2.捆绑法：元素相邻 3.插空法：元素不相邻
4.其它方法：元素限制条件多
二、间接法（排除法）
一、直接法
1.优限法：
有特殊元素或特殊位置，通常先排特殊元素或特殊 位置，称为“优限法”.
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字 五位奇数.
画龙点睛：特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字 五位奇数.
3.排列数公式: 4.组合数公式:
Anm n(n 1)(n 2)(n m 1)
n! (n m)!
Cn m
An m Am m
n(n 1)(n 2)(n m 1) m!
n!
m!(n m)!
排列与组合的区别与联系:与顺序有关为排列问题,与 顺序无关的为组合问题.
有限制条件的排列组合问题
解：A44 A31 A31 A33 78 A55 2 A44 A33 78
练习题1
7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种 葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里， 问有多少不同的种法？
A A2 5 1440 45
例2. 七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一个 男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一排 照相留念。 (3)若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？
BA
解：A，B两小孩的站法有：2 A2（2 种），其余人的站法
有A55（种），所以共有 2 A22 A55 480（种） 排法。
变式1. 将5列车停在5条不同的轨道上，其中a列车不 停在第一轨道上，b列车不停在第二轨道上，那么不同 的停放方法有（ ）. （A）120种 （B）96种 （C）78种 （D）72种
解： A22 A44 A52 960
另解：A22 A55 A41 960
（5）学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。 8个学生，4个老师，要求老师在学生中间，且老师互不 相邻，共有多少种不同的坐法？
分析 此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊 的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待. 所涉及问题是排列问题.
有限制条件的排列组合综合问题是主要考 查方向．解决此类问题要遵循“谁特殊谁 ___优__先__”的原则，采取分类或分步，或用 间接法处理；对于选排列问题可采用先__选__ 后___排___的方法，分配问题的一般思路是先 ____选__取____再分配．
有限制条件的排列组合问题常用方法 一、直接法
1.优限法：先特殊后一般
捆绑法
解：将三个女孩看作一人与四个男孩排队，有A55种 排法，而三个女孩之间有A33种排法，所以不同的排 法共有：A55 A33 720（种）。
例2.七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。 (4)若三个女孩要站在一起，四个男孩也 要站在 一起，有多少种不同的排法？
解：将１与２，３与４，５与６捆绑在一起排成一列
有A33 23 48 种，再将７、８插入4个空位中的两个 有 A42 12 种，故有 4812 576 种．
（4）七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、 乙都不与丙相邻，则不同的排法有（ ）种.
(A)960种 （B）840种 （C）720种 （D）600种
插空法
例2.七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。 （6）若三个女孩互不相邻，四个男孩也互不相 邻，有多少种不同的排法？
不同的排法共有： A44 A33 144（种）
插空法一般适用于 互不相邻 问题的处理。
一、直接法
3.插空法：元素不相邻宜采用插空法
实际问题 得 实 际 问 题 的 解
转化 （建模）
求排列数
排列问题 求 数 学 模 型 的 解
以元素相邻为附加条件的应把相邻元素视为一个整 体，即采用“捆绑法”；以某些元素不能相邻为附 加条件的,可采用“插空法”。“插空”有同时 “插空”和有逐一“插空”,并要注意条件的限定.
有限制的排列问题
限制条件：某位置上不能排某元素或只能排某元素
常用方法：(1)直接法 1.优限法：先特殊后一般 （有特殊元素或特殊位置，通常先
排特殊元素或特殊位置，称为“优 限法” ） 2.捆绑法：元素相邻
3.插空法：元素不相邻
4.其它方法：元素限制条件多
4.其它方法：元素限制条件多 (1).定序问题倍缩空位插入策略 (2).重排问题求幂策略 (3).排列组合混合问题先选后排策略 (4).元素相同问题隔板策略 (5).平均分组问题除法策略 (6).合理分类与分步策略 (7).构造模型策略 (8).实际操作穷举策略
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 以免不合要求的元素占了这两个位置
先排末位共有__C__31____
然后排首位共有__C_41___
最后排其它位置共有__A__43___ C41
A43
C31
由分步计数原理得
C31
C
1 4
A43
=288
位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最
常用也是最基本的方法。
由分步计数原理可得共有A55 A22 A22 =480
种不同的排法
要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用 捆绑法来解决问题.
练习1.
5个男生3个女生排成一排,3个女生 要排在一起,有多少种不同的排法?
解：共有 A66 A33 4320 种不同的排法.
例2.七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。 （5）若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？
不同的排法有：A22 A33 A44 288（种）
捆绑法一般适用于 相邻 问题的处理。
一、直接法
2.捆绑法：用于解决元素相邻问题
例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁 相邻, 共有多少种不同的排法.
变式1. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
解：
甲乙 丙丁
解 先排学生共有 P88 种排法,然后把老师插入学生 之间的空档，共有7个空档可插,选其中的4个空档,共 有 P74 种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为 P88P74 种.
结论 插入法:对于某两个元素或者几个元素要求不相 邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的元 素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的 空档之中即可.
尾两个空位共有种 A64 不同的方法,
由分步计数原理,节目的不同顺序共有
A A55
4 6
种.
元素不相邻问相题可先独把没有独位置要求独的元素相进行排队 再把不相邻元素插入中间和两端
练习1:
某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开
演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插
入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同
例2.七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
（1）若其中的A小孩必须站在B小孩的左边，有 多少种不同的排法？
解：A在B左边的一种排法
必对应着A在B右边的一种
A
B 排法，所以在全排列中，
A在B左边与A在B右边的排
法数相等，因此有：
1 2
A77
252ห้องสมุดไป่ตู้（种）
解：先把四个男孩排成一排有 A44种排法，在每一排 列中有五个空档（包括两端），再把三个女孩插入 空档中有A53种方法，所以共有：A44 A53 1440（种） 排法。
例2.七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。 （5）若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？
插3法0的种数为
.
课堂练习:
（1）三个男生，四个女生排成一排，男生、女生 各站一起，有几种不同方法？
捆绑法：A22 A33 A44
（2）三个男生，四个女生排成一排，男生之间、 女生之间不相邻，有几种不同排法？
插空法：A33 A44
（3）用１、２、３、４、５、６、７、８组成 没有重复数字的八位数，要求１与２相邻，３与 ４相邻，５与６相邻，而７与８不相邻，这样的 八位数共有___________个．（用数字作答）
1.1.3 排列组合的应用 （一）
（1）使学生掌握组合数的计算公式、组合数 （2）会用排列数公式和组合数公式解决实际问题. （3）通过学习组合知识，让学生掌握类比的学习方 法，并提高学生分析问题和解决问题的能力.
本节课，我们对有关排列组合的几种常见的解 题策略加以复习巩固。排列组合历来是学习中的难 点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列组合 题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法 独特，数字庞大，难以验证。同学们只有对基本的 解题策略熟练掌握。根据它们的条件,我们就可以 选取不同的技巧来解决问题.
B
A 排法。
例2.七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
（1）若其中的A小孩必须站在B小孩的左边，有 多少种不同的排法？
A
B
A75 2520
例2.七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。 （2）若前排站三人，后排站四人，其中的A.B两小 孩必须站前排且相邻，有多少种不同的排法？
敬请指导
对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略 结合起来应用把复杂的问题简单化，举一反三，触 类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础。
1.排列的定义:
从n个不同元素中,任取m个元素,按照一定的顺 序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元
素的一个排列.
2.组合的定义: 从n个不同元素中,任取m个元素,并成一组,叫 做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
变式1.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相 声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目 的出场顺序有多少种？