，DE＝FG. 所以四边形DEFG为平行四边形．所以EF∥DG. 又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD， 所以EF∥平面PCD.
归纳升华 1．平行关系的转化．
sin∠GBH＝GGHB＝
2 2.
所以∠GBH＝45°，即二面角α-EF-β的大小为45°.
专题4 转化与化归思想在立体几何中的应用 立体几何中最重要、最常用的思想就是转化与化归 思想． (1)线线、线面、面面的位置关系，通过转化，使它 们建立联系，如面面平行 线面平行 线线平行，面 面垂直 线面垂直 线线垂直等，有关线面位置关系 的论证往往就是通过这种联系和转化得到解决的． (2)通过平移，将一些线面关系转化为平面内的线线 关系，通过线面平行，将空间角最终转化为平面角，并 构造出三角形，借助于三角形的知识解决问题． (3)通过添加辅助线，将立体问题转化为平面问题．