2
l
P 0 I d l sin d B O 2 dB L 4 r 0 I 0 I cos d sin 2 sin 1 4 d 4d
1
2
2
1
考虑三种情况：
0 I sin 2 sin 1 B 4d
1 2 2
nI (cos 2 cos 1 )
B
0 nI
2
(cos 2 cos 1 )
讨论：
（1）螺线管无限长
1 , 2 0 B 0 nI
（2）半无限长螺线管的端点圆心处
B 0 nI / 2
实际上， L>>R 时 ，螺线 管内部 的 磁 场近似 均匀 ， 大 小为 0 nI

2 2 IR I R IS 0 0 0 B 3 3 2x 2x 2x 3
I
pm

p B 0 m 3 2x
电流磁矩 pm ISe n
圆电流的磁场
I
【例】密绕长直载流螺线管轴线上的磁场
设螺线管的半径为 R，电流为 I ，每单位长度 有线圈n匝。
所有dB的方向相同， 所以P点的 的大小为 ： B
dl
L

r

l
0 I d l sin B d B L L 4 r2
O
d
1
2
P
dB
I
由几何关系有：
sin cos
r d sec
dl
L

r

l d tan
d l d sec d
§11.3
毕奥-萨伐尔定律的应用
【例】长直载流导线的磁场
I
设有长为 L 的载流直 dl 导线，通有电流 I 。计算 与 导 线垂 直 距离 为 d 的 p L 点的磁感强度。取 Z 轴沿 l 载流导线，如图所示。

r

O
d
1
2
P
dB
按毕奥—萨伐尔定律有：
I
0 I d l r dB 4 r3
0 nI
0 nI
2
B
A1
O
A2
通电螺线管的磁场
B
I
B 0 nI
I
例 一个半径 R 为的塑料薄圆盘，电量 +q 均匀分布其上， 圆盘以角速度 绕通过盘心并与盘面垂直的轴匀速转动。 求圆盘中心处的磁感应强度。
q qr d r dI 2r d r 2 2 2 R R 0 d I
1
A1
r
dB

R
p
2
A2
dl
l
1
A1
r
dB

p
2
R
A2
l
dl
由于每匝可作平面线圈处理， ndl匝线圈可作 Indl的一个圆电流，在P点产生的磁感应强度：
2( R l ) 2 0 R nI d l B L dB L 2 2 3/ 2 2( R l )
2 2 3/ 2
dB 2r 0q R 0q B dr 2 2R 0 2R
解：带电圆盘转动形成圆电流，取距盘心r处宽度 为dr的圆环作圆电流，电流强度： + + + + + + + + +o + + + + +
r 2 R2 x2 sin R r R (x R )
2 2
1 2

B
0 IR 2
2( x 2 R 2 ) 3 2
讨论： 1.x=0处，即圆电流中心，磁场最大：
I 0 B
2R
2.x>>R，x≈r：
推广至 I 0 任意圆 B 2 2R 弧中心
Idl
Id l r 0 dB dB// dB 3 4r
R
r
x

dB dB

I
由圆对称性得
B dB 0
o
P
dB//
所以
B dB//
B B // dB// dB sin
0 4
sindl 0 I sin r 2 4r 2 2R
dB
0 R nI d l
2
l R cot
d l R csc d
2 2 2 2 2
1
A1
r
dB

p
2
R
A2
又 R l R csc
B L

0 R nI d l
2
l
dl
2( R l )
2
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2
1
sin d
2

(1)导线无限长，即
I
0 I B 2d 0 I B 4d
dl
L

r

(2) 导线半无限长，场点与一端 的连线垂直于导线
l
(3)P点位于导线延长线上，B=0
O
d
1
2
P
dB
I
无限长直线电流的磁场
0 I B 2 r
【例】载流圆线圈轴线上的磁场
电流元 Idl 在P点磁场