涨落现象 “涨落”现 象 ------测量值与统计值之间总有偏离 处在平衡态的系统的宏观量，如压强p，不随时 间改变， 但不能保证任何时刻大量分子撞击器壁的 情况完全一样， 分子数越多，涨落就越小。
飞镖
F(x)
分布曲线
伽耳顿板
从入口投入小球与钉碰撞 落入狭槽( 偶然 )
为清楚起见 , 从正面来观察。
N /( Nx)
O
x
x x
x
连续量的分布函数曲线
返回1 返回2
概率分布函数f（x），满足条件：
①
0 f ( x) 1, a x b
②

b
a
f ( x)dx 1
归一化条件
离散量与连续量的分布函数
三、统计平均值
对于离散型随机变量
统计平均值为
N1 x1 N 2 x 2 N k x k x N1 N 2 N k
N x
i 1 i
k
i
N
Ni xi Pi xi i 1 N i
k
方均值为
x
2 2 N x i i i 1 k k Ni 2 xi Pi xi2 i 1 N i 1 k
N
对于连续型随机变量 统计平均值为x xf ( x)dx
a
b
方均值为
x x f ( x)dx
—— 变量x可取某一区间内的一切数值。 随机变量x的概率密度:
dP ( x ) f ( x) dx
概率密度f(x)等于随机变量取值在单位间隔内的概率， 又称为概率分布函数（简称分布函数）。 分布函数
N 1 N 1 dN f (x) lim lim x 0 Nx N x 0 x N dx
铁钉
隔板
再投入小球： 经一定段时间后 , 大量小球落 入狭槽。 分布情况：中间多，两边少。 重复几次 ，结果相似。 单个小球运动是随机的 , 大量小球运动分布是确定的。 大量偶然事件整体所遵 循的规律 —— 统计规律。 小球数按空间 位置分布曲线
少数分子无规律性
大量分子的统计分布
统计规律性是对大量偶然事件整体起作用的规律， 它表现了这些事物整体的本质和必然的联系。对于 由大量分子组成的热力学系统从微观上加以研究时， 必须用统计的方法。 统计规律特点: （1）只对大量偶然的事件才有意义。 （2）它是不同于个体规律的整体规律(量变到质变)。 （3）大数量现象在一定宏观条件下的稳定性。 （4）统计规律是以动力学规律为基础的。 （5）永远伴随着涨落现象。
1、 离散型随机变量 表示方式
取值有限、分立
x1 , , xi , , xn P1 , , Pi , , Pn
Pi 为随机变量x的概率，满足条件： ① 0 P , i 1,2,... i 1
②
P 1
i
归一化条件
2、 连续型随机变量
取值无限、连续

分子射线的速率分布曲线
§1.气体分子的速率分布律
一、速率分布函数
1、速率分布函数的定义
平衡态下，气体分子速率v可以看做在0~∞之间连续分布的。 • 设系统的总分子数为： N
• 速率在v~v+dv之间的分子数：dN
• 速率在v~v+dv之间的分子数占系统总分子数的比率：dP=dN/N （对于任意一个分子来说，速率处于v~v+dv之间的概率）
D v 2s
令R以恒定的角速度转动较长的时间（一二十小时）。然 后取下玻璃板G，用测微光度计测定板上各处沉积的铋层的厚 度，找出铋层厚度随s变化的关系，从而确定铋分子按速率分 布的规律。
德国物理学家斯特恩（Sterm）最早于1920年做了分子射线 束实验以测定分子射线束中的分子速率分布曲线。 此处介绍朗缪尔（Langmuir）的实验装置。
PL lim
N
NL ( ) N
2、概率的基本性质
(1) 0 Pi 1 ，即事件i的概率只可能在0和1之间。 (2) 各种可能发生的事件的概率总和等于1.
N
P 1
i 1 i
归一化条件
3、等概率性
在掷骰子时，一般认为出现每一面向上的概率是相等的。 由此可总结出一条基本原理： 等概率性——在没有理由说明哪一事件出现概率更大些（或更 小些）情况下，每一事件出现的概率都应相等。
2 2 a
b
四、方差（涨落）
—— 表示随机变量x的取值在其统计平均值附近分散的程度。 （或描述x的取值在其统计平均值上下涨落的平均幅度。）
x 0
定义相对均方根偏差：
(x) 0
2
(x) rms
(x)
2
1/ 2
x
相对均方根偏差表示了随机变量在平均值附近分 散开分布的程度，也称为涨落、散度或散差。
S’ 分子源 狭缝屏
W
W’
P
淀积屏 速率筛
（装置置于真空之中）
实验装置
接抽气泵
Hg

金属蒸汽 狭 缝

l
l t v
显 示 屏
分子束中能穿过第一个凹槽的分子同时能第二个凹槽时，它的速 率v 满足如下关系：
v l
密勒－库什实验装置
分布曲线
只要调节不同的旋转角速度，就可以测出不同速率范围 Δv 内（凹槽有一定宽度）的分子射线强度，从而得到不同速 率范围的分子数比率。
3、概率的基本法则
（1）概率相加法则
—— n个互相排斥事件发生的总概率是每个事件发生概率之和。
（2）概率相乘法则 —— 同时或依次发生的，互不相关（相互统计独立）的事件 发生的概率等于各个事件概率之乘积。
二、随机变量
—— 如果一变量在一定条件下，能以确定的概率取各种不同 的数值，则该变量称为~。
概率论的基本知识
§1 气体分子的速率分布律 §2 用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律 §3 玻耳兹曼分布律 重力场中微粒按高度的分布
§4 能量按自由度均分定理
概率论的基本知识
一、概率的基本性质
1、概率的定义
概率是大量偶然事件从整体上反映出来的一种规律性。
若在相同条件下重复进行同一个试验，在总次数N足够多的 情况下（N→∞），计算所出现某一事件的次数NL，则这一 事件出现的百分比就是该事件出现的概率 ：
§2
用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律
葛正权实验装置
分布曲线
D 铋分子由S3到达P’处所需时间为： t v
t 时间内R转过的角度为： 弧PP’长度：
设速率为v的分子沉积在P’处，s表示弧PP’长度，ω表示R的 角速度，D表示R的直径。
t
2
D 1 s D t 2 2