含有一个量词的命题的否定
例1写出下列全称命题的否定：
（1）p：所有人都晨练；
（2）p：∀x∈R，x2＋x+1>0；
（3）p：平行四边形的对边相等；
（4）p：∃x∈R，x2－x+1＝0；
分析：（1）⌝ P：有的人不晨练；（2）∃x∈R，x2＋x+1≤0；（3）存在平行四边形，它的的对边不相等；（4）∀x∈R，x2－x+1≠0；
例2写出下列命题的否定。
（1）所有自然数的平方是正数。
（2）任何实数x都是方程5x-12=0的根。
（3）对任意实数x，存在实数y，使x+y＞0.
（4）有些质数是奇数。
解：（1）的否定：有些自然数的平方不是正数。
（2）的否定：存在实数x不是方程5x-12=0的根。
（3）的否定：存在实数x,对所有实数y，有x+y≤0。
（4）的否定：所有的质数都不是奇数。
解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量词的简化形式，如“若x＞3，则x2＞9”。
在求解中极易误当为简单命题处理；这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式。
例3写出下列命题的否定。
（1）若x2＞4 则x＞2.。
（2）若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。
（3）可以被5整除的整数，末位是0。
（4）被8整除的数能被4整除。
（5）若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。
解（1）否定：存在实数
x，虽然满足20x＞4，但0x≤2。
或者说：存
在小于或等于2的数
x，满足20x＞4。
（完整表达为对任意的实数x, 若
x2＞4 则x＞2）
（2）否定：虽然实数m≥0,但存在一个
x，使20x+ 0x-m=0无实数根。
（原意表达：对任意实数m,若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。
）
（3）否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0。
（4）否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除.(原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除)
（5）否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等。
（原意表达为无论哪个四边形，若它是正方形，则它的四条边中任何两条都相等。
）
例4写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性。
（1）p：若x＞y,则5x＞5y；
（2）p：若x2+x﹤2,则x2-x﹤2；
（3）p：正方形的四条边相等；
（4）p：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0有非空实解集，则a2-4b≥0。
解：（1） P：若 x＞y，则5x≤5y；假命题
否命题：若x≤y，则5x≤5y；真命题
（2）⌝ P：若x2+x﹤2，则x2-x≥2；真命题
否命题：若x2+x≥2，则x2-x≥2）；假命题。
（3）⌝ P：存在一个四边形，尽管它是正方形，然而四条边中至少有两条边不相等；假命题。
否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。
假命题。
（4）⌝P：存在两个实数a,b，虽然满足x2+ax+b≤0有非空实解集，但使a2-4b﹤0。
假命题。
否命题：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0没有非空实解集，则a2-4b﹤0。
真命题。
评注：命题的否定与否命题是完全不同的概念。
其理由：
1．任何命题均有否定，无论是真命题还是假命题；而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的。
2．命题的否定（非）是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命题与原命题可能是同真同假，也可能是一真一假。
3．原命题“若P则q” 的形式，它的非命题“若p，则⌝q”；而它的否命题为“若┓p，则┓q”，既否定条件又否定结论。
六、回顾反思
在教学中，务必理清各类型命题形式结构、性质关系，才能真正准确地完整地表达出命题的否定，才能避犯逻辑性错误，才能更好把逻辑知识负载于其它知识之上，达到培养和发展学生的逻辑思维能力。
1．命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则“非p”形式的命题是（）
A.存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0无实根；
B.不存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根；
C.对任意的实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根；
D.至多有一个实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根；
2．有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是分数，整数是有理数，则整数是分数”结论显然是错误的，是因为（）
A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．非以上错误
3．命题“∀x∈R，x2-x+3>0”的否定是
4．“末位数字是0或5的整数能被5整除”的
否定形式是
否命题是
5．写出下列命题的否定，并判断其真假：
（1）p：∀m∈R，方程x2+x-m=0必有实根；
（2）q：∃∈R，使得x2+x+1≤0；
6．写出下列命题的“非P”命题，并判断其真假：
（1）若m>1，则方程x2-2x+m=0有实数根．
（2）平方和为0的两个实数都为0．
（3）若ABC
∆是锐角三角形，则ABC
∆的任何一个内角是锐角．（4）若abc=0，则a,b,c中至少有一为0．
（5）若(x-1)(x-2)=0 ，则x≠1,x≠2．
八、参考答案：
1． B
2．C
3．∃ x∈R，x2-x+3≤0
4．否定形式：末位数是0或5的整数，不能被5整除
否命题：末位数不是0且不是5的整数，不能被5整除
5．（1）⌝p：∃m∈R，方程x2+x-m=0无实根；真命题。
（2）⌝q：∀∈R，使得x2+x+1>0；真命题。
6．⑴若m>1，则方程x2-2x+m=0无实数根，(真)；
⑵平方和为0的两个实数不都为0(假)；
⑶若ABC
∆的任何一个内角不都是锐角(假)；
∆是锐角三角形，则ABC
⑷若abc=0，则a,b,c中没有一个为0(假)；
⑸若(x-1)(x-2)=0，则1
x，(真)．
=
x或2
=。