2018年青浦区高考数学二模含答案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN2018年青浦区高考数学二模含答案2018.04（满分150分，答题时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．不等式|3|2x -<的解集为__________________．2．若复数z 满足2315i z -=+（i 是虚数单位），则=z _____________．3．若1sin 3α=，则cos 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭_______________．4．已知两个不同向量(1,)OA m =，(1,2)OB m =-，若OA AB ⊥，则实数m =____________． 5．在等比数列{}n a 中，公比2q =，前n 项和为n S ，若51S =，则10S =．6．若,x y 满足2,10,20,x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩则2z x y =-的最小值为____________．7．如图所示，一个圆柱的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个圆柱的体积为__________． 8．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为______________． 9．高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同 学在物理、化学、政治科目考试中达A +的概率分别为78、34、512， 这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得2个A +的概率是． 10．已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，当(0,2]x ∈时，()21x f x =-，函数 2()2g x x x m =-+. 如果对于任意的1[2,2]x ∈-，总存在2[2,2]x ∈-，使得12()()f x g x ≤， 则实数m 的取值范围是.11．已知曲线C y =：2l y =：，若对于点(0,)A m ，存在C 上的点P 和l 上的 点Q ，使得0AP AQ +=，则m 取值范围是．12．已知22s 1(,,0)cos 1a a in M a a a a θθθ-+=∈≠-+R ，则M 的取值范围是． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．设,αβ是两个不同的平面，b 是直线且b β⊂≠．则“b α⊥”是“αβ⊥”的（）．（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件14．若已知极限sin lim0n n n →∞=，则3sin lim sin 2n n nn n→∞--的值为（ ）．（A ）3-（B ）32-（C ）1-（D ）12-15．已知函数()f x 是R 上的偶函数，对于任意x ∈R 都有(6)()(3)f x f x f +=+成立，当[]12,0,3x x ∈，且12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-．给出以下三个命题：①直线6x =-是函数()f x 图像的一条对称轴； ②函数()f x 在区间[]9,6--上为增函数； ③函数()f x 在区间[]9,9-上有五个零点． 问：以上命题中正确的个数有（）． （A ）0个（B ）1个（C ）2个（D ）3个16．如图所示，将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形.去掉A两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星.设正八角星的中心为O ，并且 12,OA e OB e ==．若将点O 到正八角星16个顶点的向量都写成 12e e λμλμ+∈R ，、的形式，则λμ+的取值范围为（）．（A ）2⎡⎤-⎣⎦（B ）⎡-⎣（C ）1⎡-+⎣（D ）12⎡⎤-⎣⎦三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB ==E ，F 分别为PB ，PD 的中点．（1）求正四棱锥P ABCD -的全面积； （2）若平面AEF 与棱PC 交于点M ，求平面AEM F 与平面ABCD 所成锐二面角的大小（用反三角函数值表示）．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知向量(cos ,1)2x m =-，2(3sin ,cos )22x xn =，设函数()1f x m n =⋅+．（1）若[0,]2x π∈，11()10f x =，求x 的值；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是c b a ,,且满足2cos 2,b A c ≤求()f B 的取值范围．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知椭圆2222C 1(0)x y a b a b+=>>：的一个顶点坐标为(2,0)A ，且长轴长是短轴长的两倍．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(1,0)D 且斜率存在的直线交椭圆于G H 、，G 关于x 轴的对称点为G '，求证：直线G H '恒过定点()4,0．20.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.设函数()2()5f x ax a x=-+∈R ． （1）求函数的零点；（2）当3a =时，求证：()f x 在区间(),1-∞-上单调递减；（3）若对任意的正实数a ，总存在[]01,2x ∈，使得0()f x m ≥，求实数m 的取值范围．21.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.给定数列{}n a ，若数列{}n a 中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.（1）已知数列{}n a 的通项公式为3n n a =，试判断{}n a 是否为封闭数列，并说明理由； （2）已知数列{}n a 满足122++=+n n n a a a 且212=-a a ，设n S 是该数列{}n a 的前n 项和，试问：是否存在这样的“封闭数列”{}n a ，使得对任意n ∈*N 都有0≠n S ，且12111111818n S S S <+++<，若存在，求数列{}n a 的首项1a 的所有取值；若不存在，说明理由；（3）证明等差数列{}n a 成为“封闭数列”的充要条件是：存在整数1m ≥-，使1a md =．青浦区2017学年高三年级第二次学业质量调研测试数学参考答案及评分标准 2018.04一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1．{}15x x <<或(1,5)； 2．52i 2-；3．13；4．1； 5．33；6．12-；7．π4；8．30；9.151192；10.5m ≥-； 11．1[,1]2-；12.M ≤≤. 二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13.A ；14.D ； 15．B ；16.C .三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）因为正四棱锥P ABCD -，取AB 中点G ，连接PG ，PA AB ==，PG ∴=21=482S S S +=+⨯⨯=+侧全底（2）连接AC ，连接BD ，记ACBD O =，因为OA ，OB ，OP 两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系O xyz -．因为PB AB ==Rt Rt POB AOB ≅△△．所以2OA OP ==．所以(2,0,0)A ，(0,2,0)B ，(2,0,0)C -，(0,2,0)D -，(0,0,2)P ，(0,1,1)E ，(0,1,1)F -． 所以(2,1,1)AE =-，(2,1,1)AF =--．设平面AEMF 的法向量为(,,)n x y z =，所以0,0,n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,20.x y z x y z -++=⎧⎨--+=⎩所以0y =．令1x =，2z =，所以(1,0,2)n =． 因为平面平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)m =设m 与n 的夹角为ϕ，cos 1m n m nϕ⋅===⨯⋅arccos 5ϕ⇒=所以平面AEM F 与平面ABCD 所成锐二面角的大小是arccos5． 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）21cos ()cos cos 112222x x x xf x x +=-+=-+111cos sin()22262x x x π=-+=-+ ∵113() sin(); [0,]10652f x x x ππ=∴-=∈又∴33arcsin arcsin 6565x x ππ-=⇒=+ （2）由A C A B a c A b sin 3sin 2cos sin 232cos 2-≤-≤得2sin cos 2sin()B A A B A ⇒≤+2sin cos 2[sin cos cos sin )B A A B A B A ⇒≤+2sin cos cos (0,]26A B A B B π⇒≥⇒≥⇒∈ ∴111sin()(,0],()sin()()(0,]62622B f B B f B ππ-∈-=-+⇒∈即19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）因为椭圆2222C 1(0)x y a b a b+=>>：的一个顶点坐标为(2,0)A ，即2a =又长轴长是短轴长的两倍，即241a b b =⇒=，所以椭圆方程2214x y +=；（2）解一：设直线GH 的方程为(1)y k x =- ,点1122,,x y x y G （）,H()则11,x y '-G (）联立方程组222222(1)(14)844044y k x y k x k x k x y =-⎧+-+-=⎨+=⎩消去可得 由韦达定理可得22121222844,,1414k k x x x x k k -+==++直线211121(),y y y y x x x x ++=--，G H ： 211212211121214()4(4)=y y y x x y y y x y y x x x x x +--++==-+---当时， 222212122121844[528][5()28]1414=k k k k x x x x k k x x x x -⨯-⨯-+--++=--2222214088[8]1414==0k k k k k x x ---++-所以直线则H 'G 过定点（4,0）20.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.解：（1）①当0a =时，函数的零点为25x =-；②当2508a a ≥-≠且时，函数的零点是52x a ±=③当258a <-时，函数无零点； （2）当3a =时，2()3+5f x x x =-，令2()3+5g x x x=- 任取12,(,1)x x ∈-∞-，且12x x <， 则()211212121212()2322()()3535x x x x g x g x x x x x x x -+⎛⎫-=-+--+= ⎪⎝⎭因为12x x <，12,(,1)x x ∈-∞-，所以210x x ->，121x x >，从而()211212()230x x x x x x -+>即1212()()0()()g x g x g x g x ->⇒>故()g x 在区间(),1-∞-上的单调递减当(),1x ∈-∞-时，()()6,g x ∈+∞22()3+5=3+5()f x x x g x x x∴=--= 即当3a =时，()f x 在区间(),1-∞-上单调递减；（3）对任意的正实数a ，存在[]01,2x ∈使得0()f x m ≥，即0max ()f x m ≥，当()0,x ∈+∞时，255,022()+525,ax x x af x ax x ax x x⎧+-+<<⎪⎪=-=⎨⎪-+-≥⎪⎩即()f x在区间⎛ ⎝⎭上单调递减，在区间52a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增； 所以{}{}0max ()max (1),(2)max 7,62f x f f a a ==--， 又由于0a >，{}8max 7,623a a --≥，所以83m ≤． 21.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.解：（1）{}n a 不是封闭数列．因为取1,2n n ==，则123912a a +=+=，233123<<即123,m a a m +≠∈*N 从而{}12n a a a +∉，所以{}n a 不是封闭数列；（2）因为122++=+n n n a a a ，所以{}n a 是等差数列，又212=-a a ，所以()121-+=n a a n ， 若{}n a 是“封闭数列”，所以对任意,s t ∈*N ，必存在p ∈*N ，使得()()()111212121a s a t a p +-++-=+-，即()121a p s t =--+，故1a 是偶数，又对任意n ∈*N 都有0≠n S ，且12111111818n S S S <+++<，所以11111818S <<，故118811a <<，故1a 可取的值为2,4,6经检验得：41=a 或61=a ；（3）证明：（必要性）任取等差数列的两项,()s t a a s t ≠，若存在k a ，使s t k a a a +=，则1112(2)(1)(1)a s t d a k d a k s t d ++-=+-⇒=--+，故存在1m k s t =--+∈Z ，使1a md = 下面证明1m ≥- ①当0d =时，显然成立②当0d ≠时，若1m <-时则取2p m =-≥，对不同的两项1,p a a ，存在q a ，使1p q a a a +=，即2(1)(1)0md m d md q d qd +--=+-⇒=，这与0,0q d >≠矛盾，故存在整数1m ≥-，使1a md =（充分性）若存在整数1m ≥-，使1a md =，则任取等差数列的两项,()s t a a s t ≠，于是111+(1)(1)(1)(1)s t a a a s d a t d a s d md t d =+-++-=+-++-11(2)s m t a s m t d a ++-=+++-=，由于3,1s t m +≥≥-，1s t m ∴++-为正整数，即{}1s m t n a a ++-∈证毕．。