重庆八中高2020级高三（下）第3次月考数学（文科）试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|1}{32101}A x x B ，，，，，=>-=---，则A B =I （）A ．{101}，，-B ．{01}，C ．(11]，-D ．f 2．设2iz i+=，则||z =（）A ．B ．C ．2D ．53．已知向量||1||2a b a b ，，==u r u r u r u rg ，则向量a u r 与向量b u r的夹角为（）A ．6pB ．4p C ．3p D ．23p 4．函数()0a f x x x （）=³，()log a g x x =，则()f x 与()g x 的图象可能为（）A B C D5．已知双曲线22145x y -=的右焦点为F ，过点F 作一条直线与其中一条渐近线垂直，垂足为A ，O 为坐标原点，则OAF S =V （）A ．3B ．C ．D6．为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话：老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”．老师丙：“我觉得7班能赢15班”．最后老师丁去观看完了比赛，回来后说:“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为（）A ．7班、14班、15班B ．14班、7班、15班C ．14班、15班、7班D ．15班、14班、7班7．右图是一个算法流程图，输出的S 为（）A ．50B ．50-C ．51D ．51-8．已知函数()sin ()00f x x （，）w j w j p =+><<为偶函数，且该函数离原点最近的一个对称中心为（3p，0），则()f x 在[02，）p 内的零点个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．49．已知函数201()log 1ax f x x x ìï<£ï=íï>ïî，，在（0，+¥）为单调递增函数，则a 的取值范围为（）A ．（1，+¥）B ．（1，2）C ．(12]，D ．(02]，10．已知三棱锥S ABC -的外接球为球O ，SA 为球O 的直径，且SA =2，若面SAC ⊥面SAB ，则三棱锥S ABC -的体积最大值为（）A ．13B ．23C ．1D ．211．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足(1)(1)f x f x +=-，已知[01]x ，Î时，()f x =，若132019(log 54),(),(3)2a fb fc f ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c<<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b<<12．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点F 作直线与抛物线交于A 、B 两点，B 点在第一象限，过点B 作抛物线准线的垂线，垂足为C ，点E 为BF 上一点，且12BE EF uuu r uuu r=，连接CE 并延长交x 轴于点D ，已知BED V 的面积为22，则D 点的横坐标为（）A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．13．已知tan 3a =-，则cos 2a =____________．14．若变量x y ，满足约束条件23603020x y x y y ì+-³ïïïï+-£íïïï-³ïî，则3z x y =-的最大值为____________．15．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知24sin 5sin b c a c B b A +==，，则cos B =____________．16．若函数()2xf x xe ax =-+（e 为自然对数的底数）在（-¥，0）的区间内有两个极值点，则实数a的取值范围为____________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．(12分)已知数列{}n a 满足1113323()n n n a a a n N +*+==+⨯∈，，数列{}n b 满足3nn n a b =.(1)求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n b 的通项公式；(2)数列{}n b 的前n 项和为n S ，设()1nn n c S =-⋅，求数列{}n c 的前80项和80T ．18．(12分)为了解某品种一批树苗生长情况，在该批树苗中随机抽取了容量为120的样本，测量树苗高度（单位：cm ），经统计，其高度均在区间[]1931，内，将其按[)1921，，[)2123，，[)2325，，[)2527，，[)2729，，[]2931，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．其中高度为27cm 及以上的树苗为优质树苗．(1)求图中a 的值，并估计这批树苗高度的中位数和平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；(2)已知所抽取的这120棵树苗来自于AB 两个试验区，部分数据如右列联表：将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A ，B 两个试验区有关系，并说明理由．参考数据：20P K k ≥（）0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．19．(12分)如图，四棱锥P –ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，△ABP 是等边三角形且边长是4，DA =DP =(1)证明：AP ⊥BD ；(2)若BD =4，求四棱锥P –ABCD 的体积．20．（12分）已知A B ，是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点，P 点为椭圆C 上一点，点P 关于x 轴的对称点为H ，且12PA BH k k = 。

（1）若椭圆C 经过了圆22(1)4x y +-=的圆心，求椭圆C 的标准方程；（2）在（1）的条件下，抛物线22(0)D y px p =>：的焦点F 与点1(,2)8-关于y 轴上某点对称，且抛物线D 与椭圆C 在第四象限交于点Q ，过点Q 作直线与抛物线D 有唯一公共点，求该直线与两坐标轴围成的三角形面积.21．(12分)已知函数()2x f x e ax =-（a >0），2()=24g x x -．(1)讨论函数()f x 的零点个数；(2)设4a ≤，证明：当0x ≥时，()()f x g x >.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．【选修4—4：极坐标与参数方程】（10分）已知直线l 的参数方程为x m t y t=+⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为222cos212ρρθ-=.若曲线C 的左焦点F 在直线l 上，且直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．(1)求m 的值并写出曲线C 的直角坐标方程；(2)求FAFB FBFA+的值．(2)若m N ∈，证明：22(sin )(cos 1)f f m αα-+≤.2020级4月考数学参考答案（文）1—5 BBABD 6—10 CBCCA 11—12 DB 13、45- 14、1 15、4516、（21e -，0）17、证明：（1）∵3nn na b =，∴+1+1+13n n n a b =， 又∵11323n n n a a ++=+⨯，∴11233n nn n a a ++=+，即+12n n b b -=， ∴数列{}n b 是首项112b d ==，的等差数列，∴1+2(1)21n b n n =-=-. （2）∵2(121)==2n n n S n +-⋅，2=(1)n n c n -⋅，∴22222280=12347980(21)(21)(43)(43)(8079)(8079)T -+-+--+=-++-++-+(180)80=12+34++798032402+⨯+++== 18、解：（1）由频率分布直方图得：()220.20.21a a a ⨯++++=，解得0.025a =．中位数为x ，则0.05+0.1+0.2+(25)0.2=0.5x -⨯，解得25.75x =， 平均数200.05+220.1+240.2+260.4+280.2+300.05=25.5x =⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 所以估计这批树苗高度的中位数为25.75cm ，平均数为25.5cm ．（2）根据直方图可知，样本中优质树苗有()1200.1020.025230⨯⨯+⨯=，列联表如下：∴()221201030206070503090K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯10.28610.828≈<．所以，没有99.9%的把握认为优质树苗与,A B 两个试验区有关系．19、证明：（1）如图，取AP 的中点O ，连接OB ，OD . ∵DA =DP ，BA =BP∴DO ⊥AP ，BO ⊥AP ，且DO ∩BO =O ， ∴AP ⊥面OBD ，且BD ⊂面OBD ， ∴AP ⊥BD .（2）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴22P ABCD P ABD D ABP V V V ---==在等边三角形ABP 中，边长AB =BP =AP =4，∴AO =OP =2，BO = 在Rt △DAO 中，DA，AO =2，∴DO =2，∵22224=，∴222DO BO BD +=，∴DO ⊥OB ， 又∵DO ⊥AP ，且AP ∩BO =O ， ∴DO ⊥面ABP ，∴1122=22233P ABCD P ABD D ABP ABP V V V OD S ---==⨯⋅⋅=⨯⨯⨯△20. 解（1）设),(y x P ，因为)0,(),0,(a B a A -，则点P 关于x 轴的对称点H ),(y x -。