D
i
d rdrd
o
极坐标下的面积元素
f ( x, y)dxdy f (r cos , r sin )rdrd
D
D
A
rd d
d
dr r
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极坐标变换的适用情形:
积分区域为圆域或圆域的一部分,或被积函数形如 f ( x2 y2 )
注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下

1 ( )
r 2()
A
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(2) 区域特征如图
,
r 1( )
D
1( ) r 2( ).
f (r cos ,r sin )rdrd
D

o



d
2( ) f (r cos , r sin )rdr.


2
2
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二重积分化为二次积分的公式: r-型区域
区域特征如图
2(r)
r1 r r2 ,
1(r) 2(r).
r2 D
r1
o r1
1(r)
r2 A
f (r cos ,r sin )rdrd
D
r2 rdr 2(r) f (r cos , r sin )d .
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若 f ≡1 则可求得D 的面积
d 1 2 2 ( ) d
D
20
思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试
问 的变化范围是什么?
(1) y r ( )
(2) y r ( )
D
D
o
x
ox
答: (1) 0 ; (2)
二重积分的变量代换
极坐标变换 一般变量代换
广义极坐标变换
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一、利用极坐标系计算二重积分
i

1 2 (ri

ri
)2

i

1 2
ri
2

i

1 2
(
2ri

ri
)ri

i
r ri ri r ri
i i i
ri ri i o(ri i ),
A
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3. 原点在区域的内部
区域特征如图
0 2, 0 r ( ).
D
f (r cos ,r sin )rdrd
D
o
2
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
0
r ( ) A
极坐标系下区域的面积 rdrd . D
的二重积分需要进行“三换”：
1.
坐 标 变 换 ： xy

r cos r sin
2. 微元变换：d dxdy rdrd
3. 区域变换：Dxy Dr
f ( x, y)dxdy f (r cos , r sin )rdrd .
D
D
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y
解 在极坐标系下
D：0 r a，0 2
ex2 y2dxdy
2
d
a e r2 rdr
D
0
0
(1 ea2 ).

ax
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例 3 求广义积分 ex2dx . 0
解 D1 {( x, y) | x2 y2 R2 }
所以圆方程为 r 1,
直线方程为r
1
x y1
,
sin cos
f ( x, y)dxdy

2 d
1
1
f (r cos ,r sin )rdr.
0
D
sin cos
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例 2 计算 ex2 y2dxdy，其中 D 是由中心在
D
原点，半径为 a的圆周所围成的闭区域.
4
I2 ex2 y2 dxdy
D2
(1 e 2R2 ); 4
I1 I I2,
(1 e R2 ) ( R e x2 dx)2 (1 e 2R2 );
4
0
4
当R 时,
I1

4
,
I2

4
,
故当R 时, ( e x2 dx)2 即 e x2 dx
0
4
0
2
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例 4 计算 ( x2 y2 )dxdy ，其 D 为由圆
D2 {( x, y) | x2 y2 2R2 }
D2
S
DSD1 2
S {( x, y) | 0 x R,0 y R}
R 2R
{ x 0, y 0} 显然有 D1 S D2
e x2 y2 0,
e x2 y2 dxdy e x2 y2 dxdy ex2 y2dxdy.
D1
S
D2
又 I e x2 y2 dxdy R ex2dx R e y2dy ( R e x2 dx)2
0
0
0
S
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由上题结论
I1 e x2 y2 dxdy D1

2 d
R e r2 rdr
0
0
(1 e R2 )
r1
1 (r )
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例 1 写出积分 f ( x, y)dxdy的极坐标二次积分形
D
式，其中积分区域
D {( x, y) | 1 x y 1 x2 , 0 x 1}.
解
在极坐标系下

x y

r r
cos sin
x2 y2 1
1 ( )
r 2( )
A
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2. 原点在区域的边界上
区域特征如图 , 0 r ( ).
D
f (r cos ,r sin )rdrd
D

o

( )
d f (r cos ,r sin )rdr.

0
r ( )
二重积分化为二次积分的公式: θ-型区域
1. 原点在区域的外面
(1) 区域特征如图
r 1()
,
D
1( ) r 2( ).
o
f (r cos ,r sin )rdrd
D


d
2( ) f (r cos , r sin )rdr.