空间几何体的表面积和体积练习题
题1 一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的3倍，则圆锥的高与底面
半径之比为( ) A.49
B.94
C.427
D.274
题2 正四棱锥P —ABCD 的五个顶点在同一个球面上，若该正四棱锥的底面边长为2，侧棱长
为6，则此球的体积为________．
题3 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A ．2π＋2 3
B ．4π＋2 3
C ．2π＋23
3
D ．4π＋23
3
题4 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2.动点E ，F 在棱A 1B 1上，点Q 是棱CD 的中
点，动点P 在棱AD 上．若EF ＝1，DP ＝x ，A 1E ＝y (x ，y 大于零)，则三棱锥P －EFQ 的体积．( )
A ．与x ，y 都有关
B ．与x ，y 都无关
C ．与x 有关，与y 无关
D ．与y 有关，与x 无关
题5 直角梯形的一个底角为45°，下底长为上底长的3
2
，这个梯形绕下底所在直线旋转一周所
成的旋转体的表面积是(5＋2)π，求这个旋转体的体积．
题6 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面
积为( ) A ．πa 2
B.7
3
πa 2
C.11
3
πa 2
D ．5πa 2
题7 在球心同侧有相距9 cm 的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm 2和400π cm 2，求
球的表面积．
题8 正四棱台的高为12cm ，两底面的边长分别为2cm 和12cm ．（Ⅰ）求正四棱台的全面
积；（Ⅱ）求正四棱台的体积．
题9 如图，已知几何体的三视图(单位：cm)．(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；
(2)求这个几何体的表面积及体积．
题10 如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中，用截面截下一个棱锥C A DD ''-，求棱锥
C A D
D ''-的体积与剩余部分的体积之比．
题11已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，求该几何体的体积.
题12如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB=90°,AC=6，BC=CC1= 2，P是BC1上一动点，则CP+P A1的最小值是__________.
课后练习详解
题1 答案：C
详解:设圆锥底面半径为1R ，高为h ，球的半径为2R
，则圆锥体积为
2113R h π，球的体积为3243
R π.由题意知圆锥的底面半径是球的半径的3倍，即1R
＝32R .由圆锥与球的体积相等有
2113R h π＝3
243
R π，将2R ＝1
3
R
代入，有2
1R h ＝31
3
43
R ⨯
，故1
h
R ＝433＝427
. 题2 答案：9
2
π
详解:如图所示，设底面中心为O ′，球心为O ，设球半径为R ，∵AB ＝2，则AO ′＝2，PO ′＝P A 2－AO ′2＝2，OO ′＝PO ′－PO ＝2－R .在Rt △AOO ′中，AO 2＝AO ′2＋OO ′2⇒R 2＝(2)2＋(2－R )2，∴R ＝32，∴V 球＝4
3πR 3＝
9
2
π.
题3 答案：C
详解:由几何体的三视图可知，该几何体是由一个底面直径和高都是2的圆柱和一个底面边长为2，侧棱长为2的正四棱锥叠放而成．故该几何体的体积为 V ＝π×12×2＋13×(2)2×3＝2π＋2
33，故选C.
题4 答案：C
详解:设P 到平面EFQ 的距离为h ，则V P －EFQ ＝1
3×S △EFQ ·h ，由于Q 为CD 的中点，∴点Q 到直线EF 的距
离为定值2，又EF ＝1，∴S △EFQ 为定值，而P 点到平面EFQ 的距离，即P 点到平面A 1B 1CD 的距离，显然与x 有关、与y 无关，故选C. 题5 答案：7
3π.
详解:
如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＝90°，∠B ＝45°，绕AB 边旋转一周后形成一圆柱和一圆锥的组合体．
设CD ＝x ，则AB ＝32x ，AD ＝AB －CD ＝x 2，BC ＝22
x .
S 表＝S 柱底圆＋S 柱圆侧＋S 圆锥侧＝π·AD 2＋2π·AD ·CD ＋π·AD ·BC
＝π·x 24＋2π·x 2·x ＋π·x 2·22x ＝5＋24πx 2
.
根据题设，5＋24πx 2＝(5＋2)π，则x ＝2.
所以旋转体体积
V ＝π·AD 2·CD ＋π3AD 2·(AB －CD )＝π×12×2＋π3×12×(3－2)＝7
3π.
题6 答案：B 详解:
如图，O 1，O 分别为上、下底面的中心，D 为O 1O 的中点，则DB 为球的半径，有 r ＝DB ＝
OD 2＋OB 2＝
a 24＋a 23
＝7a 2
12
， ∴S 表＝4πr 2＝4π×7a 212＝7
3πa 2.
题7 答案：2500πcm 2
.
详解:如图为球的轴截面，由球的截面性质知，AO 1∥BO 2，且O 1、O 2分别为两截面圆的圆心，则
OO 1⊥AO 1，OO 2⊥BO 2
.设球的半径为R .
∵π·O 2B 2＝49π，∴O 2B ＝7 cm ，同理π·O 1A 2＝400π，∴O 1A ＝20 cm ．
设OO 1＝x cm ，则OO 2＝(x ＋9) cm.在Rt △OO 1
A 中，R 2＝x 2＋202，
在Rt △OO 2B 中，R 2＝(x ＋9)2＋72，∴x 2＋202＝72＋(x ＋9)2
，解得x ＝15.
∴R 2＝x 2＋202＝252
，∴R ＝25 cm ．∴S 球
＝4πR 2＝2500π cm 2．
∴球的表面积为2500π cm 2
. 题8 答案：512 cm 2; 688 cm 3
详解:（Ⅰ）斜高2
2
122'12132h -⎛⎫
=+= ⎪⎝⎭
cm
S 正四棱台=S 上+S 下+S 侧=22+122+ 12×（2+12）×13=512 cm 2 （Ⅱ）V= 13（S+
'SS +S′）h= 13（22+22
212++122）×12=688 cm 3
题9 答案：(1)见详解.
(2) 表面积22＋4 2 cm 2，体积10 cm 3． 详解: (1)这个几何体的直观图如图所示．
(2)这个几何体可看成是由正方体AC 1及直三棱柱B 1C 1Q —A 1D 1P 的组合体． 由P A 1＝PD 1＝2，A 1D 1＝AD ＝2，可得P A 1⊥PD 1. 故所求几何体的表面积为：
S ＝5×22＋2×2×2＋2×12×(2)2＝22＋4 2 cm 2，所求几何体的体积V ＝23＋1
2×(2)2×2
＝10 cm 3． 题10 答案：15∶
详解: 已知长方体可以看成直四棱柱
ADD A BCC B ''''-．
设它的底面ADD A ''面积为S ，高为h ，则它的体积为V Sh =．
而棱锥C A DD ''-的底面面积为1
2
S ，高是h ，
因此棱锥C A DD ''-的体积111326
C AD
D V Sh Sh -=⨯=''
． 余下的体积是15
66
Sh Sh Sh -=．
所以棱锥C A DD ''-的体积与剩余部分的体积之比为1：5．
题11 答案：17
3
详解:由三视图知，此几何体可以看作是一个边长为2的正方体被截去了一个棱台而得到，此棱台的
高为2，一底为直角边长为2的等腰直角三角形，一底为直角边长为1的等腰直角三角形，棱台的
两底面的面积分别为
111
222,11
222
⨯⨯=⨯⨯=
该几何体的体积是
111717 2222228
32233
⎛⎫
⨯⨯-⨯⨯++⨯=-=
⎪
⎪
⎝⎭
题12答案：52.
详解:
将△BCC1沿直线BC1折到面A1C1B上，如图,连接A1C，即为CP+P A1的最小值，过点C作CD⊥C1D于D 点，△BCC1为等腰直角三角形，
∴CD=1，C1D=1，A1D=A1C1+C1D=7，
22 1149152
AC A D CD
∴=+=+=。