高一数学平面向量章节测试题一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 已知向量a ⃗=(1,2)，b ⃗⃗=(3,1)，则b ⃗⃗−a ⃗=( )A. (−2,1)B. (2,−1)C. (2,0)D. (4,3)2. 已知平面向量a ⃗=(1,−2)，b ⃗⃗=(−2,m)，且a ⃗//b ⃗⃗，则3a ⃗+2b ⃗⃗等于( ) A. (-2,1)B. (1,-2)C. (-1,2)D. (2,-1)3. 已知向量a ⃗⃗,b ⃗⃗满足|a ⃗⃗|=1，|b ⃗⃗|=2，a ⃗⃗⋅b ⃗⃗=1，那么向量a ⃗⃗,b ⃗⃗的夹角为( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°4. 已知|a ⃗⃗|=3，|b ⃗⃗|=5，a ⃗⋅b ⃗⃗=12，则向量a ⃗⃗在向量b ⃗⃗上的投影为( )A. 125B. 3C. 4D. 55. 已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E 、F 分别在边BC 、DC 上，BE⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λBC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=μDC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，若AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1，CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−23，则λ+μ=( ) A. 12B. 23C. 56D. 7126. 已知向量a ⃗=(1,m)，b ⃗⃗=(3,−2)，且(a ⃗+b⃗⃗)⊥b ⃗⃗，则m =( ) A. -8 B. -6 C. 6 D. 8 7. 在△ABC 中，已知D 是BC 延长线上一点，点E 为线段AD的中点，若BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗，且AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+34AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则λ=( )A. −14B. 14 C. −13 D. 13 8. 已知|a ⃗⃗|=2，向量a ⃗⃗在向量b ⃗⃗上的投影为√3，则a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角为( )A. π3B. π6C. 2π3D. π29. 若向量a ⃗=(−2,0),b ⃗⃗=(2,1),c ⃗=(x,1)满足条件3a ⃗⃗+b ⃗⃗与c⃗⃗共线，则x 的值为( ) A. −2 B. −4 C. 2 D. 410. 已知a ⃗⃗、b ⃗⃗均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ⃗+3b⃗⃗|=( ) A. √7 B. √10 C. √13 D. 411. 在平行四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,P 为AD 的中点，MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=( )A. 45a ⃗+310b ⃗⃗ B. 45a ⃗+1310b ⃗⃗ C.-45a⃗-310b ⃗⃗ D. 34a⃗+14b ⃗⃗ 12. 已知向量BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(12,√32)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(√32,12)，则∠ABC =( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 120°二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 设e 1⃗⃗⃗⃗，e 2⃗⃗⃗⃗是不共线向量，e 1⃗⃗⃗⃗−4e 2⃗⃗⃗⃗与k e 1⃗⃗⃗⃗+e 2⃗⃗⃗⃗共线，则实数k 为______ ．14. 已知向量a ⃗=(−1,2)，b ⃗⃗=(m,1)，若向量a ⃗+b ⃗⃗与a ⃗⃗垂直，则m =______． 15. 设向量a ⃗=(m,1)，b ⃗⃗=(1,2)，且|a ⃗+b ⃗⃗|2=|a ⃗|2+|b⃗⃗|2，则m =______．16. 已知向量a ⃗=(2,sinθ)，b ⃗⃗=(1,cosθ)，若a ⃗//b ⃗⃗，则sin 2θ1+cos 2θ的值为______． 三、解答题（本大题共4小题，共40分）17. 已知向量|a ⃗⃗|=2，b ⃗⃗=(−12,√32)，且a ⃗⃗与b ⃗⃗夹角为2π3， (1)求|a ⃗+2b⃗⃗|； (2)若(a ⃗+kb ⃗⃗)⊥(2b ⃗⃗−a ⃗)，求实数k 的值．18. 已知△OAB 中，点D 在线段OB 上，且OD =2DB ，延长BA 到C ，使BA =AC.设OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗⃗,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗． (1)用a ⃗⃗,b ⃗⃗表示向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗； (2)若向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗与OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+k DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗共线，求k 的值．19. 已知|a ⃗|=3，|b ⃗⃗|=5，|a ⃗+b⃗⃗|=7． (1)求向量a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角θ；(2)当向量ka ⃗+b ⃗⃗与a ⃗−2b⃗⃗垂直时，求实数k 的值．20. 已知向量a ⃗⃗=(4,3)，b ⃗⃗=(1,2)．(1)设a ⃗⃗与b⃗⃗的夹角为θ，求cosθ的值； (2)若a ⃗⃗−λb ⃗⃗与2a ⃗⃗+b ⃗⃗垂直，求实数λ的值..高一数学平面向量章节测试题答案和解析【答案】B解：∵向量a ⃗=(1,2)，b ⃗⃗=(3,1)，∴b ⃗⃗−a ⃗=(2,−1)．2.【答案】C解：向量a ⃗=(1,−2)，b ⃗⃗=(−2,m)，且a ⃗//b⃗⃗，∴1×m −(−2)×(−2)=0， 解得m =4，∴b ⃗⃗=(−2,4)，∴3a ⃗+2b⃗⃗=(3,−6)+(−4,8)=(−1,2)． 3.【答案】B解：根据题意，设向量a ⃗⃗,b ⃗⃗的夹角为θ，又由|a ⃗⃗|=1，|b ⃗⃗|=2，a ⃗⃗⋅b ⃗⃗=1， 则cosθ=a⃗⃗⋅b ⃗⃗|a⃗⃗||b ⃗⃗|=12，又由0°≤θ≤180°，则θ=60°；4.【答案】A解：向量a ⃗⃗在向量b ⃗⃗上的投影为a ⃗⃗⋅b ⃗⃗|b ⃗⃗|=125．5.【答案】C解：由题意可得若AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2×cos120°+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅μAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+λAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+λAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅μAB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°=4λ+4μ−2λμ−2=1， ∴4λ+4μ−2λμ=3 ①． CE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−EC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅(−FC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=EC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅FC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1−λ)BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅(1−μ)DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1−λ)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅(1−μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)(1−μ)×2×2×cos120°=(1−λ−μ+λμ)(−2)=−23， 即−λ−μ+λμ=−23 ②．由①②求得λ+μ=56，6.【答案】D解：∵向量a ⃗=(1,m)，b ⃗⃗=(3,−2)，∴a ⃗+b⃗⃗=(4,m −2)， 又∵(a ⃗+b ⃗⃗)⊥b ⃗⃗，∴(a ⃗+b⃗⃗)·b ⃗⃗=12−2(m −2)=0，解得m =8． 7.【答案】A解：∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12×32BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+34(AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) =−14AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗+34AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，∴λ=−14． 8.【答案】B解：记向量a ⃗⃗与向量b ⃗⃗的夹角为θ，θ∈[0,π]，∴a ⃗⃗在b ⃗⃗上的投影为|a ⃗|cosθ=2cosθ． ∵a ⃗⃗在b ⃗⃗上的投影为√3，，∴cosθ=√32，∵θ∈[0,π]，∴θ=π6．9.【答案】B解：∵向量a ⃗=(−2,0),b ⃗⃗=(2,1),c ⃗=(x,1)，∴3a ⃗+b⃗⃗=(−6,0)+(2,1)=(−4,1)， ∵3a ⃗⃗+b ⃗⃗与c⃗⃗共线，∴x −1×(−4)=0，解得x =−4． 10.【答案】C解：∵a ⃗⃗,b ⃗⃗均为单位向量，它们的夹角为60°，∴|a ⃗|=1，|b ⃗⃗|=1，a ⃗⋅b⃗⃗=cos60°，∴|a ⃗+3b ⃗⃗|=√a ⃗2+6a ⃗⋅b ⃗⃗+9b ⃗⃗2=√1+6cos60∘+9=√13． 11.【答案】C解：∵MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12b ⃗⃗，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=45AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗+b ⃗⃗，∴MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12b ⃗⃗−45(a ⃗+b ⃗⃗) =−45a ⃗−310b⃗⃗． 12.【答案】A解：BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=√34+√34=√32，|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=1，∴cos ∠ABC =BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√32， 又0°≤∠ABC ≤180°，∴∠ABC =30°，13.【答案】−14解：∵e 1⃗⃗⃗⃗−4e 2⃗⃗⃗⃗与ke 1⃗⃗⃗⃗+e 2⃗⃗⃗⃗共线，且e 1⃗⃗⃗⃗，e 2⃗⃗⃗⃗是不共线向量，∴存在实数λ满足：e 1⃗⃗⃗⃗−4e 2⃗⃗⃗⃗=λ(ke 1⃗⃗⃗⃗+e 2⃗⃗⃗⃗)，∴λk =1且λ=−4，∴k =−14．14.【答案】7解：∵向量a ⃗=(−1,2)，b ⃗⃗=(m,1)，∴a ⃗+b⃗⃗=(−1+m,3)， ∵向量a ⃗⃗+b ⃗⃗与a ⃗⃗垂直，∴(a ⃗+b ⃗⃗)⋅a ⃗=(−1+m)×(−1)+3×2=0，解得m =7．15.【答案】−2解：|a ⃗+b ⃗⃗|2=a ⃗2+2a ⃗·b ⃗⃗+b ⃗⃗2=|a ⃗|2+|b ⃗⃗|2，可得a ⃗·b⃗⃗=0． 向量a⃗=(m,1)，b ⃗⃗=(1,2)，可得m +2=0，解得m =−2． 16.【答案】23解：∵a ⃗=(2,sinθ)，b ⃗⃗=(1,cosθ)，a ⃗//b⃗⃗，∴2cosθ=sinθ，∴tanθ=2， ，17.【答案】解：(1)因为b ⃗⃗=(−12,√32)，∴|b ⇀|=1，又|a ⃗⃗|=2，a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角为2π3， ∴a ⃗⋅b⃗⃗=−1． |a ⃗+2b ⃗⃗|=√(a ⃗+2b ⃗⃗)2=√a ⃗2+4a ⃗·b ⃗⃗+4b ⃗⃗2=√4+4×2×1×(−12)+4=2; (2)由(a ⃗+kb ⃗⃗)⊥(2b ⃗⃗−a ⃗)，得(a ⃗+kb ⃗⃗)·(2b ⃗⃗−a ⃗)=0，即2a ⃗·b ⃗⃗−a ⃗2+2kb ⃗⃗2−ka ⃗·b⃗⃗=0， 所以−2−4+k +2k =0，解得k =2．18.【答案】解：(1)∵BA =AC ，∴A 为BC 的中点，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)， 可得OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2a ⃗⃗−b ⃗⃗，而DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−23OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2a ⃗⃗−53b ⃗⃗ (2)由(1)，得OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+k DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2k +1)a ⃗⃗−53k b ⃗⃗，∵OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗与OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+k DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗共线， 设OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ(OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+k DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)，即2a⃗−b ⃗⃗=λ(2k +1)a ⃗−53λkb ⃗⃗， 根据平面向量基本定理，得{2=λ(2k +1)−1=−53λk ，解之得，k =34．19.【答案】解：(1)∵|a⃗|=3，|b⃗⃗|=5，|a⃗+b⃗⃗|=7，∴|a⃗+b⃗⃗|2=(a⃗)2+(b⃗⃗)2+2a⃗⋅b⃗⃗=|a⃗|2+|b⃗⃗|2+2|a⃗||b⃗⃗|cosθ=9+25+30cosθ=47，∴cosθ=12∵0°≤θ≤180°，∴θ=60°；(2)∵向量ka⃗+b⃗⃗与a⃗−2b⃗⃗垂直，∴(ka⃗+b⃗⃗)(a⃗−2b⃗⃗)=0，∴k|a⃗|2−2|b⃗⃗|2+(1−2k)|a⃗||b⃗⃗|cosθ=0，即9k−50+(1−2k)×3×5×12=0，解得k=−8512．20.【答案】解：(1)向量a⃗⃗=(4,3)，b⃗⃗=(1,2)，则a⃗⋅b⃗⃗=4×1+3×2=10，且|a⃗|=√42+32=5，|b⃗⃗|=√12+22=√5；设a⃗⃗与b⃗⃗的夹角为θ，则cosθ=a⃗⃗⋅b⃗⃗|a⃗⃗|×|b⃗⃗|=5×√5=2√55；(2)若a⃗⃗−λb⃗⃗与2a⃗⃗+b⃗⃗垂直，则(a⃗−λb⃗⃗)⋅(2a⃗+b⃗⃗)=0，即2a⃗2+(1−2λ)a⃗⋅b⃗⃗−λb⃗⃗2=0，所以2×52+10(1−2λ)−5λ=0，解得λ=125．。